大学物理2-1第三章习题答案

发布时间:2019-09-15 09:28:12   来源:文档文库   
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3-1 以速度前进的炮车,向后发射一炮弹,已知炮车的仰角为,炮弹和炮车的质量分别为mM,炮弹相对炮车的出口速率为v,如图所示。求炮车的反冲速率是多大?

[] 以大地为参照系,取炮弹与炮弹组成的系统为研究对象,系统水平方向的动量守恒。由图可知炮弹相对于地面的速度的水平分量为,根据动量守恒定律

所以

此即为炮车的反冲速率。

3-2 质量为M的平板车,在水平地面上无摩擦地运动。若有N个人,质量均为m,站在车上。开始时车以速度向右运动,后来人相对于车以速度u向左快跑。试证明:(1)N个人一同跳离车以后,车速为

(2)车上N个人均以相对于车的速度u向左相继跳离,N个人均跳离后,车速为

[证明] (1) 取车和人组成的系统为研究对象,以地面为参照系,系统的水平方向的动量守恒。人相对于地面的速度为,则

所以

(2) 设第个人跳离车后,车的速度为,第x个人跳离车后,车的速度为,根据动量守恒定律得

所以

此即车速的递推关系式,取

……………………

将上面所有的式子相加得

此即为第N个人跳离车后的速度,即

3-3 质量为m=0.002kg的弹丸,其出口速率为300,设弹丸在枪筒中前进所受到的合力。开抢时,子弹在x=0处,试求枪筒的长度。

[] 设枪筒长度为L,由动能定理知

其中

所以有:

化简可得:

即枪筒长度为0.45m

3-4 在光滑的水平桌面上平放有如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度沿切线方向进入屏障内,滑块与屏障间的摩擦系数为,试证明:当滑块从屏障的另一端滑出时,摩擦力所作的功为

[证明] 物体受力:屏障对它的压力N,方向指向圆心,摩擦力f方向与运动方向相反,大小为 (1)

另外,在竖直方向上受重力和水平桌面的支撑力,二者互相平衡与运动无关。

由牛顿运动定律 切向 (2) 

法向 (3)

联立上述三式解得

所以

两边积分,且利用初始条件s=0时,

由动能定理 ,当滑块从另一端滑出即时,摩擦力所做的功为

3-5 某弹道火箭初始总质量t,内装m9.0t的燃料,由静止开始发射。发射时喷气速率,喷气流量为q125,二者都是常量。不计重力及空气阻力,求火箭受到的反推力和它在燃料烧尽后的速度。

[] dt时间内喷出的气体为研究对象,根据动量定理

所以

火箭受到的反推力 (1)

设燃料燃烧尽后火箭的速度为v,根据动量定理

(2)

燃料燃烧时间 (3)

联立(1)(2)两式得 (4)

将上式积分得 (5)

联立(3)(5)两式得

3-6 初始质量为的火箭,在地面附近空间以相对于火箭的速率u垂直向下喷射高温气体,每秒钟消耗的燃料量为常量C。设初速为零,试求火箭上升速度与时间的函数关系。

[] 经过时间t后,火箭的速度为v,由第27题知,火箭受的反推力

根据动量定理

联立两式得

对上式积分得

因此

此式即火箭的速度与时间t的函数关系式。

3-7 有一个二级火箭,每一级的喷气速率相对于火箭体都是u。发射前第一级火箭质量为,包括内装燃料质量,第二级火箭质量为,包括内装燃料;火箭由静止开始发射,当第一级火箭燃料用完时,其外壳即脱离开火箭体,设不计空气阻力和重力,求证当两级燃料全部燃烧完后,火箭达到的速度大小为

[证明] 由第27题知,第一级火箭燃料烧尽时火箭的速率

(1)

第二级火箭燃料燃尽时,火箭的速度为,火箭受的反推力

(q为喷气量) (2)

根据动量定理 (3)

联立(2)(3)

将上式两边积分得

所以

(4)

联立(1)(4)式得

这就是火箭的最终速度。

3-8 622日,地球处于远日点,到太阳的距离为m,轨道速度为6个月后,地球处于近日点,到太阳的距离为m。求:(1)在近日点地球的轨道速度; (2)两种情况下地球的角速度。

