习题3
3.1选择题
(1) 有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动,转动惯量为J,开始时转台以匀角速度ω0转动,此时有一质量为m的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时,转台的角速度为
(A)
(C)
[答案: (A)]
(2) 如题3.1(2)图所示,一光滑的内表面半径为10cm的半球形碗,以匀角速度ω绕其对称轴OC旋转,已知放在碗内表面上的一个小球P相对于碗静止,其位置高于碗底4cm,则由此可推知碗旋转的角速度约为
(A)13rad/s (B)17rad/s
(C)10rad/s (D)18rad/s
(a) (b)
题3.1(2)图
[答案: (A)]
(3)如3.1(3)图所示,有一小块物体,置于光滑的水平桌面上,有一绳其一端连结此物体,;另一端穿过桌面的小孔,该物体原以角速度在距孔为R的圆周上转动,今将绳从小孔缓慢往下拉,则物体
(A)动能不变,动量改变。
(B)动量不变,动能改变。
(C)角动量不变,动量不变。
(D)角动量改变,动量改变。
(E)角动量不变,动能、动量都改变。
[答案: (E)]
3.2填空题
(1) 半径为30cm的飞轮,从静止开始以0.5rad·s-2的匀角加速转动,则飞轮边缘上一点在飞轮转过240˚时的切向加速度aτ= ,法向加速度an= 。
[答案:
(2) 如题3.2(2)图所示,一匀质木球固结在一细棒下端,且可绕水平光滑固定轴O转动,今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中,则在此击中过程中,木球、子弹、细棒系统的 守恒,原因是 。木球被击中后棒和球升高的过程中,对木球、子弹、细棒、地球系统的 守恒。
题3.2(2)图
[答案:对o轴的角动量守恒,因为在子弹击中木球过程中系统所受外力对o轴的合外力矩为零,机械能守恒]
(3) 两个质量分布均匀的圆盘A和B的密度分别为ρA和ρB (ρA>ρB),且两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA和JB,则有JA JB 。(填>、<或=)
[答案: <]
3.3刚体平动的特点是什么?平动时刚体上的质元是否可以作曲线运动?
解:刚体平动的特点是:在运动过程中,内部任意两质元间的连线在各个时刻的位置都和初始时刻的位置保持平行。平动时刚体上的质元可以作曲线运动。
3.4刚体定轴转动的特点是什么?刚体定轴转动时各质元的角速度、线速度、向心加速度、切向加速度是否相同?
解:刚体定轴转动的特点是:轴上所有各点都保持不动,轴外所有各点都在作圆周运动,且在同一时间间隔内转过的角度都一样;刚体上各质元的角量相同,而各质元的线量大小与质元到转轴的距离成正比。因此各质元的角速度相同,而线速度、向心加速度、切向加速度不一定相同。
3.5刚体的转动惯量与哪些因素有关?请举例说明。
解:刚体的转动惯量与刚体的质量、质量的分布、转轴的位置等有关。如对过圆心且与盘面垂直的轴的转动惯量而言,形状大小完全相同的木质圆盘和铁质圆盘中铁质的要大一些,质量相同的木质圆盘和木质圆环则是木质圆环的转动惯量要大。
3.6 刚体所受的合外力为零,其合力矩是否一定为零?相反,刚体受到的合力矩为零,其合外力是否一定为零?
解:刚体所受的合外力为零,其合力矩不一定为零;刚体受到的合力矩为零,其合外力不一定为零。
3.7 一质量为
解: 由题知,质点的位矢为
作用在质点上的力为
所以,质点对原点的角动量为
作用在质点上的力的力矩为
3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
∴
3.9 物体质量为3kg,
解: (1)
(2)解(一)
即
即
∴
∴
解(二) ∵
∴
3.10 平板中央开一小孔,质量为
题3.10图
解: 在只挂重物时
挂上
重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.
即
联立①、②、③得
3.11 飞轮的质量
(1)设
(2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力
解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中
题3.11图(a)
题3.11图(b)
杆处于静止状态,所以对
对飞轮,按转动定律有
∵
∴
又∵
∴
以
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为
这段时间内飞轮的角位移为
可知在这段时间里,飞轮转了
(2)
用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为
3.12 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴
(1)柱体转动时的角加速度;
(2)两侧细绳的张力.
解: 设
题3.12(a)图 题3.12(b)图
(1)
式中
而
由上式求得
(2)由①式
由②式
3.13 计算题3.13图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为
解: 分别以
对滑轮运用转动定律,有
又,
联立以上4个方程,得
题3.13(a)图 题3.13(b)图
3.14 如题3.14图所示,一匀质细杆质量为
(1)初始时刻的角加速度;
(2)杆转过
题3.14图
解: (1)由转动定律,有
∴
(2)由机械能守恒定律,有
∴
3.15 如题3.15图所示,质量为
(1)设这碰撞为弹性碰撞,试计算小球初速
(2)相撞时小球受到多大的冲量?
题3.15图
解: (1)设小球的初速度为
上两式中
竖直位置上摆到最大角度
由③式得
由①式
由②式
所以
求得
(2)相碰时小球受到的冲量为
由①式求得
负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.
3.16 一个质量为M、半径为
(1)问它能升高多少?
(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能.
题3.16图
解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度
设碎片上升高度
令
(2)圆盘的转动惯量
式中
得
圆盘余下部分的角动量为
转动动能为
3.17 一质量为
(1)开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值?
(2)用
题3.17图
解: (1)射入的过程对
∴
(2)
3.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示,弹簧的劲度系数为2.0 N·m-1;定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2,半径为0.30m ,问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时,它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长.
题3.18图
解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒,以最低点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则有
又
故有
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