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江苏省南通市2018届高考第二次调研数学试卷有答案

发布时间：2020-04-18 09:23:41 来源：文档文库

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南通市2018届高三第二次调研测试

数学Ⅰ

参考公式：柱体的体积公式7051b28643a45a1d6432c6455069ae19.png，其中5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png为柱体的底面积，2510c39011c5be704182423e3a695e91.png为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合b8b947e5387c0fef0ccfafafff564ac4.png，则b97c1a5c577a9096dd175b73fc7f0405.png▲．

2．已知复数2de10707c71aa4d36d7c1398c1a2ac8a.png，其中865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png为虚数单位．若5878bca31a3c5b62e71cb1488237444b.png为纯虚数，则实数a的值为▲．

word/media/image9.gif3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间e1e60dff75fd0cfe19ef4b1f504535f1.png上，其频率分布直方图如图所示，

则成绩不低于60分的人数为▲．

word/media/image11.gif

4．如图是一个算法流程图，则输出的5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png的值为▲．

5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积

大于32 cm2的概率为▲．

6．在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，已知41a151cd86c30e7d216bf8c123c5d658.png，则f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的长为▲．

7．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，已知双曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png与双曲线d666d69c9ea71d07f81d4aedaf7ca812.png有公共的渐近线，且经过点

da072459af3e37ae1d13d2c2afbfefc8.png，则双曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的焦距为▲．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知角bd43c873a55b3a7ca4f82b6a7c5e3f9a.png的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点

faf97aef718d74bf3d568d9ca0623763.png，1cba08e9c83bf0e3c0d09719d8a21006.png，则1c10ecd67c6b071cb07594dd2e7837c3.png的值为▲．

9．设等比数列0e45b27718fe8857ff1e857d54b9181a.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png．若d0bc26281e52681f8683e534f47cc6fa.png成等差数列，且e33d5069314f375ac3c43807814e5868.png，则2cd2e15f726fd0f7061a922e3e1c37d5.png的值为▲．

10．已知901b880c0a524dd08badef17d935824a.png均为正数，且dc8a4dd497a40e817e70e11a0eda364d.png，则04f5be0bccdbf812a6640f4b88fd67a0.png的最小值为▲．

11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png上的点都在不等式组bab41442121a1d40fc02a98272eda0d5.png表示的平面区域

内，则面积最大的圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的标准方程为▲．

12．设函数f808247fc9f52811248f60d77e0c4cb7.png（其中e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数

6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是▲．

13．在平面四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，已知f8aadaf2117b6935821c39242b2efb2b.png，则a81baa9dfbe2c91100df345c89d4ae97.png的值为▲．

14．已知0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为常数，函数5fe1e48710d0ef5f6a320397235cbced.png的最小值为fc18bf9360e6895b9b01a774b18e3780.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的所有值为▲．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，设向量fd8feb46fd1854cda0608df98cfe6b6e.png，a9febf6303b6d0676f03c3d30db55e47.png，f6ffb46d40553a8ccad52afcb0dc2b7e.png．

（1）若aeed2ceb766cbcdf20eaadf122330690.png，求4033b8f8aa4256ca3ea627e2271f6396.png的值；

（2）设9c9234048765944fc179ce4b3e6c3b27.png，11982c27aff929f36fd270b3cb5a064e.png，且a1b456874a4c340b5e43fbf1c1c0ffe8.png，求dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB =AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于

word/media/image53.gif端点），且∠ABE=∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．

求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

（2）BC // 平面AEF．

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆ea36c7a87d159e77088d83c9d8312887.png的短轴端点，P是

椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为d79bcbbd6cd3348256ee1b1d517e811c.png时，线段PB1的长为39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：ead9e7a827ce12754f265c1d5616041c.pngf82bd58b78d57bef34b41aa0c39e1dab.png．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

18．（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线

l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆

柱的两个底面；

方案②：以e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形

（各边分别与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png或f0f5406ed3579a1c90375b4e86504338.png垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

word/media/image62.gif（2）设e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png的长为45b32ea04698cee08d688a80f4a9c2ad.pngdm，则当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

