概率论与数理统计第四版-课后习题答案 - 盛骤 - - 浙江大学- 副本

完全版

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)

浙大第四版（高等教育出版社）

第一章 概率论的基本概念

1.[一] 写出下列随机试验的样本空间

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）

，n表小班人数

（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）

S={10，11，12，………，n，………}

（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}

2.[二] 设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。

（1）A发生，B与C不发生。

表示为： 或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都发生，而C不发生。

表示为： 或AB－ABC或AB－C

（3）A，B，C中至少有一个发生 表示为：A+B+C

（4）A，B，C都发生， 表示为：ABC

（5）A，B，C都不发生， 表示为：或S－ (A+B+C)或

（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生

相当于中至少有一个发生。故 表示为：。

（7）A，B，C中不多于二个发生。

相当于：中至少有一个发生。故 表示为：

（8）A，B，C中至少有二个发生。

相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故 表示为：AB+BC+AC

6.[三] 设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.

从而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B) (*)

（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为

P(AB)=P(A)=0.6，

（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为

P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 设A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一个发生的概率。

解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=

8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？

记A表“能排成上述单词”

∵ 从26个任选两个来排列，排法有种。每种排法等可能。

字典中的二个不同字母组成的单词：55个

∴

9. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）

记A表“后四个数全不同”

∵ 后四个数的排法有104种，每种排法等可能。

后四个数全不同的排法有

∴

10.[六] 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。

（1）求最小的号码为5的概率。

记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A

∵ 10人中任选3人为一组：选法有种，且每种选法等可能。

又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有

∴

（2）求最大的号码为5的概率。

记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有种

11.[七] 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？

记所求事件为A。

在17桶中任取9桶的取法有种，且每种取法等可能。

取得4白3黑2红的取法有

故

12.[八] 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。

（1）求恰有90个次品的概率。

记“恰有90个次品”为事件A

∵ 在1500个产品中任取200个，取法有种，每种取法等可能。

200个产品恰有90个次品，取法有种

∴

（2）至少有2个次品的概率。

记：A表“至少有2个次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有种，200个产品含一个次品，取法有种

∵ 且B0，B1互不相容。

∴

13.[九] 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？

记A表“4只全中至少有两支配成一对”

则表“4只人不配对”

∵ 从10只中任取4只，取法有种，每种取法等可能。

要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有

15.[十一] 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？

记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能

对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种。

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)

对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有种。

(从3个球中选2个球，选法有，再将此两个球放入一个杯中，选法有4种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。

对A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)

16.[十二] 50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。

法一：用古典概率作：

把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。但10组钉铆完10个部件要分先后次序）

对E：铆法有种，每种装法等可能

对A：三个次钉必须铆在一个部件上。这种铆法有〔〕×10种

法二：用古典概率作

把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。（铆钉要计先后次序）

对E：铆法有种，每种铆法等可能

对A：三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，…或“28，29，30”位置上。这种铆法有种

17.[十三] 已知。

解一：

注意. 故有

P (AB)=P (A)－P (A)=0.7－0.5=0.2。

再由加法定理，

P (A∪)= P (A)+ P ()－P (A)=0.7+0.6－0.5=0.8

于是

18.[十四] 。

解：由

由乘法公式，得

由加法公式，得

19.[十五] 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。

解：（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P(A|B)，即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。

掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)}

每种结果（x, y）等可能。

A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故}

方法二：（用公式

S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能

A=“掷两颗骰子，x, y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。则，

故

20.[十六] 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。

解：所求概率为P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P (|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6.

