对基本的数学思想方法的认识与理解

对基本的数学思想方法的认识与理解

对基本的数学思想方法的认识与理解 1、 观察法 观察是指人对周围的事物或现象进行全面、 深入地察看， 按事物或现象的本来面目， 研究和确定它们的性质和关系的一种心理现象。

在数学教学中， 恰当地运用观察来收集材料， 发现新事物， 探求解题方法与途径， 这对于培养学生的观察能力， 提高教学效果有很大作用。

数学教学活动中的观察， 就是有意识地对事物的数和形的特点进行感知活动， 也就是说， 是指对用符号、 字母、 数字所表示的数学关系式、 命题、 问题及对图表、 图像、 几何图形的结构特点的观察。

2、 比较法：

比较是在思维中确定对象间的相同点和不同点的思维操作， 是以对象间存在相同点和不同点为前提的。

比较的规则：

只有对具有确定联系的对象或比较有意义的对象才能进行比较； 比较应在同一标准下进行； 比较应能按照一定的操作程序进行并在有限步内得出结果； 对同一性质做得比较印在所研究的所有对象间进行， 也可以说要进行完全比较。

3、 分类方法：

是根据对象的相同点和差一点将对象区分为不同种类的基本的逻辑方法， 分类也叫划分。

数学中的分类是按照数学对象的相同点和差异点将数学对象区分为不同种类的一种思想方法。

分类以比较为基础， 通过比较识别出数学对象之间的异同点， 然后根据相同点把数学对象归并为较大的类， 根据差异点将数学对象划分为较小的类， 从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级系统。

分类具有三个要素：

母项， 即被划分的对象； 子项， 即划分后所得的类概念； 根据， 即划分的标准。

分类的原则是不重复、 不遗漏、 标准同一。

4、 数形结合方法：

数学的研究对象大致分为两类：

一类是研究数量关系的， 一类是研究空间形式的。

整个数学， 不论是初等数学还是高等数学， 都是以数和形作为研究对象的。

所谓数形结合方法就是在研究数学问题时， 由数思形， 见形思数、 数形结合考虑问题的一种思想方法。

5、 数学模型方法：

数学模型是用数学语言模拟现实的模型， 即把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来， 用数学语言概括的或近似的表述出来的一种数学结构。

数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。

按广义理解， 一切数学概念、 数学理论体系、 数学公式、 方程式和算法系统都可称为数学模型。

数学模型可以分为三类：

概念型数学模型， 方法型数学模型， 结构型数学模型。

按狭义的理解， 只有那些反映特定问题的数学结构才称为数学模型。

数学模型方法是利用数学模型解决问题的一般数学方法， 简称 MM 方法。

基本步骤：

（1）从现实原型中抽象概括出数学模型；（2） 在数学模型上进行逻辑推理、 论证或演算， 求得数学问题的解；（3） 从数学模型过渡到现实原型， 即把研究的数学模型所得到的结论， 返回到现实原型上去， 便得到实际问题的解答。

6、 化归方法：

所谓化归， 可以理解为转化和归结的意思。

化归方法是指数学家们把待解决的问题， 通过某种转化过程， 归结到一类已经能够解决的或者比较容易解决的问题中， 最终获得原问题的解答的一种手段和方法。

化归方法有三个要素：

化归对象、 化归目 标和化归途径。

实现化归的关键是实现问题的规范化、 模式化， 化未知为已知是化归的方向。

化归的基本原则是简单化原则、 熟悉化原则、 和谐化原则。

化归的途径有分解与组合， 恒等变形。

7、 归纳法（归纳推理）：

是通过对一些个别的、 特殊的情况加以观察、 分析， 进而导出一个一般性结论的推理方法。

归纳法是一种从特殊到一般的推理方法， 它与演绎法被认为是理性思维中两种最重要的方法。

8、 演绎法（演绎推理）：

是以一个一般性判断（或再加上一个特殊的判断） 为前提， 推出一个作为结论的个别的或特殊的判断的推理方法， 即一般到特殊的推理方法。

三段论是演绎推理的主要形式。

三段论由大前提、 小前提、 结论三部分组成。

如：

偶数能被 2 整除， a 是偶数， a 能被 2 整除。

三段论的一般形式是：

M 是 P（大前提）， S 是 M（小前提）， 所以 S 是P（结论） 如：

3258 的各位数字之和能被 3 整除， 所以 3258 能被 3 整除。

演绎推理的前提蕴含着结论， 它的前提与结论之间存在着必然的联系， 因此， 当它的前提为真时， 结论必然为真。

这是演绎推理的根本特点。

数学科学就是一门演绎的科学， 任何一门数学学科的理论都是由一组基本概念和关系出发， 不断形成新的概念， 确立新的关系。

并通过演绎推理， 按照逻辑顺序， 由上述基本概念、 关系和公里推出新的判断和推论， 逐步建立起学科理论体系。

9、 完全归纳法是根据对某类事物中的每一对象的情况分析， 进而作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

完全归纳法的推理形式是：

设 S=｛ A1,A2,A3， ， An｝ ;由于 A1 具有属性 p, A2 具有属性 p, A3 具有属性 p,, An 具有属性 p,因此推断 S 中每一个对象都具有属性 p。