19．（本小题满分16分）

设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且6d54b2a9d2fb37ab772387b4eb7b9936.png．

记63f54eca626a17f21df10a6bdc59b9da.png（i=1，2，3，4）．

（1）求证：数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png不是等差数列；

（2）设ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，ed7e87e89723823cc5feb4fe84e41254.png．若数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列198d7a68d4adc37426c90d57f733a1ab.png能否为等比数列？并说明理由．

20．（本小题满分16分）

设函数c57f3be9a5c087508def4acdeb6f4ec6.png．

（1）若函数723612d4a382da8d9b5c6b73d0c7684a.png是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设024fc66375dbc556569cc63f0a51592c.png，2c7c745d085b2af509bef2b8bf863096.png是d179d3cf5d4ba2f9e69e78aff796402b.png的导函数．

①若对任意的99cc5540cdebb5e1cc2e669775af027e.png，求证：存在31343d5f2cf0e8c0cb1d10d3cbb637dd.png使17af62a7d92be88fd4cec6f6207665a0.png；

② 若f23e3a582b81c733c550ca7a0737d3e9.png，求证：9adda256456a76f0f51beaec19879b4b.png．

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数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．

求证：c8307ca7a6250041bf3da72a4fb6a1f1.png．

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知c3a006c66d3119b619681fc62b738395.png．设变换a5749ec33f2c95fe8c19d702d76d4968.png，f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png对应的矩阵

分别为f73618037c08b7cdf946d0ac7b8a7cd2.png，965e089d98650ce456bf98a2d5d8d3a9.png，求对△ABC依次实施变换a5749ec33f2c95fe8c19d702d76d4968.png，f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png后所得图形的面积．

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，求以点5d4e566b05d2439d92a098b2f3b4d2a9.png为圆心且与直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：cff171439b8b2b5a8126107aec3796c1.png相切的圆的极坐标方程．

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c为正实数，且00f0169595babc0a50b23fd168c8afcb.png，求证：90854092cfb2cefe759a77adfbdef261.png．

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张

如图所示的36392228661363e75c352077a2cfe66d7.png3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，

点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．

（1）求概率3acc9119f14543c75e8ad4e817b7b553.png；

（2）求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的概率分布及数学期望eb931970e9219d95efc54bb2640aa267.png．

23．（本小题满分10分）

已知0f8be5162b2c7754dadf994d38e6d856.png…00b6f3402923d4af6b11d7aa636cd64b.png，f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png．记1e432e89255a740d2ccba8e3f5bb3fd8.png．

（1）求f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png的值；

（2）化简0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的表达式，并证明：对任意的f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png，0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png都能被b31d4535817b7bdec96e8a69ff294d12.png整除．

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数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1．已知集合b8b947e5387c0fef0ccfafafff564ac4.png，则b97c1a5c577a9096dd175b73fc7f0405.png▲．

【答案】89de76e6c13b518807c08feac45d1e4b.png

2．已知复数2de10707c71aa4d36d7c1398c1a2ac8a.png，其中865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png为虚数单位．若5878bca31a3c5b62e71cb1488237444b.png为纯虚数，则实数a的值为▲．

【答案】fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png

3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间e1e60dff75fd0cfe19ef4b1f504535f1.png上，其频率分布直方图如图

word/media/image107.gif所示，则成绩不低于60分的人数为▲．

【答案】30

4．如图是一个算法流程图，则输出的5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png的值为▲．

【答案】125

5．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为▲．

【答案】7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png

6．在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，已知41a151cd86c30e7d216bf8c123c5d658.png，则f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的长为▲．

【答案】2cdfecd6cd66114920fef141ca2a8ab8.png

7．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，已知双曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png与双曲线d666d69c9ea71d07f81d4aedaf7ca812.png有公共的渐近线，且经过

点da072459af3e37ae1d13d2c2afbfefc8.png，则双曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的焦距为▲．