从而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（记为事件A）

法一：用组合做 在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。

法二：用排列做 在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。

法三：用事件的运算和概率计算法则来作。

记A1，A2分别表第一、二次取得正品。

（2）二只都是次品（记为事件B）

法一：

法二：

法三：

（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）

法一：

法二：

法三：

（4）第二次取出的是次品（记为事件D）

法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作，

法二：

法三：

22.[十八] 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？

记H表拨号不超过三次而能接通。

Ai表第i次拨号能接通。

注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。

如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。

24.[十九] 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题(1)）

记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”

再记B表“再从乙袋中取得白球”。

∵ B=A1B+A2B且A1，A2互斥

∴ P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

=

[十九](2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。

C2为“从第一盒子中取得2只白球”。

C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，

D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)

26.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1 A2=φ

由已知条件知

由贝叶斯公式，有

[二十二] 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，

（1）B={至少有一次及格}

所以

∴

（2） （*）

由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2

由全概率公式，有

将以上两个结果代入（*）得

28.[二十五] 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。

解：设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:45~5:49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S

已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5

由贝叶斯公式有

29.[二十四] 有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：设Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2

Aj表示“第j箱产品” j=1,2，显然A1∪A2=S A1A2=φ

（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。

（2）

（先用条件概率定义，再求P (B1B2)时，由全概率公式解）

32.[二十六（2）] 如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路的概率。

记Ai表第i个接点接通

记A表从L到R是构成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)

+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相独立。

故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图（1）的方式联接，求系统的可靠性。

记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，

A表示系统正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4两种情况不互斥

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4) (加法公式)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)

= P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4 (A1, A2, A3, A4独立)

34.[三十一] 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？

解：设“出现r次国徽面”=Br “任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

（条件概率定义与乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。

解：高Hi表示飞机被i人击中，i=1，2，3。B1，B2，B2分别表示甲、乙、丙击中飞机

∵ ，三种情况互斥。

三种情况互斥

又 B1，B2，B2独立。

∴

+ 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41

P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14

又因： A=H1A+H2A+H3A 三种情况互斥

故由全概率公式，有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)

=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥

由全概率公式，有

∴ P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

37.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有

P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，

P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=

又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发)

=，

同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =

于是由全概率公式，得

由Bayes公式，得

P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =

=

[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥

由概率有限可加性，得

（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥

（3）

[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，C的电话的概率分别为。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概率分别为，设三人的行动相互独立，求

（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话

D1、D2、D3分别表示A，B，C外出

注意到C1、C2、C3独立，且

（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)

=

（2）记G=“被呼叫人在办公室”，三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

（3）H为“这3个电话打给同一个人”

（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为

于是

（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在的概率为，且各次情况相互独立

于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=

第二章 随机变量及其分布

1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

也可列为下表

X： 3， 4，5

P：

3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

再列为下表

X： 0， 1， 2

P：

4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0<p<1)

（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布。）

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：（1）P (X=k)=qk－1p k=1,2,……

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

其中 q=1－p，

或记r+n=k，则 P{Y=k}=

（3）P (X=k) = (0.55)k－10.45 k=1,2…

P (X取偶数)=

6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？

（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？

（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？

（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？

[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。

（1）以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

（2）户主声称，他养的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

（3）求试飞次数X小于Y的概率；求试飞次数Y小于X的概率。

解：（1）X的可能取值为1，2，3，…，n，…

P {X=n}=P {前n－1次飞向了另2扇窗子，第n次飞了出去}

=， n=1，2，……

（2）Y的可能取值为1，2，3

P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=

P {Y=2}=P {第1次飞向 另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去}

=

P {Y=3}=P {第1，2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}

=

同上，

故

8.[八] 甲、乙二人投篮，投中的概率各为0.6, 0.7，令各投三次。求

（1）二人投中次数相等的概率。

记X表甲三次投篮中投中的次数

Y表乙三次投篮中投中的次数

由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立。

P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)

= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)

= (0.4)3× (0.3)3+ [

（2）甲比乙投中次数多的概率。

P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+

P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+

P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)

=

9.[十] 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯。如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。