完全归纳法在数学中有广泛的应用， 常用于叙述概念、 归纳结论、 统一定义和证明定理等。

由完全归纳法得出的结论是可靠的， 具有确定性。

因此完全归纳法可以作为一种严格的论证方法。

这是因为完全归纳法考察了某类事物的全部对象， 因此， 当它的前提为真时，其结论也必然为真。

演绎推理是前提与结论之间有必然联系的推理， 所以， 完全归纳法实质上属于演绎推理的范畴。

10、 不完全归纳法所谓不完全归纳法是根据对某类事物中的部分对象的分析， 作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。

不完全归纳法的结果是在仅仅观察、 分析了某类事物的部分对象之后， 对该类事物的属性所提出的猜想。

因此， 其前提与结论之间布局有必然的联系，其结果具有或然性。

不完全归纳法是一种合情推理， 而不是严格的逻辑论证方法， 所得的结论的正确性， 尚需经过严格的逻辑推理和实践检验后才能确认。

11、猜想与反驳。

猜想是人们根据一定的经验材料和已知事实对数学问题作出的推测性判断，可能为真， 也可能为假。

关于数学命题的猜想又称为数学猜想。

归纳猜想和类比猜想是数学猜想的两种主要类型。

对于猜想得到的命题或者经过演绎证明确认为真命题， 或者举出反例判断其为假命题。

在数学中， 反驳通常都是寻找一个符合猜想条件的特例， 而这个特例恰恰与猜想的结论不符， 这个特例就称为此猜想的反例。

用一个反例作为论据否定猜想的方法称为反例反驳。

它是用特殊否定一般的一种思维形式。

12、 归纳猜想：

人们运用归纳法， 得出对一类现象的某种一般性认识的一种推测性的判断，即猜想， 这种思想方法称为归纳猜想。

13、 类比法（类比推理）：

是指由一类事物所具有的属性， 可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

波利亚认为类比就是一种相似类比法是一种从特殊到特殊的推理方法， 其结论具有或然性， 是否正确要经过严格的证明或者实践检验。

类比的类型主要有：

表层类比（形式或结构上的简单类比）； 深层类比（方法或模式上的纵向类比）； 沟通类比（各分科之间的类比） 类比推理在小学中有着广泛的应用， 它是学生获取数学知识的主要方法之一。

例如：

由加法对乘法的分配律可以类比得到减法对乘法的分配律。

由整数、 小数乘法的算法， 类比推出分数乘法的算法。

14、 类比猜想：

人们运用类比法， 根据一类事物所具有的某种属性， 得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性判断， 即猜想， 这种思想方法称为类比猜想。

15、 抽象概括方法：

抽象与概括是数学思想方法最基本的内容之一。

抽象是指在认识事物的过程中， 舍弃那些个别的、 偶然的非本质属性， 抽取普遍的、 必然的本质属性形成科学概念，从而把握事物的本质和规律。

概括是指在认识事物属性的过程中， 把所研究各部分事物得到的一般的、 本质的属性联系起来， 整理推广到同类的全体事物， 从而形成这类事物的普遍概念。

抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定其固有的另一些属性的思维过程， 抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。

概括是在思维中由认识个别事物的本质属性， 发展到认识具有这种本质属性的一切事物， 从而形成关于这类事物的普遍概念。

由概括得出的新概念是表述概括对象的一个属概念。

例如有平行四边形、 菱形的图形概念概括出四边形概念。

抽象是概括的基础， 没有抽象就不能认识任何事物的本质属性， 就无法概括。

16、 坐标法：

根据几何问题的特点建立适当的坐标系， 然后将几何问题转化为代数问题， 经过计算和推理， 获得有关的代数结论， 最后再通过坐标系将代数结论转化为几何结论， 从而求得原几何问题的答案。

17、 特殊化方法：

所谓特殊化是指在研究问题时， 从对象的一个给定集合出发， 进而考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。

特殊化的作用在于， 当研究的对象比较复杂时， 通过研究对象的特殊情况， 能使我们对研究对象有个初步的了 解。

我们考察了这个特殊情况后，可以弄清蕴涵于其中的一些概念和关系， 并且熟悉我们面对的问题类型， 这对我们进一步解决问题时有帮助的。

特殊化的作用还在于事物的共性存在与个性之中。

对个别特殊情况的讨论， 常常可以突出问题的关键， 有助于解释问题的本质。

特殊化是研究个性中的共性的一种方法。

对此著名的数学教育家波利亚曾举过一个颇为著名的例子：

两个人用同样大小的硬币，轮流放置于一个长方形台面上， 不允许互相重叠， 谁方最后一枚硬币谁就获胜。

这个问题是许多人困惑， 后来有人去请教一个著名的数学家， 他沉思了一会儿， 说：

问题中既然没有指明台面的大小， 我们不妨考虑一种特殊情况， 即这个台面充分小， 以至于只能放下一枚硬币。

这时， 显然先放的人获胜。

数学家借助这一极端特殊的情况， 从而使问题的答案变得显而易见。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/30f8d23b70fe910ef12d2af90242a8956aecaa1b.html