【答案】9f525fcad8e41db98394ae9281e4da10.png

8．在平面直角坐标系xOy中，已知角bd43c873a55b3a7ca4f82b6a7c5e3f9a.png的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点

faf97aef718d74bf3d568d9ca0623763.png，1cba08e9c83bf0e3c0d09719d8a21006.png，则1c10ecd67c6b071cb07594dd2e7837c3.png的值为▲．

【答案】d9e054eea4c68c49cafc382075c0b1be.png

9．设等比数列0e45b27718fe8857ff1e857d54b9181a.png的前n项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png．若d0bc26281e52681f8683e534f47cc6fa.png成等差数列，且e33d5069314f375ac3c43807814e5868.png，则2cd2e15f726fd0f7061a922e3e1c37d5.png的值为

▲．

【答案】7058f50931147930f344567525095d25.png

10．已知901b880c0a524dd08badef17d935824a.png均为正数，且dc8a4dd497a40e817e70e11a0eda364d.png，则04f5be0bccdbf812a6640f4b88fd67a0.png的最小值为▲．

【答案】8

11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png上的点都在不等式组bab41442121a1d40fc02a98272eda0d5.png表示的平面

区域内，则面积最大的圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的标准方程为▲．

【答案】5328f1109228788d7afdcd04c505952c.png

12．设函数f808247fc9f52811248f60d77e0c4cb7.png（其中e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png为自然对数的底数）有3个不同的零点，

则实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是▲．

【答案】1e46bf06e9110fd7907fb06abf5f718c.png

13．在平面四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png中，已知f8aadaf2117b6935821c39242b2efb2b.png，则a81baa9dfbe2c91100df345c89d4ae97.png的值为▲．

【答案】10

14．已知0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为常数，函数5fe1e48710d0ef5f6a320397235cbced.png的最小值为fc18bf9360e6895b9b01a774b18e3780.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的所有值为▲．

【答案】e9059636262709dd3a933412d97f46fe.png

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，设向量fd8feb46fd1854cda0608df98cfe6b6e.png，a9febf6303b6d0676f03c3d30db55e47.png，

f6ffb46d40553a8ccad52afcb0dc2b7e.png．

（1）若aeed2ceb766cbcdf20eaadf122330690.png，求4033b8f8aa4256ca3ea627e2271f6396.png的值；

（2）设9c9234048765944fc179ce4b3e6c3b27.png，11982c27aff929f36fd270b3cb5a064e.png，且a1b456874a4c340b5e43fbf1c1c0ffe8.png，求dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的值．

解：（1）因为fd8feb46fd1854cda0608df98cfe6b6e.png，a9febf6303b6d0676f03c3d30db55e47.png，f6ffb46d40553a8ccad52afcb0dc2b7e.png，

所以fe54502257e64786525101512bd42e52.png，

且da89041cd62f8214705dbe029b5a7d31.png． ……3分

因为aeed2ceb766cbcdf20eaadf122330690.png，所以bb88c1abf60631c46f54f341d03f880c.png，即a2+2a81baa6550d069f79441b4f03b354364a.pngb+b2=1，

所以1b60d91559d22139374e59a7ba2f6041.png，即0b03ebee0c0757b816e37128d6c502b1.png．……6分

（2）因为9c9234048765944fc179ce4b3e6c3b27.png，所以dd92aaabbc9280d6bec6eeccb00f4e19.png．

依题意，cd2b8a8396a9e0281a322940b78c8882.png．……8分

因为a1b456874a4c340b5e43fbf1c1c0ffe8.png，所以cdea93cd1ccef2e5337dbffd3313a183.png．

化简得，97bcc3fc6a14f4cb91a565731b06b41a.png，所以347d0c68de73e4dce6e48e2f30abd8a0.png．…… 12分

因为11982c27aff929f36fd270b3cb5a064e.png，所以3d8aee7c03f8c1cd1c74f1c42223e5e5.png．

所以3b8140a6d0069c44bcf0ec2cae280437.png，即44517ae5c8cb22b441bd7d72121b4ce9.png．…… 14分

16．（本小题满分14分）

word/media/image134.gif如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB =AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异