（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？

（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力（设各次试验是相互独立的。）

解：（1）P (一次成功)=

（2）P (连续试验10次，成功3次)=。此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。

[九] 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%，求

（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率

（2）需作第二次检验的概率

（3）这批产品按第2次检验的标准被接受的概率

（4）这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率

（5）这批产品被接受的概率

解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数，

由于产品总数很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服从）

（1）P {X=0}=0.910≈0.349

（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=

（3）P {Y=0}=0.9 5≈0.590

（4）P {0<X≤2，Y=0} ({0<X≤2}与{ Y=2}独立)

= P {0<X≤2}P {Y=0}

=0.581×0.5900.343

（5）P {X=0}+ P {0<X≤2，Y=0}

≈0.349+0.343=0.692

12.[十三] 电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求

（1）每分钟恰有8次呼唤的概率

法一： （直接计算）

法二： P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。

= 0.051134－0.021363=0.029771

（2）每分钟的呼唤次数大于10的概率。

P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表计算）

[十二 (2)]每分钟呼唤次数大于3的概率。

[十六] 以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），X的分布函数是

求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}；

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}

解：（1）P{至多3分钟}= P {X≤3} =

（2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3<X≤4}=

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}= P{至多3分钟}+P{至少4分钟}

=

（5）P{恰好2.5分钟}= P (X=2.5)=0

18.[十七] 设随机变量X的分布函数为，

求（1）P (X<2), P {0<X≤3}, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).

解：（1）P (X≤2)=FX (2)= ln2， P (0<X≤3)= FX (3)－FX (0)=1，

（2）

20.[十八（2）]设随机变量的概率密度为

（1）

（2）

求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。

解：当－1≤x≤1时：

当1<x时：

故分布函数为：

解：（2）

故分布函数为

（2）中的f (x)与F (x)的图形如下

22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则，

23.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

因此

24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率

∵ K的分布密度为：

要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。

解不等式，得K≥2时，方程有实根。

∴

25.[二十三] 设X～N（3.22）

（1）求P (2<X≤5)，P (－4)<X≤10)，P{|X|>2}，P (X>3)

∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α<X≤β)=φφ

∴ P (2<X≤5) =φφ=φ(1)－φ(－0.5)

=0.8413－0.3085=0.5328

P (－4<X≤10) =φφ=φ(3.5)－φ(－3.5)

=0.9998－0.0002=0.9996

P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )

=

=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)

=1－0.3085+0.0062=0.6977

P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ=1－0.5=0.5

（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C)

∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C)

得 P (X≤C )= =0.5

又 P (X≤C )=φ ∴ C =3

26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100<X ≤120). （2）确定最小的X使P (X>x) ≤ 0.05.

解:

27.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)

=1－P (10.05－0.12<X<10.05+0.12)

=1－

=1－{φ(2)－φ(－2)}

=1－{0.9772－0.0228}

=0.0456

28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？

∵ P (120＜X≤200)=

又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x)

∴ 上式变为

解出

再查表，得

30.[二十七] 设随机变量X的分布律为：

X：－2， －1， 0， 1， 3

P：， ， ， ，

求Y=X 2的分布律

∵ Y=X 2：(－2)2 (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2

P：

再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为：

∴ Y： 0 1 4 9

P：

31.[二十八] 设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布

（1）求Y=eX的分布密度

∵ X的分布密度为：

Y=g (X) =eX是单调增函数

又 X=h (Y)=lnY，反函数存在

且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

∴ Y的分布密度为：

（2）求Y=－2lnX的概率密度。

∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数

又 反函数存在。

且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

∴ Y的分布密度为：

32.[二十九] 设X～N（0，1）

（1）求Y=eX的概率密度

∵ X的概率密度是

Y= g (X)=eX 是单调增函数

又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在

且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞

∴ Y的分布密度为：

（2）求Y=2X2+1的概率密度。

在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。

设Y的分布函数是FY（y），

则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y)

=

当y<1时：FY ( y)=0

当y≥1时：

故Y的分布密度ψ( y)是：

当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =

=

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y)