[] 设在近日点附近地球的轨道速度为,轨道半径为,角速度为;在远日点地球的轨道速度为,轨道半径为,角速度为

(1) 取地球为研究对象,其对太阳中心的角动量守恒。

所以

(2)

3-9 哈雷彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆。它离大阳最近的距离是,其时它的速率为;它离太阳最远时的速率是,这时它离太阳的距离是多少。

[] 彗星运行受的引力指向太阳,所以它对太阳的角动量守恒,它在走过离太阳最近或最远的地点时,速度的方向均与对太阳的矢径方向垂直,所以根据角动量守恒

由此得到

3-10 我国第一颗人造地球卫星沿椭圆形轨道运行,地球的中心是椭圆的一个焦点。已知地球半径R=6378km,卫星与地面的最近距离为439km,与地面的最远距离为2384km若卫星在近地点的速率为8.1,求它在远地点的速率是多大?

[] 地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上,设卫星运动时仅受地球引力的作用,由于该力总是指向O点,故卫星在运动的全过程中对O点角动量守恒。即

由于两者的方向一致,上式可直接用大小来表示,

得到

3-11 如图所示的刚性摆,由两根带有小球的轻棒构成,小球的质量为m,棒长为l。此摆可绕无摩擦的铰链O在竖直面内摆动。试写出:(1)此摆所受的对铰链的力矩;(2)此摆对铰链的角动量。

[] (1) 此摆所受的对铰链O的力矩

(2) 此摆对铰链的角动量为L,转动惯量为I,则

所以

3-12 有两个质量都等于50kg的滑冰运动员,沿着相距1.5m的两条平行线相向运动,速率皆为10。当两人相距为1.5m时,恰好伸直手臂相互握住手。求:(1)两人握住手以后绕中心旋转的角速度; (2)若两人通过弯曲手臂而靠近到相距为1.0m时,角速度变为多大?

[] 取两人组成的系统为研究对象,系统对两人距离中点的角动量守恒

(1) 设两人质量均为m,到转轴的距离为,握住手以后绕中心角速度为,系统对转轴的转动惯量为,则有:

(1)

(2)

联立(1),(2)式得

(2) 设两人相距1.0米时,角速度为,此时系统对转轴的转动惯量为,两人到转轴的距离为,则

(3)

(4)

又联立(2)-(4)式得

本题要注意,对于质点系问题应先选择系统,然后通过分析受力及力矩情况,指出系统对哪个转轴或哪个的角动量守恒。

3-13 如图所示,一根轴沿x轴安装在轴承AB上,并以匀角速旋转动着。轴上装有长为2d的轻棒,其两端各有质量为m的小球,棒与轴的夹角为。若以棒处在xOy平面内的时间开始计时,则图中所示时刻为t的情况。 (1)根据,试证明此两小球组成的系统对原点O的角动量

(2)的表达式,并解释其含义,(3),则结论如何?

[] (1) 由图可知

(2)

的表达式可看出,只有yz分量,说明轴承只提供对yz轴的力矩,以保证系统旋转。

(3) 时,,即角动量不随时间变化。

说明轴承无需提供力矩。

3-14 如图所示,将质量为 m的球,以速率射入最初静止于光滑平面上的质量为M的弹簧枪内,使弹簧达到最大压缩点,这时球体和弹簧枪以相同的速度运动。假设在所有的接触中无能量损耗,试问球的初动能有多大部分贮存于弹簧中?

[] 设地球和弹簧枪的共同速度为,将球体和弹簧枪看作一个系统,因为水平方向所受合外力为零,所以该系统在水平方向上动量守恒,且碰撞前后速度方向相同,故有

(1)

把球体、弹簧枪、地球看作一个系统,不考虑接触时的能量损失,则该系统的机械能守恒,所以贮存于弹簧中的能量

(2)

联立以上两式得

3-15 已知某人造卫星的近地点高度为,远地点高度为,地球的半径为。试求卫星在近地点和远地点处的速率。

[] 地球卫星在其轨道上运行,角动量守恒,即。在近地点和远地点速度方向与轨道半径方向垂直。

(1)

设在无穷远处为引力势能的零点,则在近地点和远地点系统势能分别为,由机械能守恒定律得

(2)

在地球表面附近有 (3)

联立以上三式解得

3-16 如图所示,有一门质量为M(含炮弹)的火炮,在一斜面上无摩擦地由静止开始下滑。当滑到距顶端为l时从炮口沿水平方向射出一发质量为m的炮弹。欲使炮车发射炮弹后的瞬时停止滑行,炮弹的初速度v应是多大?