于端点），且∠ABE=∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．

求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；

（2）BC // 平面AEF．

证明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1 // CC1．

因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．…… 2分

又AE⊥BB1，AEb6bdfaa17ef468bffe7b656c27ea5f38.pngAFf578f5bc65a1583be65f4bc36f96aeac.png，AE，AFc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面AEF，

所以BB1⊥平面AEF．…… 5分

又因为BB1c51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．…… 7分

（2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE=∠ACF，AB =AC，

所以e9149e965c763e8a7888ad6a3a5e39d5.png△AEB ≌e9149e965c763e8a7888ad6a3a5e39d5.png△AFC．

所以BE = CF．…… 9分

又由（1）知，BE //CF．

所以四边形BEFC是平行四边形．

从而BC // EF．…… 11分

又BC61b76be6c483944b67795fe1bc237f09.png平面AEF，EFc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png平面AEF，

所以BC // 平面AEF．…… 14分

17．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆ea36c7a87d159e77088d83c9d8312887.png的短轴端点，P是

椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为d79bcbbd6cd3348256ee1b1d517e811c.png时，线段PB1的长为39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点Q满足：ead9e7a827ce12754f265c1d5616041c.pngf82bd58b78d57bef34b41aa0c39e1dab.png．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．

解：设d5aa731cae22d0b807576e43cb4793c9.png，c66264180c5a8b4de7bc433f830f5217.png．

（1）在d79bcbbd6cd3348256ee1b1d517e811c.png中，令e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png，得2afffe4b624abdd27735b7626f7a810d.png，从而b = 3．

…… 2分

由de5998e883b5266d56940e53c6ec0fbe.png得181fba01d6fc8e9c8c89bcc383a87b4d.png．

所以5bb8e6bb4d42a9d418031a499ac27ecb.png．…… 4分

因为62df46bfa2f2e99cdcaf752c86457903.png，

所以2c0ea18561234ae091060a80a2f5da5a.png，解得5e950d9f1a60adc828ffa30d95e65c99.png．

所以椭圆的标准方程为b1ad9a5b51c1ad5626df60e8fa9cf7b6.png．…… 6分

（2）方法一：

直线PB1的斜率为902a7e55f4ae1fbbfd9546138ace1e74.png，

由ead9e7a827ce12754f265c1d5616041c.png所以直线QB1的斜率为f933c40b8cc0802f7b233272d22fe1f7.png．

于是直线QB1的方程为：6e4a5668301f84a9840998b2940c3d8c.png．

同理，QB2的方程为：cc9f743db52ee32b9d4074938cace52d.png．…… 8分

联立两直线方程，消去y，得d277343fb4b6dd7460afe187168027a5.png．…… 10分

因为d5aa731cae22d0b807576e43cb4793c9.png在椭圆b1ad9a5b51c1ad5626df60e8fa9cf7b6.png上，所以94dff0333de4079a905603ae4ab2da24.png，从而b6aa2a224975a1254a9524eb39326946.png．

所以0c3292a5ebc82e13550cb9173244315e.png．…… 12分

所以ba25b01918667ad12dc00462893a3f10.png．…… 14分

方法二：

设直线PB1，PB2的斜率为k，72871e5f3a7fda129fc83fb2ad79672d.png，则直线PB1的方程为9a6cad5b07077532a1ca331582f4d4e9.png．

由ead9e7a827ce12754f265c1d5616041c.png直线QB1的方程为7ffbca88ba00cbceddbd9c11edcd8ad3.png．

将9a6cad5b07077532a1ca331582f4d4e9.png代入b1ad9a5b51c1ad5626df60e8fa9cf7b6.png，得44eff483f8b32952ceae6b0aa00030dd.png，

因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以4ef0fd3c0194df22642eb02e2e22edf0.png，从而f297e75c5d45f61ef193c7729f99fb92.pnge5b6598134dec7f30b41bef1ce5fdc4e.png．…… 8分

因为d5aa731cae22d0b807576e43cb4793c9.png在椭圆b1ad9a5b51c1ad5626df60e8fa9cf7b6.png上，所以94dff0333de4079a905603ae4ab2da24.png，从而b6aa2a224975a1254a9524eb39326946.png．