当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=

∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =

33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。

∵ Y=g (X )= X 3 是X单调增函数，

又 X=h (Y ) =，反函数存在，

且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞

∴ Y的分布密度为：

ψ( y)= f [h ( h )]·| h' ( y)| =

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。

法一：∵ X的分布密度为：

Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x2 反函数是

当 x<0时 y=x2

∴ Y～ fY (y) = －

=

法二：

∴ Y～ fY (y) =

34.[三十一] 设X的概率密度为

求Y=sin X的概率密度。

∵ FY ( y)=P (Y≤y)

= P (sinX≤y)

当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π)

=

当1<y时：FY ( y)=1

∴ Y的概率密度ψ( y )为：

y≤0时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (0 )' = 0

0<y<1时，ψ( y )=[ FY ( y)]' =

=

1≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)的概率密度。[已知]

法一：∵ T的概率密度为

又 是单调增函数。

反函数存在。

且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 )

由于T～N（98.6, 2）

故

故θ的概率密度为：

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)

P (X=0, Y=0 )=

P (X=0, Y=1 )=

P (X=1, Y=0 )=

P (X=1, Y=1 )=

或写成

（2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=

P {X=0, Y=1 }=

P {X=1, Y=0 }=

P {X=1, Y=1 }=

或写成

3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j≥2，联合分布律为

P {X=0, Y=2 }=

P {X=1, Y=1 }=

P {X=1, Y=2 }=

P {X=2, Y=0 }=

P {X=2, Y=1 }=

P {X=2, Y=2 }=

P {X=3, Y=0 }=

P {X=3, Y=1 }=

P {X=3, Y=2 }=0

5.[三] 设随机变量（X，Y）概率密度为

（1）确定常数k。 （2）求P {X<1, Y<3}

（3）求P (X<1.5} （4）求P (X+Y≤4}

分析：利用P {(X, Y)∈G}=再化为累次积分，其中

解：（1）∵，∴

（2）

（3）

（4）

6．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。

（2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。

解：（1）① 放回抽样（第1题）

边缘分布律为

X 0 1 Y 0 1

Pi· P·j

② 不放回抽样（第1题）

边缘分布为

X 0 1 Y 0 1

Pi· P·j

（2）（X，Y ）的联合分布律如下

解： X的边缘分布律 Y的边缘分布律

X 0 1 2 3 Y 1 3

Pi· P·j

7．． 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为

解：

8.[六] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求边缘概率密度。

解:

10．[七] 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。

解: l=

15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。

解：放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =

P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=

P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=

P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}=

在放回抽样的情况下，X和Y是独立的

不放回抽样的情况：

P {X=0, Y=0 } =

P {X=0}=

P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }=

P {X=0}·P {Y=0} =

P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0}

∴ X和Y不独立

16.[十四] 设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y的概率密度为

（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。

解：（1）X的概率密度为

Y的概率密度为

且知X, Y相互独立，

于是（X，Y）的联合密度为

（2）由于a有实跟根，从而判别式

即： 记

23． 设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为

并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。

解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量

设第二周需要量为Y，它是随机变量

且为同分布，其分布密度为

Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知：

∵ z≥0

∴ 当z<0时，fz (z) = 0

当z>0时，由和的概率公式知

∴

（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为

设ξ表示第三周需要量，其概率密度为：

z与ξ相互独立

η= z +ξ表示前三周需要量

则：∵η≥0， ∴当u<0， fη(u) = 0

当u>0时

所以η的概率密度为

30． 设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。

解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：

设N=min{X1，X2，X3，X 4}

P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}

=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063

27.[二十八] 设随机变量（X，Y）的分布律为

（1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0}

（2）求V=max (X, Y )的分布律

（3）求U = min (X, Y )的分布律

解：（1）由条件概率公式

P {X=2|Y=2}=

=

=

同理 P {Y=3|X=0}=

（2）变量V=max{X, Y }