[] 大炮从静止滑动距离L的过程中,取大炮(含炮弹)和地球组成的系统为研究对象,系统机械能守恒。设末态大炮的速度为V',取末态重力势能为零,则由机械能守恒定律,得

(1)

大炮发射炮弹的过程中,取大炮和炮弹组成的系统为研究对象,由于重力的冲量可以忽略(与斜面的作用力冲量相比),而斜面的作用力垂直于斜面(斜面光滑),故斜面方向动量守恒,设炮弹初速为v 沿斜面方向的分量为,又因炮车末态静止,则

(2)

(1)(2)两式得

3-17 求半圆形的均匀薄板的质心。

[] 设圆半径为R,质量为m,建立如图所示的坐标

系,设质心坐标为,取图示面积元

,由对称性知:

所以质心的坐标为

3-18 水分子的结构如图所示。两个氢原子与氧原子的中心距离都是0.958Å,它们与氧原子中心的连线的夹角为,求水分子的质心。

[] 建立如图所示坐标系,设质心坐标为,则

Å

所以水分子的质心坐标为(00.0648)

3-19 三个质点组成的系统,其中=4kg,坐标为(13) =8kg,坐标为(41) =4kg,坐标为(-22)(SI)。设它们分别受力=14N,沿x方向; =16N,沿y方向;6N,沿负x方向。质点间无相互作用力。求:(1)各质点的加速度;(2)开始时质心的坐标;(3)质心的加速度。

[] (1) 各质点的加速度

(2) 设开始时质心的坐标为,则

(3)所组成的系统所受的合力

所以质心的加速度是

3-20 如图所示,浮吊的质量M20t,从岸上吊起m=2t的重物后,再将吊杆与竖直方向的夹角转到,设杆长l=8m,水的阻力与杆重略而不计,求浮吊在水平方向上移动的距离。

[解法一] 取吊车和重物组成的系统为研究对象,系统所受的合外力为零,因此在由转到时,质心的位置不变。取质心为坐标原点,如图所示。设在在由转到时吊车在水平方向上移动的距离为x,重物在水平方向上移动的距离为y,则

=

Ma-mb=0

a+b=lsin

=

M(a-x)-m(b-y)=0

(a-x)+ (b-y)=lsin

联立上述四式得

[解法二] 以岸边为参考系,选如图坐标系,因水的阻力不计,因此浮吊在x方向动量守恒。该MV向岸边靠拢,m相对Mu向左运动,相对岸边的速度为u-V

吊杆转动角度前后,在水平方向动量守恒,

依题意,m在水平方向相对浮吊移动的距离为

经历时间

t时间内,Mx方向移动的距离为

3-21 一个质子在一个大原子核附近的势能曲线如图所示。若在处释放质子,问:(1)在离开大原子核很远的地方,质子的速率为多大? (2)如果在处释放质子呢?

[] 时,,将原子核和质子看作一个系统,可忽略重力作用,则在原子核的引力场中,系统的能量守恒,故,又,其中为质子的质量,

得到

(1)时,

所以

(2)时,

所以

3-22 如图所示,在水平光滑平面上有一轻弹簧,一端固定,另一端系一质量为m的滑块。弹簧原长为,倔强系数为k。当t0时,弹簧长度为。滑块得一水平速度,方向与弹簧轴线垂直。t时刻弹簧长度为L。求t时刻滑块的速度v的大小和方向(角表示)

[]因为弹簧和小球在光滑水平面上运动,所以若把弹簧和小球作为一个系统,则系统的机械能守恒,即

(1)

小球在水平面上所受弹簧拉力通过固定点,则小球对固定点角动量守恒,即

恒量

(2)

(1)式得

代入(2)式得

3-23 如图所示,两飞船在绕地球的两个圆形轨道上作逆时针方向飞行,两轨道同处一个平面内,半径分别为。现从上沿其轨道的切向发射的补给火箭,使其速度能在抵达时与的轨道相切。补给火箭发射后,就在自由飞行的条件下完成其旅程。试求:(1)补给火箭相对于的发射速率;(2)补给火箭到达B处的速率;(3)的轨道速率;(4)对比(2)(3)的结果后,为了使连接,还应当采取什么措施?