所以2c7d44f6bd8cdd0f1bc4b2e9964eb077.png，得f8fbb84204c0df044b90414c54d0f933.png．…… 10分

由f82bd58b78d57bef34b41aa0c39e1dab.png，所以直线16e8796c145ae9973ba1610d3acadb07.png的方程为fca4647f75784fe1a7fae4cc637bb006.png．

联立50ce9db506f74dfaa3095d899ae4020f.png则9653df1c7bcadb7bec6e4d1e533277b1.png，即49ee906adc0f5a9c472ea400ae1a88c2.png．…… 12分

所以7e14f677918e560ffd1ea06851aae879.png．…… 14分

18．（本小题满分16分）

将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿

虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：

方案①：以e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为

圆柱的两个底面；

方案②：以e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方

形（各边分别与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png或f0f5406ed3579a1c90375b4e86504338.png垂直）作为正四棱柱的两个底面．

（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；

（2）设e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png的长为45b32ea04698cee08d688a80f4a9c2ad.pngdm，则当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？

word/media/image62.gif解：（1）设所得圆柱的半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.pngdm，

则881b14182cafcb50f05e71d13e5a2728.png， …… 4分

解得86d9a66186f37c72b99a564a955dfe1b.png．…… 6分

（2）设所得正四棱柱的底面边长为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.pngdm，

则d9c86a60f510d85c0dcae352226e0860.png即86a25f75021f5601564ae21094c28783.png…… 9分

方法一：

所得正四棱柱的体积2464990000a9f12364653d27f14649ce.png……11分

记函数7553666465cffeaa1e3ffa223f3eb59a.png

则4130c89f2d12c3ac81aba3adbff28685.png在20119d0950e93a7f44d8a4710fc82861.png上单调递增，在a1722eb7afbbd476a4fd709eff6df803.png上单调递减，

所以当e054bc7948980aa8909dbcada5040b36.png时，c2708728cd3afaff201fc67117394fda.png．

所以当e054bc7948980aa8909dbcada5040b36.png，b4d9dcd7c7a7eea53127e5e2fd81fd22.png时，14189194327abc15d76634f69650c8cc.pngff806bc766f39a798de70c995a739aac.pngdm3．…… 14分

方法二：

52dbdaf01068394c9e2e597ab1f293d9.png，从而ea30a23ae889ccad4955472a7f60dc70.png．……11分

所得正四棱柱的体积08daf9275ac5473f42456e1e783c07f9.png．

所以当b4d9dcd7c7a7eea53127e5e2fd81fd22.png，e054bc7948980aa8909dbcada5040b36.png时，14189194327abc15d76634f69650c8cc.pngff806bc766f39a798de70c995a739aac.pngdm3．…… 14分

答：（1）圆柱的底面半径为aa030af4bab7c3ae6df82242a53c9aaf.pngdm；

（2）当9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png为4b92b22b68102253b5b7fa3dcdda6b6b.png时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．…… 16分

【评分说明】

①直接“由eccf6a93a1efcb6a7638ee2eb95ef71b.png得，e054bc7948980aa8909dbcada5040b36.png时正四棱柱的体积最大”给2分；

②方法一中的求解过程要体现5453c4271b3fe65e22ebce9d5fa986e3.png，凡写成07a07abd247eaf13b41af62c1a0db0fe.png的最多得5分，

其它类似解答参照给分．

19．（本小题满分16分）

设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且6d54b2a9d2fb37ab772387b4eb7b9936.png．

记63f54eca626a17f21df10a6bdc59b9da.png（i=1，2，3，4）．

（1）求证：数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png不是等差数列；

（2）设ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，ed7e87e89723823cc5feb4fe84e41254.png．若数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；

（3）数列198d7a68d4adc37426c90d57f733a1ab.png能否为等比数列？并说明理由．

解：（1）假设数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png是等差数列，

则927760d17ab1ef5566fa7425bcced492.png，即ac33d039c55b15526db4bab491caa927.png．

因为d6f6df4198711121f6259e4b89aebfaf.pngec3d19dec8eecd49e8ec21bb2b5dea63.png是等差数列，所以8c5ee91ba93d048549f739682c880fe9.png．从而d38e37e6aef38bf4eccf08b3de4986e9.png．……2分

