九点圆
三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，
AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点N,
垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）
证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD
∴PMDL共圆。
（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR
∴PMRDL五点共圆。
PE为Rt△AHE斜边中线
∴角PEA等于PAE
同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC
∴∠LEP等于90°
∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径
∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心
下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点
O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PH
OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点
九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
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