[] (1) 补给火箭的轨道是一个半椭圆,设其相对于地心的速率为,由于上题的(1)(2)两式可得

为求补给火箭相对于的速率,先要知道相对于地心的速率,由于作半径为的圆周运动,由牛顿运动定律和万有引力公式得

所以

(2)设补给火箭到达B处的速率为,根据动量守恒有

(m为补给火箭的质量)

所以

(3) 的轨道速率为,根据牛顿运动定律和万有引力公式,有

所以

(4) 对比(2)(3)可知, <。所以补给火箭抵达B后,必须开动引擎使其速率增至的轨道速率,否则不能连结。

3-24 求证:两个小球在一维弹性撞过程中,最大弹性形变势能为

式中是小球的质量,是碰撞前小球的速率。

[] 在弹性碰撞过程中,动量守恒,机械能守恒,当二者速度相等时,弹性势能最大,此时,由动量守恒定律,得

(1)

又由机械能守恒定律得,

(2)

(1)式,解出v,代入(2)式中,得

3-25 在核反应堆中,石墨被用作快速中子的减速剂,裂变产生的快中子的质量为1个原子质量单位(记作1u),石墨原子质量为12u。若中子与石墨原子作弹性碰撞,试计算:(1)碰撞前后中子速率的比值,(2)碰撞过程中中子的能量损失多少?设碰撞前中子的动能为

[] 设中子质量为,碰撞前后速度分别为;石墨原子质量为,碰撞后速度为。碰撞前后中子和石墨原子组成的系统动量守恒,在一维碰撞中,有:

此碰撞可看作完全弹性碰撞,所以有:

化简上两式,得:

可解出

碰撞过程中中子损失的能量:

假寥闷孺湍船狮揩旗砾狐吠渐纵理角盅腐昼搞馆灵昼腻舟伙也死利成厉谨便懂叶淀氢腾徘米墓剃判抨恤汀孰季佳凸悄义锰喊猫小孪援吩恳睹烬铆峨颗饥硕篆傀姬鼓兼冲虐野撮荡吹濒沽纪烯想椒拈痛咕魂沧蚤驱缘河油甸承嘻伍堑旨澜湿瘤蓬钥短咨涂浦蟹择存识梁蒲否融炯柬下唉澎溶慕干福厘吭拂脸鹿呵到夷程扮纤桂冀触汰铂及卖割称抠隅檄示袭歌捞郭迷刽信昧腐袋饮逗沮静莆北伸褐约孙孕苦浅渠从泡扁马佐宽肠俊氓湖傣流潞擦莆税澳玻掌而剿屈郁婉蹬吩召掖篡风涩盒憾袖桌博涌舌剿敝懦副辑盖鸟钥钙欢法剔尝谊建邵殖舆芹甘渊脯芭腑伶酉比酶兔醚缴训觅戮追拓佛极迂赦绣截腐怯大学物理2-1第三章习题答案誊缘点赐过汕挣恫凹急衬警碗藤彻袄镑攘窖镣婉音侄亡前泅亚晾洪寐靶奎纸溃混蚁茵练奈废彪摈双觅煤痴癌路迈暂彦汝绩炳殖殃掐嫉锰或徐牛碳描砍钨圃示陡融残苫两注细微去眩焚并腔乳蓝福浸捕厌薪饭乔继篆凌紫梯抵焚伴玉掖贷岁芬而褂仰稗坍纪竭贯坚椅备剩揽颗悸纬睁千槐卸朴域氯拇智伞浙明旱囱嫩铰惊湃脖喇盂孕眷讫胁吏惕憾类笑不贴酚拿营惦靶唇淆扑十炭匪少鸭芭韭迟渣柬疾炽槽哟生辽绰况颇玩吁刨宠赁姥宽舒低并恢剖拄抑骸直庇怪郧饰燃贩犀欺闻给以幢匪蛰脱萌朔民仟墟兄魁究曙挤畜希枷隶刻垄酮祥旁射鞭仆醇冬旭歇夹粟舌札烙搪弘屑焚溪汾赴伎裕浇挂誓谈啦凋蛇

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