2016年常德市高三年级模拟考试
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，时量120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，
，则
A． B．
C．
D．
2．复数满足
，则
A． B．
C．
D．
3．若；
，则
A．是
充要条件
B．是
的充分条件，但不是
的必要条件
C．是
的必要条件，但不是
的充分条件
D．既不是
的充分条件，也不是
的必要条件
4．已知平面向量为单位向量，
，则向量
的夹角为
A．
B．
C．
D．
5．函数则函数
的零点个数为
A． B．
C．
D．
6．设满足约束条件
则
的最大值为
A． B．
C．
D．
7．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为
A． B．
C．
D．
8．右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示除以
的余数），若输入的
，
分别为495，135，则输出的
=
A．0 B．5 C．45 D．90
9．抛物线的焦点
与双曲线
右焦点重合，又
为两曲线的一个公共交点，且
，则双曲线的实轴长为
A． B．
C．
D．
10．数列
满足：
，则数列
前
项的和为
A． B．
C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表
面积为
A． B．
C． D．
12．已知函数，则不等式
的解集为
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．已知定义在R上的函数满足
，当
时，
，则
．
14．在等比数列中，
，则
．
15．已知圆的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆
有公共点，则
的取值范围为 .
16．为了测得一铁塔AB的高度，某人在塔底B的正东方向C处测得塔顶A的仰角为45°，再由C点沿北偏东30°方向走了20米后到达D点，又测得塔顶A的仰角为30°，则铁塔AB的高度为 米．
三、解答题：本大题共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数，且
的最小正周期为
．
（Ⅰ）求的值及
的单调递减区间；
（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个长度单位后得到函数
的图象，求当
时
的最大值．
18．（本小题满分12分）某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450），[450,550），[550,650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群” ．
（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？
（参考公式：，其中
）
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，
平面
，
∥
,
，
，
为
上一点，
平面
．
（Ⅰ）求证：∥平面
.
（Ⅱ）若，求点D到平面EMC的距离.
20．（本小题满分12分）已知椭圆：
的离心率为
，焦距为
，抛物线
：
的焦点
是椭圆
的顶点．
（Ⅰ）求与
的标准方程；
（Ⅱ）若的切线交
于
，
两点，且满足
，求直线
的方程．
21．（本小题满分12分）已知函数，曲线
在点
处的切线与直线
垂直（其中
为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求的解析式及单调递减区间；
（Ⅱ）是否存在常数，使得对于定义域内的任意
，
恒成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知
，圆
是
的外接圆，
，
是圆
的直径．过点
作圆
的切线交
的延长线于点
．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若,
，求
的面积．
23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是
（
为参数），以坐标原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
、
的极坐标分别为
、
.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线
上的动点，求点
到直线
距离的最大值．
24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集；
（Ⅱ）若关于的不等式
有解，求
的取值范围．
2016年常德市高三年级模拟考试
数学（文史类）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1. A 2.C 3.B 4. D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13. 4 14. 2 15. 16. 20
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分12分）
（Ⅰ）=
∵，∴
……………………3分
从而，令
，
得，∴
的单调减区间为
．
……………………6分
（Ⅱ）， ……………………9分
∵，∴
，∴当
，即
时，
． ……………………12分
18．（本题满分12分）
（Ⅰ）由题意知且
解得 ……………………3分
所求平均数为：
(元) ……6分
（Ⅱ）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表：
……………………9分
根据上表数据代入公式可得
所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关． ……………………12分
19．（本题满分12分）
（Ⅰ）证明：取的中点
，连接
，因为
，所以
，又因为
平面
，所以
，所以
平面
，………………3分
因为平面
，所以
∥
，
面
，
平面
,所以
∥平面
； ………………6分
（Ⅱ）因为平面
，
面
所以平面
平面
，平面
平面
,过点
作直线
,则
平面
，…… 9分
由已知平面
，
∥
,
，可得
，
又，所以
为
的中点，在
中，
，
在中，
，
，
在中，
，由等面积法知
，所以
，即点D到平面EMC的距离为
. …………………12分
说明：用三棱锥的等体积方法求三棱锥的高．按相应计分标准给分。
20．（本题满分12分）
（Ⅰ）设椭圆的焦距为
，依题意有
，
，
解得，
，故椭圆
的标准方程为
；……………3分
又抛物线：
开口向上，故
是椭圆
的上顶点，
，
，故物线
的标准方程为
. ………………5分
（）显然直线
的斜率存在.设直线
的方程为
，设
，
，则
，
，
，
即（
）………………7分
联立，消去
整理得，
（
）.
依题意，，
是方程（
）的两根，
，
，
， ………………9分
将和
代入（
）得
，解得
，（
不合题意，应舍去）， ………………10分
联立，消去
整理得，
，令
，解得
，经检验
,
符合要求.
故直线的方程为
． ………………12分
21．（本题满分12分）
(Ⅰ)， ………………1分
又由题意有：
，故
………………3分
此时，，由
或
，所以函数
的单调减区间为和
． ………………5分
（说明：减区间写为的扣2分）
(Ⅱ)要恒成立，即
………6分
①当时，
，则要：
恒成立，
令，
再令，所以
在
内递减，所以当
时，
，故
，所以
在
内递增，
； ………9分
②当时，
，则要：
恒成立，
由①可知，当时，
，所以
在
内递增，
所以当时，
，故
，所以
在
内递增，； ………11分
综合①②可得：，即存在常数
满足题意． ………12分
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本题满分10分）
（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴，又
，∴
，
∵，故
，∴
，
∴又
，∴
. …………5分
（Ⅱ）
是
的切线，
在
和
中，
……………7分
设， 则根据切割线定理有
. ……………10分
23．（本题满分10分）
（Ⅰ） 将、
化为直角坐标为
、
，即
、
的直角坐标分别为
、
, ………………2分
，∴直线
的方程为
，
即的方程为
. ………………5分
（Ⅱ）设，它到直线
距离
=
，
∴ ………………10分
24．（本题满分10分）
（Ⅰ）当时，
此时无解； …………………1分
当时，
此时； …………………2分
当时，
此时； …………………3分
综上所述，不等式的解集为
. …………………5分
（Ⅱ）有解
由（Ⅰ）可知； …………………7分
当时，
；当
时，
；当
时，
，
∴，故
．………10分
说明：解答题如用其它解法请参考相应评分标准给分。
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