又因为5f6954f19af3d12bfc70fa4cab74e348.pnga7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png是等比数列，所以7f13ef3da08d5684a0ee391f3e463968.png．

所以240b200d88eb91f3f464b65422e43191.png，这与1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png矛盾，从而假设不成立．

所以数列98178c3c5b33933a882cdb09790dee1d.png不是等差数列．……4分

（2）因为ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，ed7e87e89723823cc5feb4fe84e41254.png，所以d367e4e96b95a62dce2096f3c0af4474.png．

因为610d62716808838e2c14c616d6bc84ed.png，所以146743e0441b48385decfb381897a973.png，即5af0520bda27b75cd98c5b91c5aacdf3.png，……6分

由e09b9b2486b4e952b60f073324555e6e.png，得81487e2331a79904ead4ba3682fb8c8d.png，所以e7148d3e252cede55290506d8355c636.png且6f56af90c173395aa73a4466fdf43f7f.png．

又70c3b0045afdc51be2540c9d3191da7b.png，所以5af0520bda27b75cd98c5b91c5aacdf3.png，定义域为856a48f007efefa4230e5e93863eeb93.png．……8分

（3）方法一：

设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，

则fbe69b890152a5cd573c44196b95da93.png……10分

将①+③－2×②得，f46b28f6485647f1df1c02e651bf9f9c.png

将②+④－2×③得，c4563c25c2603656dac420bc41352ce3.png……12分

因为b2d755593ca7f5da559bf01afeb504a3.png，1727d0a2104246da80660a6d963ae93b.png，由⑤得27c52bfa5d956244693be7addff9c112.png，f6a5ea95fefb036c91d0d8b49a546860.png．

由⑤⑥得4f229e9f3c4719a4d79f11702506970c.png，从而59674d7819ed6445acae9420bf83801e.png．……14分

代入①得acdc8e638d943f319fe4da09db793ec4.png．

再代入②，得13285769c8cd293bfd541406e0621d87.png，与70c3b0045afdc51be2540c9d3191da7b.png矛盾．

所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．……16分

方法二：

假设数列198d7a68d4adc37426c90d57f733a1ab.png是等比数列，则82319aae09faef513eb8d8e10193db43.png．……10分

所以81c7167764cc35a2d66326ba4564929d.png，即7af15f1a99c8092479b69bd9ede860bb.png．

两边同时减1得，c5c798297b7b1c676ffa2f06cb099ec0.png．……12分

因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q7a35625c035eab2d1b450392680266da.png，所以f362f1452bd7e2212b15893211b4545d.png．

又4cf02c63b88684abe2e43106c29f0655.png，所以edc969c0130c13461797ee3d7aad8cde.png，即2c340ea832951aa18f32cf90cbcb673a.png．

……14分

这与f7c8921dbeb039724692ee8e2687193a.png且70c3b0045afdc51be2540c9d3191da7b.png矛盾，所以假设不成立．

所以数列198d7a68d4adc37426c90d57f733a1ab.png不能为等比数列．……16分

20．（本小题满分16分）

设函数c57f3be9a5c087508def4acdeb6f4ec6.png．

（1）若函数723612d4a382da8d9b5c6b73d0c7684a.png是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设024fc66375dbc556569cc63f0a51592c.png，2c7c745d085b2af509bef2b8bf863096.png是d179d3cf5d4ba2f9e69e78aff796402b.png的导函数．

①若对任意的99cc5540cdebb5e1cc2e669775af027e.png，求证：存在31343d5f2cf0e8c0cb1d10d3cbb637dd.png使17af62a7d92be88fd4cec6f6207665a0.png；

② 若f23e3a582b81c733c550ca7a0737d3e9.png，求证：9adda256456a76f0f51beaec19879b4b.png．

解：（1）由题意，632c1a904dd23cc48cdc37d9cbffce96.png对b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png恒成立，

