21.3 第1课时 用一元二次方程解决传播问题
01 基础题
知识点1 传播问题
1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B)
A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81
C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81
2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A)
A．1＋x＋x(1＋x)＝100
B．x(1＋x)＝100
C．1＋x＋x2＝100
D．x2＝100
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得
1＋x＋x2＝111.
解得x1＝10，x2＝－11(舍去)．
答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题
4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C)
A．7 B．8
C．9 D．10
5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x支球队参赛，则每队共打(x－1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为word/media/image2.gifx(x－1)．
根据题意，可列出方程word/media/image2.gifx(x－1)＝28．
整理，得x2－x－56＝0．
解得x1＝8，x2＝－7．
合乎实际意义的解为x＝8．
答：应邀请8支球队参赛．
6．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值．
解：由题意，得word/media/image3.gifn(n－1)＝45.
解得n1＝10，n2＝－9(舍去)．
答：n等于10.
知识点3 数字问题
7．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是98．
8．若两个连续整数的积是56，则它们的和是±15．
9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3)，由题意，得
x2＝10(x－3)＋x.
解得x1＝6，x2＝5.
当x＝6时，x－3＝3；
当x＝5时，x－3＝2.
答：这个两位数是36或25.
02 中档题
10．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(B)
A．4个 B．5个
C．6个 D．7个
11．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
解：设有x家公司出席了这次交易会，根据题意，得word/media/image3.gifx(x－1)＝78.
解得x1＝13，x2＝－12(舍去)．
答：有13家公司出席了这次交易会．
12．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是多少？
解：设最小数为x，则最大数为x＋16，根据题意，得x(x＋16)＝192.
解得x1＝8，x2＝－24(舍去)．
故这9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24.
所以这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24＝144.
13．(襄阳中考)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人，则
1＋x＋x(x＋1)＝64.
解得x1＝7，x2＝－9(舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)64×7＝448(人)．
答：第三轮将又有448人被传染．
03 综合题
14．(1)6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6＝30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手66次；
(2)我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？
(3)在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题；
(4)请运用解决上述问题的思想方法，探究一个多边形的对角线的条数可能为20条吗？一个多边形的对角线的条数可能为28条吗？
解：(2)每一条直线最多与其他19条直线相交，20条直线相交有20×19＝380个交点，但每两条直线相交2次，因此这20条直线相交，最多有word/media/image5.gif＝190个交点．
(3)答案不唯一，如：现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛(每个队都要与其他队比赛1场)，共需比赛多少场？
(4)若这个n边形的对角线条数为20条，则有
word/media/image6.gif＝20.
解得n1＝8，n2＝－5(舍去)．
故一个多边形的对角线的条数可能是20条．
若这个n边形的对角线条数为28条，则有
word/media/image6.gif＝28.
整理，得n2－3n－56＝0.
因为Δ＝32＋4×1×56＝233，
所以n＝word/media/image7.gif.
因为word/media/image8.gif为无理数，而对角线的条数是有理数，
所以不存在一个多边形的对角线的条数为28条．
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