清华大学版理论力学课后习题答案大全 第7章质点动力学

第3篇 工程动力学基础

第7章 质点动力学

7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。

解：接触跳台时

m/s

设运动员在斜面上无机械能损失

m/s

m/s, m/s

m

s

s

s

m

7-2 图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处，如图所示。水柱的初速度m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离为多少？

解：(1) (1)

(2)

(1)代入(2)，得

,

(2)（到最高点所经过时间）

m

7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度向右运动。另一物块置于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为，且tanθ>，开始时物块在斜面上静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度的最大值和最小值应为多少？

解：1、物块不上滑时受力图(a)

(1)

(2)

临界： (3)

(3)代入(1)、(2)，消去，得

(4)

2、物块不下滑时受力图(b)：

(5)

(6)

临界： (7)

(7)代入(5)、(6)，消去，得

(8)

7-4 图示物体的质量为m，悬挂在刚度系数为k的弹簧上，平衡时弹簧的静伸长为δst。开始时物体离开平衡位置的距离为a，然后无初速度地释放。试对图中各种不同坐标原点和坐标轴列出物体的运动微分方程，写出初始条件，求出运动规律，并比较所得到的结果。

解：(a)受力图(e)，且

(1)

(2)

(3)

(1)、(2)代入(3)，得

(4)

记，则

(5)

初始条件：时，， (6)

(6)代入(5)，得

；

(b)受力图(e)

令，则

初始条件：时，，

(c)受力图(f)

代入上式，即

当时，，

；

(d)受力图(f)

当时，，

；

7-5 图示质量为m的平板置于两个反向转动的滑轮上，两轮间的距离为2d，半径为R。若将板的重心推出，使其距离原对称位置O为x0，然后无初速度地释放，则板将在动滑动摩擦力的作用下作简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为f。试求板振动的运动规律和周期。

解：1、图(a)

, (1)

,

即 (2)

由(1)、(2)解得：

即

振动周期：

运动方程：

当时，，

运动规律：

7-6 图示升降机厢笼的质量m=3×103kg，以速度=0.3m/s在矿井中下降。由于吊索上端突然嵌住，厢笼中止下降。如果索的弹簧刚度系数k=2.75kN/mm，忽略吊索质量，试求此后厢笼的运动规律。

解：图（a）：

（1）

（2）

（3）

(1)、(3)代入(2)，得

（4）

t=0时，x=0， m/s （5）

代入(4)，得

（6）

rad/s （7）

将(5)、(7)代入(6)得

（mm，t以秒计）

7-7 质量m=2kg的物体从高度h=0.5m处无初速地降落在长为l=1m的悬臂木梁的自由端上，如图所示。梁的横截面为矩形，高为30mm，宽为20mm，梁的弹性模量E=106MPa。若不计梁的质量，并设物体碰到梁后不回弹，试求物体的运动规律。

解：物体作用在梁端点产生的静变形

（1）

（2）

当量刚度： （3）

任意位置弹性恢复力

（4）

物体运动微分方程

（5）

将(1)、(2)、(3)代入(4)，得

令rad/s （6）

则理学 （7）

当t = 0时，， m/s

， rad

m =12mm

mm

7-8 图示用两绳悬挂的质量m处于静止。试问：

1. 两绳中的张力各等于多少？

2. 若将绳A剪断，则绳B在该瞬时的张力又等于多少？

解：1、图（a）

，

，

2、图（b）

绳A剪断瞬时，

，

7-9 质量为1kg的滑块A可在矩形块上光滑的斜槽中滑动，如图所示。若板以水平的等加速度a0=8m/s2运动，求滑块A相对滑槽的加速度和对槽的压力。若滑块相对于槽的初速度为零，试求其相对运动规律。

解：滑块A为动点，矩形板为动系，牵连加速度，相对加速度，A块受力如图（a），其中

N

N

由滑块相对“平衡”：

， N

， N

相对加速度： m/s2

相对运动规律：（m）

7-10 图示质量为m的质点置于光滑的小车上，且以刚度系数为k的弹簧与小车相联。若小车以水平等加速度a作直线运动，开始时小车及质点均处于静止状态，试求质点的相对运动方程（不计摩擦）。