因为323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，所以16de8eff32e4e728d2db926a1f6edb73.png对b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png恒成立，

因为5c0b412f992b3c4c0cd608d3583383ab.png，所以40f73bd47da668b935563d424730b167.png，从而ac52757b7547170a388abff164f2796b.png．……3分

（2）①06f3d3fc9da8390d13729b5ee14dce23.png，所以aeba1dcae97c74e13fbbfcf8778f86aa.png．

若e117be13e3711019f9681197ed90f543.png，则存在c72b42be394a212aaf7768547b72d3b1.png，使f8ebc1982d71bcd3a5c9c36f22a0fcb3.png，不合题意，

所以539fa66a54d60fdbd6278ccebed13ddd.png．……5分

取a53eaaad29942da87860057b0b30dcf3.png，则0ae90effdd8371936324298b92ab7293.png．

此时407e17af798cb85e8c5a04c39244d14e.png．

所以存在6342edc1913de2c07cdddf3ac05bf492.png，使20c4e19f617d4e2854e10d99d704c5db.png．……8分

②依题意，不妨设ead636dd8e81f7ffc2441e7abad2b759.png，令5c1a07ff063bb6cf39ddf53fded460f8.png，则af73024a54a91c6424ec5935b70d6300.png．

由（1）知函数468ad330ccaf1c03114c306f7ff28258.png单调递增，所以dfa607a075d5f32663c9e82c937c4757.png．

从而efae72b46242627dba0c71cfcbbf4276.png．……10分

因为68da40c1764e7eaf709f04fab14a61d4.png，所以9cb0023d278b29116f1210debb201395.png，

所以44ce122401e0df35d261339dff18d3e4.png．

所以4389206aba533ac8742b0da8c3dceed0.png．……12分

下面证明2441e3168d915c613cb09b0dc7eee41a.png，即证明106f426eaad47da7f9abd40053637c65.png，只要证明6d410832ccac86478a577fa9c94600f3.png．

设0ea179f839e589a290e0c45753a9ed85.png，所以09f843897d366fade16ee1c78ac140cd.png在f8e62183140fe47dc0d2348e1f8b3b52.png恒成立．

所以362c65781aab6f2a280654dd9a619d74.png在f8e62183140fe47dc0d2348e1f8b3b52.png单调递减，故4cc4843226d49377cc46bbc962c716df.png，从而808ef2699dde9d84f0ddfa8bdaab5399.png得证．

所以5715dec6043bc6902f0c833e04433b7a.png，即9adda256456a76f0f51beaec19879b4b.png．……16分

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．

若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．

求证：c8307ca7a6250041bf3da72a4fb6a1f1.png．

证明：延长2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png交⊙O于点E，

则e4bc77c8883aceade81c3615bf60686a.png．……5分

因为c63dfdf770ac7d49c3ef383f6b84b0d6.png，

所以8bb264365566a0758870c5027b86c16a.png．

所以c8307ca7a6250041bf3da72a4fb6a1f1.png．……10分

B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知c3a006c66d3119b619681fc62b738395.png．设变换a5749ec33f2c95fe8c19d702d76d4968.png，f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png对应的矩

阵分别为f73618037c08b7cdf946d0ac7b8a7cd2.png，965e089d98650ce456bf98a2d5d8d3a9.png，求对△ABC依次实施变换a5749ec33f2c95fe8c19d702d76d4968.png，f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png后所得图形的面积．

解：依题意，依次实施变换a5749ec33f2c95fe8c19d702d76d4968.png，f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png所对应的矩阵2915497ea26597e35025238c3a64d8c2.png4120134198557ede564a824985bb24cf.png．

……5分

则9fc52b47ae0d699d24675746624b1f30.png，5ff7bb0da47f7a593d7cfb801f0b0a6d.png，306901185f69df03b194850ce8694de7.png．

