第四讲 数学归纳法证明不等式
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1．数学归纳法的两个关注点．
(1)关注用数学归纳法证题的步骤．第一步称“归纳奠基”，是递推链的起点；第二步称为“归纳递推”，是递推链具有传递性的保证．两步缺一不可，否则不能保证结论成立．
(2)关注适用范围，数学归纳法适用于某些与正整数n有关的问题，这里n是任意的正整数，它可取无限多个值，但是，并不能说所有与正整数n有关的问题都可以用数学归纳法．
2．数学归纳法的两个易错点．
(1)在数学归纳法中，没有应用归纳假设．
(2)归纳推理不到位．
专题一 数学归纳法
在使用数学归纳法证明不等式时，一般来说，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键．
[例❶] 设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对一切正整数n，有1＜an＜.
证明：(1)当n＝1时，a1＞1，a1＝1＋a＜，命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立．即1＜ak＜，
当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a＞(1－a)＋a＝1.
同时，ak＋1＝＋a＜1＋a＝＜，
故当n＝k＋1时，命题也成立，即1＜ak＋1＜，
综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜.
归纳升华
用数学归纳法证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由n＝k成立，推导n＝k＋1也成立时，其他证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题．
[变式训练] 证明不等式＋＋…＋＜1(n≥2，n∈N*)．
证明：先证明＋＋…＋＜1－(n≥2)，(*)
对(*)运用数学归纳法证明：
(1)当n＝2时，(*)显然成立．
(2)设n＝k时，不等式(*)成立，
则＋＋…＋＜1－.
当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＜1－＋＜1－＋＝1－＋＝1－.
故当n＝k＋1时，不等式(*)成立．
根据(1)和(2)知，对n∈N*且n≥2，不等式(*)成立，故原不等式成立.
专题二 归纳、猜想、证明思想的应用
归纳、猜想、证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再利用数学归纳法证明，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，因此务必要保持猜想的正确性，同时要注意数学归纳法步骤的书写．
[例2] 数列{an}满足Sn＝2n－an.
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)的猜想．
(1)解：当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，
所以a1＝1.
当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，
所以a2＝.
当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，
所以a3＝.
当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/396ae45a370cba1aa8114431b90d6c85ec3a88fa.html
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