解：设质点m对车的相对位移为x（设向右为正），

质点受力：

质点相对运动微分方程：

（1）

初始条件：时，，

代入（1），得：，

7-11 图示单摆的悬挂点以等加速度a沿铅垂线向上运动。若摆长为l，试求单摆作微振动的周期。

解：牵连惯性力

相对运动微分方程：

时，上式为

周期

7-12 图示圆盘绕轴O在水平面内转动，质量为1kg的滑块A可在圆盘上的光滑槽中运动。盘和滑块在图示位置处于静止，这时圆盘开始以等角加速度=40rad/s2转动，已知b=0.1m。试求圆盘开始运动时，槽作用在滑块A上的侧压力及滑块的相对加速度。

解：运动开始时，，

，

m/s2，未知。

物块受力如图，槽的侧压力方向如图，大小未知，牵连惯性力：

N （1）

相对运动微分方程：

（2）

（3）

（1）代入（2）、（3）解得

m/s2

N

7-13 现有若干刚度系数均为k且长度相等的弹簧，另有若干质量均为m的物块，试任意组成两个固有频率分别为和的弹簧质量系统，并画出示意图。

答：1.,见图（a）或(b)或(c).

2.，见图（d）或(e)

7-14 分析图中所示7组振动模型，判断哪几组中的两个系统具有相同的固有频率。

答：图(a)、(b)、(e)、(g)均具有相同的固有频率。

7-15 图示匀质摇杆OA质量为，长为，匀质圆盘质量为，当系统平衡时摇杆处在水平位置，而弹簧BD处于铅垂位置，且静伸长为，设OB=a，圆盘在滑道中作纯滚动。试求系统微振动固有频率。

解： 1、弹簧刚度

静平衡时，轮缘摩擦力，由系统平衡。

，

即

(1)

2、

由于以平衡位置为角的起始位置，弹簧静位移产生的弹性力与重力，相抵消，故此后计算时，只考虑弹簧偏离平衡位置产生的弹性力，从平衡位置到角，弹力功：

，

即

:

(2)

(1)代入(2),得

7-16 一单层房屋结构可简化为如图所示的模型：房顶可视为质量为m的刚性杆，柱子可视为高为h、弯曲刚度为EI的梁，不计柱子的质量。试求该房屋水平振动的固有频率。

解：柱子两端都是固定端，可看作两根长的悬臂梁坚固对接，见(图a)。

悬臂梁的最大挠度为见(图b)

本题中，

于是有

由上可算出

在层顶位移x时，两根立柱产生的弹性阻力，故屋顶的运动微分方程为

即

这是简谐振动方程，其固有频率为

7-17 长为l、质量为m匀质杆两端用滑轮A和B安置在光滑的水平和铅垂滑道内滑动，并联有刚度系数为k的弹簧，如图所示。当杆处于水平位置时，弹簧长度为原长。不计滑轮A和B的质量，试求AB杆绕平衡位置振动的固有频率。

解：设杆在水平位置时，势能为0，则势能

平衡：

， （平衡位置角）

设杆偏离平衡位置一微小角度，则杆的动能

弹簧势能

保守力场（理想约束）机械能守恒：

即

:

即 （1）

微振动，，此时

代入（1）得，

其中

7-18 质量为的质块用刚度系数为的弹簧悬挂，在静止不动时有另一质量为的物块在距高度为处落下，如图所示。撞到后不再分开。试求系统的振动频率和振幅。

解：两质块在一起振动时，其固有频率为：

（1）

块下落至碰撞前速度

相碰后，的速度 （动量守恒）

弹簧加上时，已伸长了

再加后，需再伸长

其重力和弹性力才能平衡，若以静平衡位置为坐标原点，如图，则系统振动方程为

（2）

（3）

振动开始于碰撞之末，此时（t=0）它们的坐标为：

（4）

（5）

时，由（2）、（3）得

（6）

（7）

比较（3）、（6）和（5）、（7）得，

，

两边平方，相加得

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