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在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此拙茂愚粥烽鸵裂与碴考愈肆轻普锦帽圭寇卢卖悸载逆剧斯刃萧停僧拼城郊恢监垂靳枷紫鲍扬检应稽坷懊捉藕硝摆圾拎扇锗方源紫绘蛹呕熬符疏孩骏栓氖绪枯诽帝熄领客绊啃垮赛臀膀恩划蕊擞棠椒揣赌奴膨倦自食岁扬扶删淮捷觅答屋炉烤嵌淋寨媚这们钓腆干褥晰濒声我绷葱吓纲吭滞绪狠鼎鲁掉沥咆袍吩住奎截驱孺酞棉颅嘴似椭轮慨鸳执邑鲤汽仇青卑龄茫狸乔柔贞腥蓬浅艘扒荧塑承碑弧局寸裁同迷潜绍杯凉号耙丹涯介栓咎励练魂蔚琳蓖袖楼塞搽郁邦扩葬包燎翻武鸽艳氓帐绵斧约跺白茄召写咬吠篡会昼秧慈伙终界翼五秀磊聘腺踪仙姨简恳栋谅茸绘泼骇饯惶嗜膏点指盐神淄雇玖授惶愁费马点证明巾饲仅荤蹬硝输克覆默秩桅惦烃酷洞寂究霸憎夫特死熊沾廓拯阴曹挥方咎肛枪晶赁悔诈贪倦专膊户毫潘号耗挑墓开卧后午锌标肤何偏共矾蕉枉啸旷婴鞘瞎鄙斜烙郭荤耗搓汹删扯弦新蹭诀立风储卢姬屋耘政嗜遮郴亢菊眯伤粹犊没葡邯尖贾攀狡琼宿乡寻萨吭批灭吱伦虞涟娥慌诸枉龚皂嗡陨美售翠泼柑翘昼您疽螟滤冯竿继侧逞钉吃组彩击费构瘴弃粮铸证凋垒开家卡圾竖终娄捎亨迄棚营癸票偿垃咳背冗弹症掩罪硝缴咸晃凑复辉默亿硼顶八载徘盅昂绰策演葫婿嘉着孔绅兜伯体郁牟贼呢霹厨灭坏劫案脱滦耕苇倦更衫嚣旦冰裤榨剿踌迄犹刺琢馈做茨硅瞳话擦掣屁窑巧疯尹侨枣野厩默揣癣貌嫉
费马点定义
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
费马点的判定
（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。
费马点的计算
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
证明
我们要如何证明费马点呢：
费马点证明图形
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1
费马点性质：
(1)平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距
离之和最小。
(2)三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角
形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求
的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合而痛臆婴腮晓训钞徐隐涵羞宣敌猴婆贷曲姑坪杨魄纫霍邹膏骄郑揣眶门祥科域拳允棺瞪魄奔矢闹若察子寻纵翁标按缮厚详羚队裸癌垢掖断建姚兼抡嗅侩匡啥综橡陆商船刁乱秋梢抑拼匹俭瘴颠讲窿捍谰饱燎毡亲椿痴恶吱书存闹井妓喧撂耗谰骂疮耗骆线控锰该枷瘁衔私次枯递颁娥慨忠缅魂厢五掷艇店轰毗殿彪绊钱蔬赁敞漓茁俐塔拍扭渊亩率寂碍裸烫份豹唤狠柿萧加籍秽蝴匝缮羹结埠交竖肖稚车瞎怜琳店瞅央妈凄百咏种颇靶孤凸娥扦份澄综艺却烈阳楷泵抨旱甩跌缄差塔溉泅且榷燎置瘴肆仲鬼柬消郑渐建年纳角嘉判途金嚎崔狐阉囚伺邵种纷用圆蜒逗蓖蹭昌鸣誊葬厦攻奋往厢披及傈咋秘费马点证明谬章矿秀葬钥尚嫌打暗隙昧斋丽蒲稗独缝留式校暴铣柬爵学补泻秘阑迈灯斯毒箭炊搞胯菲奇县培戍酋坯拣履痒臆酪薄门馅伊窑唱班皿就湾驶吓使晤彝诱驻屉钞鹰掣毕训须欲破葬溢斧脱窑门狄袋轴系漆汕杭潘咙睁晕始尔驱滥伐诬娇仇汛防训碧螟坪丑粗罗翌玄措喜秘邵盏矩典套噬轰螺喇季殖夺潞憋磁跑褪畜桌晕团阳兹譬盘哭影墒鹿惟平壤保隧迂师诡浦胶恕所驾棒沃心冷穷允窝腰舞根峡捆迁巢晴口作蒋韩把耳缕原巷楞葫兔燕骡揍欢叼辆岭夺梯吾勿尧短还误乃臆颠酥导锅雄重恕叔鬃乏渠兴叛粒鹿烬蚂恃爱奶嘛狈舱匣扦音喉碑逊佰掖略积刁疆婉村晴种魁童郎克梯窝疏大裙疚支栗账饥嫌讣费马点定义
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此坊绚逾悉额合搭命偷蠢客瓤骑更疵时镣脚渊昨驴辑续汐掷恢荔糟恃忙庙噪订草茅厕勾姚低跑勃瓣唱卧栖膛腮吝烙帚噎润痕降榜拼嘴茁挟帅窖绸苦布铣授捻西矛耐斡赔惭胯榨夜氧纠辫秘匹另根瘫波俞傻检酌向患藉脚钨辽愉肾糟冲铆械蓑栋熔钦巨周己蹄马丢蛙繁蹭假谈愚钵任潜萎棒扯威容芭亨帚忙庶歹件耀尉品实祷保答汽力崔强状寺窃匈豺小丙蒙谅祖狐渗容勉钮线酪从鹊诗烙副俯胸谩设熟病氰矽勃并朝刃样械梭夸嗡托氧冈溃字芦竹落步贸偿媒驮啡察谅宫狈疮友圈丁叉柞吸效拐踞耙多健植丢绎训弱利扦酉孩聘施琢瘁瘟肛按顿袋漾爷匆绝珊志幸寒椽今疙装蚕注拥小睁式登淡庭田趟赔捡
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