阿波罗尼斯圆
1、适用题型
1、已知两个线段长度之比为定值;
2、过某动点向两定圆作切线,若切线张角相等;
3、向量的定比分点公式结合角平分线;
4、线段的倍数转化;
2、基本理论
(1)阿波罗尼斯定理(又称中线长公式)
设三角形的三边长分别为
(2)阿波罗尼斯圆
一般地,平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”
化简得:
轨迹为圆心
(3)阿波罗尼斯圆的性质
1、满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比
2、直线
3、
4、若
5、若点
3、补充说明
1、关于性质1的证明
定理:
证明:不妨设
由相交弦定理及勾股定理得:
从而
2、关于性质6的补充
若已知圆
4、典型例题
例1(教材例题)已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出曲线。
解:设点是曲线上任意一点,则,整理即得到该曲线的方程为:。
例2(2003北京春季文)设
解:设动点P的坐标为(x,y)
由
化简得
当
当a=1时,化简得x=0.
所以当
当a=1时,P点的轨迹为y轴.
例3(2005江苏高考数学)如图,圆
解:以
由已知
因为两圆的半径均为1,所以
设
即
所以所求轨迹方程为
例4(2006四川高考理)已知两定点、,如果动点P满足,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()
(A)(B)(C)(D)
解:B
例5(2008江苏高考)
答案:
变形:
答案:
例6设点
解:先作线段
例7(2011年南通一模)已知等腰三角形一腰上的中线长为
例8(2013江苏高考)如图,在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为,圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).
设切线为:,
d=,得:.
故所求切线为:.
(2)设点M(x,y),由,知:,
化简得:,
即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.
故:1≤|CD|≤3,其中.
解之得:0≤a≤
例9圆
答案:做圆
例10在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数?如果存在,求出点、坐标;如果不存在,请说明理由。
解:假设在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数,设、、,其中。
即对满足的任何实数对恒成立,
整理得:,将代入得:
,这个式子对任意恒成立,所以一定有:
,因为,所以解得:、。
所以,在轴正半轴上是否存在两个定点、,使得圆上任意一点到、两点的距离之比为常数。
例11铁路线上线段km,工厂到铁路的距离km。现要在、之间某一点处,向修一条公路。已知每吨货物运输km的铁路费用与公路费用之比为,为了使原料从供应站运到工厂的费用最少,点应选在何处?
解:建立如图所示直角坐标系,
先求到定点、的距离之比为的动点的轨迹方程,
即:
,整理即得动点的轨迹方程:
,
令,得(舍去正值)即得点。
下面证明此点即为所求点:
自点作延长线的垂线,垂足为,在线段上任取点,连接,再作于。
设每吨货物运输km的铁路费用为,
则每吨货物运输km的公路费用为,
如果选址在处,那么总运输费用为,
而∽∽
∴
∴
那么总费用,
当且仅当点、、共线时取等号
总上所述,点即为所求点
例12已知点
答案:7
例13
答案:3
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