北京市西城区2011——2012学年度第一学期期末试卷（北区）
九年级数学 2012.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 抛物线的对称轴为（ ）.
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
2. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，
则∠BOC =（ ）.
A．60° B．45° C．30° D．15°
3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都
是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则
tan∠ACB的值为（ ）.
A．1 B． C．
D．
4．用配方法将化成
的形式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△
（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的
位似图形，则P点的坐标是（ ）.
A． B．
C． D．
6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这
种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价（元）满足关系：
.
若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程
正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
7. 如图，△OAB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O与AB相切，
切点为E，并分别交OA，OB于C，D两点，连接CD.
若CD等于，则扇形OCED的面积等于（ ）.
A．π
B．
π
C．
π
D．
π
8. 如图，OA=4，线段OA的中点为B，点P在以O为圆心，
OB为半径的圆上运动，PA的中点为Q.当点Q也落在
⊙O上时，cos∠OQB的值等于（ ）.
A． B．
C．
D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9. 如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，
若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的周长比为 .
10. 两圆的半径分别为3cm和4cm，若圆心距为5cm，则这两圆的位置关系为 .
11. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A
，以OA为半径作⊙O，
若点P，B都在⊙O上，且四边形AOPB为菱形，则点P的坐标
为 .
12．抛物线（a ≠ 0）满足条件：（1）
；（2）
；
（3）与x轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①；
②；③
；④
，其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）
13．计算：．
14．若关于x的方程有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．
15．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
AC=，D为CB延长线上一点，且BD=2AB．
求AD的长．
16．右图为抛物线
的一部分，它经过A
，
B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，
求平移后的抛物线的解析式．
17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B
的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高
楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.（取1.414，
取1.732）
18．对于抛物线.
（1）它与x轴交点的坐标为 ，与y轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ；
（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程
（t为实数）在
＜x＜
的范围内有
解，则t的取值范围是 ．
四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）
19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，
D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．
（1）求证：△BDE∽△CAD；
（2）若CD=2，求BE的长．
20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角（
） ，将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于 ， = °；
（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，
= °．
21．已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于
点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tanB =，求AD的长.
22．请阅读下面材料：
若，
是抛物线
（a ≠ 0）
上不同的两点，证明直线
为此抛物线的对称轴.
有一种方法证明如下：
，
是抛物线
（a ≠ 0）
上不同的两点，
∴ 且
≠
.
①-②得.
∴.
∴.
又∵ 抛物线（a ≠ 0）的对称轴为
，
∴ 直线为此抛物线的对称轴.
（1）反之，如果，
是抛物线
（a ≠ 0）
上不同的
两点，直线为该抛物线的对称轴，那么自变量取
，
时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考上述方法写出证明过程；
（2）利用以上结论解答下面问题：
已知二次函数当x = 4
时的函数值与x = 2007
时的函数值相等，求x = 2012
时的函数值.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23. 已知关于x的一元二次方程.（其中m为实数）
（1）若此方程的一个非零实数根为k，
① 当k = m时，求m的值；
② 若记为y，求y与m的关系式；
（2）当＜m＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由.
24. 已知抛物线（其中a ≠ c且a ≠0）.
（1）求此抛物线与x轴的交点坐标；（用a，c的代数式表示）
（2）若经过此抛物线顶点A的直线与此抛物线的另一个交点为
，
求此抛物线的解析式；
（3）点P在（2）中x轴上方的抛物线上，直线与 y轴的交点为C，若
，求点P的坐标；
（4）若（2）中的二次函数的自变量x在n≤x＜（n为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N， 则N关于n的函数关系式为 .
25. 含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（
且
≠ 90°），得到Rt△
，
边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥
交
边于点E，连接BE.
（1）如图1，当边经过点B时，
= °；
（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍，猜想m的值并证明你的结论；
（3） 设 BC=1，AD=x，△BDE的面积为S，以点E为圆心，EB为半径作⊙E，当S=
时，求AD的长，并判断此时直线与⊙E的位置关系.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2bd9747902768e9951e738db.html
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