蒙特卡罗简述

蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod）--也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

蒙特·卡罗方法（MonteCarlomethod），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

蒙特卡罗方法 - 基本思想

当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡罗方法：假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。

蒙特卡罗方法 - 基本原理

由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。

设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为FX1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。

首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。

从蒙特卡罗方法的思路可看出，该方法回避了结构可靠度分析中的数学困难，不管状态函数是否非线性、随机变量是否非正态，只要模拟的次数足够多，就可得到一个比较精确的失效概率和可靠度指标。特别在岩土体分析中，变异系数往往较大，与JC法计算的可靠指标相比，结果更为精确，并且由于思路简单易于编制程序。

蒙特卡罗方法 - 工作过程

在解决实际问题的时候应用蒙特·卡罗方法主要有两部分工作：

1.用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。

2.用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

蒙特卡罗方法 - 分子模拟计算步骤

1.使用随机数发生器产生一个随机的分子构型。

2.对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。

3.计算新的分子构型的能量。

4.比较新的分子构型于改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。

若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。

若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则计算玻尔兹曼常数，同时产生一个随机数。

若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。

若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。

5.如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。

蒙特卡罗方法

乌拉姆

乌拉姆 StanislawMareinUlam，1909～1984

美国数学家。生于奥匈帝国里沃夫(现属波兰)。1933年获里沃夫工业学院数学博士学位。1934年到欧洲旅游讲学。1941年入美国籍。先后在哈佛大学、威斯康星大学、南加利福尼亚大学、科罗拉多大学任教。参与曼哈顿工程，研制原子弹；第二次世界大战后又参与研了制氢弹。曾当选为美国总统科学顾问委员会成员、美国艺术与科学学院院士、美国全国科学院院士。1984年卒于美国科罗拉多州。乌拉姆提出的蒙特卡罗法，当时被用于核物理研究，现已被广泛地使用到许多领域；他用0和1两个值定义了一个有限可加性测度的存在性，并证明了集合论中关于集合的理想的定理；他与人合作引入并研究了对称积，引出了新的思想，证明了连续形变下某些拓扑性质的不变式；他还研究过群论、概率论，曾与人一起引入过射影代数的概念．

蒙特卡罗方法 - 应用

通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。

非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对被抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差恒为1除于根号M,不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

英国开尔文于20世纪初曾记录他的助手对一组标了数的卡片抽样选取的随机数，来计算分子与壁面的碰撞。这是用统计试验法对气体行为所作的最早模拟。统计试验法作为研究手段被引入自然科学是从第二次世界大战中研究原子弹开始的。电子计算机出现后，此法获得有实际意义的应用。蒙特卡罗方法特别适用于处理那些本身具有或然性并用随机过程术语表达的问题，如中子散射、核反应堆计算、稀薄气体动力学问题、物种生态竞争、传染病传播、生产管理排队问题、战争和博弈等。这种处理叫做直接模拟统计试验法，其要点是把客观存在的大数量的随机过程，在电子计算机上以较小规模实现，通过大量的统计取样，求得感兴趣的量的数学期望值。概率误差分析表明，要使解的精度提高十倍，试验次数就要增加一百倍，或使计算机工作量增加一百倍。

在力学中，蒙特卡罗方法多被用来求解稀薄气体动力学问题，其中最为成功的是澳大利亚G.A.伯德等人发展的直接模拟统计试验法。此法通过在计算机上追踪几千个或更多的模拟分子的运动、碰撞及其与壁面的相互作用，以模拟真实气体的流动。它的基本假设与玻耳兹曼方程一致，但它是通过追踪有限个分子的空间位置和速度来代替计算真实气体中分布函数。模拟的相似条件是流动的克努曾数(Kn)相等，即数密度与碰撞截面之积保持常数。对每个分子分配以记录其位置和速度的单元。在模拟过程中分别考虑分子的运动和碰撞，在此平均碰撞时间间隔内，分别计算分子无碰撞的运动和典型碰撞。若空间网格取得足够小，其中任意两个分子都可以互相碰撞。具体决定哪两个刚体分子相撞，是随机取一对分子，计算它们的相对速度，根据此值与最大相对速度的比值和随机取样比较的结果，来决定该对分子是否入选。碰撞后分子的速度根据特定分子模型的碰撞力学和随机取样决定。分子与壁面碰撞后的速度，则根据特定的反射模型和随机取样决定。对于运动分子的位置和速度的追踪和求矩可以得出气体的密度、温度、速度等一些感兴趣的宏观参量。而对于分子与壁面间的动量和能量交换的记录则给出阻力、举力和热交换系数等的数学期望值。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3839763416fc700abb68fc3f.html