所以c3a006c66d3119b619681fc62b738395.png分别变为点51dcaa80844f0b82fa624a6a735a19c0.png．

从而所得图形的面积为d5441820200e0c458e6b01bc3e5920b4.png．……10分

C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，求以点5d4e566b05d2439d92a098b2f3b4d2a9.png为圆心且与直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：cff171439b8b2b5a8126107aec3796c1.png相切的圆的极坐标

方程．

解：以极点为原点，极轴为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的非负半轴，建立平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png．

则点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的直角坐标为b94ca7425c5a0fd6a74edcd658352700.png．……2分

将直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：cff171439b8b2b5a8126107aec3796c1.png的方程变形为：9b425798853aeadebba9f8379e8ec915.png，

化为普通方程得，c737f8675edf673a70c789e0e0a25467.png．……5分

所以691f5acd4a2457068483fc706b2c09da.png到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：c737f8675edf673a70c789e0e0a25467.png的距离为：6e17ab002cebd00ee2e5d0a6fcf90b38.png．

故所求圆的普通方程为094a9340e378e29ca9f65aee95f512d4.png．……8分

化为极坐标方程得，d2c7456ee1bc157c7d473e1352aa840e.png．……10分

D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a，b，c为正实数，且00f0169595babc0a50b23fd168c8afcb.png，求证：90854092cfb2cefe759a77adfbdef261.png．

证明：因为a，b，c为正实数，

所以75a58e9a022ce1b7800394f7a9fa7b4f.png

3447b8c8e92c61536c0098f3a26237c3.png

711c6bfbffe30b6b5a9439c2a96369cc.png

34d9d355f0c0e28d91465c3b575fb0a1.png（当且仅当067e8173226f0047ad0e439500259b2f.png取“=”）．……10分

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的36392228661363e75c352077a2cfe66d7.png3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．

（1）求概率eefae9294367080523241e9607554bb9.png；

（2）求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的概率分布及数学期望cf6d76658276d4c0a867cc00e49d80b6.png．

解：（1）从36392228661363e75c352077a2cfe66d7.png3表格中随机不重复地点击3格，共有28f714812fc5d9a248775c5ae482ae0c.png种不同情形．

则事件：“62c5812a202ab691443ef1050c26804e.png”包含两类情形：

第一类是3格各得奖200元；

第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，

其中第一类包含ecce74c1f465aa48a4e88cbb5ff2fc3f.png种情形，第二类包含9bb704575030bd74a45af704f9b38298.png种情形．

所以bd024d85f607b63f689669f2a08a837a.png．……3分

（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．

则569d95b58af514b746f274227fd522bb.png，792d44ce0e817faa8f90b71d982a7f23.png，

6881d2929c5395899f91ab4813ddb2e3.png，0c4462745e506c8047fa64f74bf43594.png．

所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的概率分布列为：

……8分

所以f1cf4973f7095f850549c00588a192f2.png（元）．

……10分

23．（本小题满分10分）

已知0f8be5162b2c7754dadf994d38e6d856.png…00b6f3402923d4af6b11d7aa636cd64b.png，f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png．记1e432e89255a740d2ccba8e3f5bb3fd8.png．

（1）求f066e1184caa1b9991cbceb207ea6341.png的值；

（2）化简0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的表达式，并证明：对任意的f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png，0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png都能被b31d4535817b7bdec96e8a69ff294d12.png整除．

解：由二项式定理，得392b84600ed8fc05b8d9823d5e7554eb.png（i=0，1，2，…，2n+1）．

（1）e14ff86ec899d5e0f86b9c0a443b509f.png；…… 2分

（2）因为4962cafa9dcd372f605b32924a7c8ac0.png

67c23e952bb21e7d40e0c134285f787d.png

751b41edad1354340f48df040c8c5680.png， …… 4分

所以88d66cac94b7ec95627549f98fb6b463.png

3bf45feb3f55dcb98b9b86f000fb13d0.png

54de6571bba5e0d3cbf5ebdf63a6780e.png

5d5f9cf84f8a7217e87483800793f664.png

d1d0dd99fc2a1a91bbc0bac91ba74136.png

1ea5616dff747f9c6166ca588170f24a.png

1d44da52d84d0a8d5a207711f1b95fea.png