黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学（理）试题Word版含答案

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大庆市高三年级第二次教学质量检测试题

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合 ，则( )

A． B． C． D．

2.复数的实数为( )

A． B． C．1 D．-1

3.若满足，则的最大值为( )

A．1 B．3 C．9 D．12

4.执行下面的程序框图，则输出的=( )

A． B．

C. D．

5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A． B．6 C. D．

6.在中，,为的中点，则=( )

A．2 B．-2 C. D．

7.在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”( 如图) 证明了勾股定理，证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”这里的“实”可以理解为面积.这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 )，4个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实)”. 若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)，则其落入小正方形内的概率为( )

A． B． C. D．

8.函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是( )

A． B． C. D．

9.已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，若,，则双曲线的离心率为( )

A． B． C. D．2

10.下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：

其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是( )

①寿命在300-400的频数是90；

②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；

③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：

④寿命超过的频率为0.3

A．① B．② C.③ D．④

11.已知函数，下列关于的四个命题；

①函数在上是增函数 ②函数的最小值为0

③如果时，则的最小值为2

④函数有2个零点

其中真命题的个数是( )

A．1 B．2 C.3 D．4

12.已知函数，若方程有解，则的最小值为( )

A．1 B．2 C. D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.二项式展开式中的系数为 （用数字作答）

14已知，若，则 ．

15.已知三棱锥平面，为等边三角形，,则三棱锥外接球的体积为 ．

16.已知点及抛物线的焦点，若抛物线上的点满足，则 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知为等差数列的前项和，且.记,其中表示不超过的最大整数，如.

(I)求

(II)求数列的前200项和.

18.为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示:

(I) 根据列联表判断，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关;

（II)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的10名男生中，有6人使用国产手机，从这10名男生中任意选取3人，求这3人中使用国产手机的人数的分布列和数学期望.

参考公式：

19. 如图，在矩形中，, ,是的中点，将沿向上折起，使平面平面

(Ⅰ)求证：;

(Ⅱ)求二面角的大小

20. 已知椭圆离心率为，四个顶点构成的四边形的面积是4.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆交于均在第一象限，与轴、轴分别交于、两点，设直线的斜率为,直线的斜率分别为，且(其中为坐标原点).证明: 直线的斜率为定值.

21.已知函数.

(I) 当时，求函数的单调区间;

(II) 当时，恒成立，求的取值范围.

23.(本小题满分10 分) 选修4-5: 不等式选讲

已知函数.

(I )求不等式的解集;

(II )当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的方程为，直线的极坐标方程为.

(I )写出的极坐标方程和的平面直角坐标方程;

(Ⅱ) 若直线的极坐标方程为,设与的交点为与的交点为求的面积.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）求不等式的解集

（Ⅱ）当，时不等式恒成立，求实数的取值范围

大庆市高三年级第二次教学质量检测试题数学（理科）

参考答案

一、选择题

1-5:BDCCA 6-10: BDAAB 11、12：CD

二、填空题

13. 60 14. 2 15. 16.

三、解答题

17.解：（Ⅰ)设等差数列的公差为

由已知，根据等差数列性质可知：

所以.

因为，所以

所以

所以

(Ⅱ)当时， ，共两项；

当时，，共10项；

当时，，共50项；

当时，，共138项.

所以数列的前200项和为

18.

解：（Ⅰ）由列联表得：

由于，所以没有90％的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.

(2)可取值0，1，2，3

,

,

,

所以的分布列为

这3人中使用国产手机的人数的数学期望为

19.

(Ⅰ）证明：由题意可知，, ,

所以，在KH , ,所以；

因为平面⊥平面且是交线，平面

所以⊥平面

因为平面，所以.

解：(Ⅱ)设中点为,中点为,连接

所以,所以⊥平面

所以，.

因为,所以

以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图

则，

从而, , .

设为平面的法向量，

则，可以取.

设为平面的法向量，

则可以取.

因此，，有，即平面⊥平面,

故二面角的大小为90°.

20.解：（Ⅰ）由题意得，

又，解得.

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）设直线的方程为，

点的坐标分别为，

由，消去得，

，

则，

所以，

因为，所以

，

即

又，所以，

又结合图象可知，，所以直线的斜率为定值.

21.解：（Ⅰ)因为，函数定义域为：

，

令，由可知，

从而有两个不同解.

令，则

当时，；当时，，

所以函数的单调递增区间为，

单调递减区间为.

（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立.

令，

求导得，

设，则，

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

所以

①当时，，

此时，在上单调递增，

而，所以恒成立，满足题意.

②当时，，

而

根据零点存在性定理可知，存在，使得.

当时，单调递减；

当时，，单调递增.

所以有，

这与恒成立矛盾，

所以实数的取值范围为.

22.解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，

圆的普通方程为，

把代入方程得，，

所以的极坐标方程为；

（Ⅱ）分别将代入的极坐标方程得；

，

，

则的面积为

，

所以的面积为.

23.

解：（Ⅰ）由题意知，需解不等式.

当时，上式化为，解得；

当时，上式化为，无解；

当时，①式化为，解得.

所以的解集为或.

（Ⅱ）当时，，

则当，恒成立.

设，则在上的最大值为.

所以，即，得.

所以实数的取值范围为.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2e3ed85e70fe910ef12d2af90242a8956aecaa62.html