2020年中考数学压轴题大题专项练习：二次函数的综合

2020年数学中考压轴题专项训练：二次函数的综合

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1．如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．

（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；

（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；

（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：

①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；

②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．

解：（1）∵图象经过原点，

∴c＝0，

∵顶点为P（2，﹣4）

∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），

将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，

∴a＝1，b＝﹣4，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；

（2）∵∠APO＝90°，

∴AP⊥PO，

∵A（m，m2﹣4m），

∴m﹣2＝，

∴m＝，

∴A（，﹣）；

（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），

∴CD∥OB，

∵CD＝4，OB＝4，

∴四边形OBCD是平行四边形；

②∵四边形OBCD是平行四边形，n＜0，

∴12＝4×（﹣n），

∴n＝﹣3，

∴A（1，﹣3）或A（3，3）．

2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+kx+c的图象经过点C（0，1），当x＝2时，函数有最小值．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线l⊥y轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l交于点A．在x轴上有一点B，且AB＝，试在直线l上求异于点A的一点Q，使点Q在△ABC的外接圆上；

（3）点P（a，b）为抛物线上一动点，点M为坐标系中一定点，若点P到直线l的距离始终等于线段PM的长，求定点M的坐标．

解：（1）∵图象经过点C（0，1），

∴c＝1，

∵对称轴x＝2，

∴k＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+1；

（2）由题意可知A（2，﹣1），设B（t，0），

∵AB＝，

∴（t﹣2）2+1＝2，

∴t＝1或t＝3，

∴B（1，0）或B（3，0），

∵B（1，0）时，A、B、C三点共线，舍去，

∴B（3，0），

∴AC＝2，BC＝，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC为直角三角形，BC为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC的中点（，），半径为，

设Q（x，﹣1），则有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，

∴x＝1或x＝2（舍去），

∴Q（1，﹣1）；

（3）设顶点M（m，n），∵P（a，b）为抛物线上一动点，

∴b＝a2﹣a+1，

∵P到直线l的距离等于PM，

∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，

∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，

∵a为任意值上述等式均成立，

∴，

∴，

此时m2+n2﹣2n﹣3＝0，

∴定点M（2，1）．

3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知BC＝2，tan∠OBC＝．

（1）求拋物线的解析式；

（2）如图2，若点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E，当点P的横坐标为2时，求△PDE的面积；

（3）若点M为抛物线上的一个动点，以点M为圆心，为半径作⊙M，当⊙M在运动过程中与直线BC相切时，求点M的坐标（请直接写出答案）．

解：（1）∵BC＝2，tan∠OBC＝，

∴OB＝4，OC＝2，

∴点B为（4，0），点C为（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c中，

∴c＝2，b＝，

∴y＝﹣x2+x+2；

（2）当x＝2时，y＝3，

∴P（2，3），

∵B（4，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，

∵PD平行于y轴，

∴D（2，1），

∴PD＝2，

∵PD平行于y轴，

∴∠PDE＝∠OCB，

∵PE⊥BC，

∴∠PED＝∠COB＝90°，

∴△PDE∽△BCO，

∴△PDE与△BCO的面积之比是对应边PD与BC的平方，

∵△BCO的面积为4，

∴△PED的面积是4×＝；

（3）过点M作MG⊥BC于点G，过点M作MH∥AB于点H，

∴△MGH∽△COB，

∴＝，

∵⊙M与直线BC相切，

∴MG＝，

∴MH＝5，

设点M（x，﹣x2+x+2），

如图1，设H（x+5，﹣x2+x+2）代入y＝﹣x+2，

∴x＝﹣1或x＝5，

∴M（﹣1，0）或M（5，﹣3）；

如图2，点H（x﹣5， x2+x+2）代入y＝﹣x+2，

∴方程无解，

综上所述：M（﹣1，0）或M（5，﹣3）．

4．如图，抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且OC＝2OB，点D为线段OB上一动点（不与点B重合），过点D作矩形DEFH，点H、F在抛物线上，点E在x轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当矩形DEFH的周长最大时，求矩形DEFH的面积；

（3）在（2）的条件下，矩形DEFH不动，将抛物线沿着x轴向左平移m个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N．若MN恰好平分矩形DEFH的面积，求m的值．

解：（1）在抛物线y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4中，

当x＝0时，y＝﹣4，

∴C（0，﹣4），

∴OC＝4，

∵OC＝2OB，

∴OB＝2，

∴B（2，0），

将B（2，0）代入y＝ax2+（4a﹣1）x﹣4，

得，a＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；

（2）设点D坐标为（x，0），

∵四边形DEFH为矩形，

∴H（x， x2+x﹣4），

∵y＝x2+x﹣4＝（x+1）2﹣，

∴抛物线对称轴为x＝﹣1，

∴点H到对称轴的距离为x+1，

由对称性可知DE＝FH＝2x+2，

∴矩形DEFH的周长C＝2（2x+2）+2（﹣x2﹣x+4）＝﹣x2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，

∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，

∴此时H（1，﹣），

∴HF＝2x+2＝4，DH＝，

∴S矩形DEFH＝HF•DH＝4×＝10；

（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，

过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，

由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H（1，﹣），

∴G（﹣1，﹣），

设直线BH的解析式为y＝kx+b，

将点B（2，0），H（1，﹣）代入，

得，，

解得，，

∴直线BH的解析式为y＝x﹣5，

∴可设直线MN的解析式为y＝x+n，

将点（﹣1，﹣）代入，得n＝，

∴直线MN的解析式为y＝x+，

当y＝0时，x＝﹣，

∴M（﹣，0），

∵B（2，0），

∴将抛物线沿着x轴向左平移个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，

∴m的值为．

5．如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l1：y＝﹣x+6与直线l2相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点O、点A和点B，已知点A到x轴的距离等于2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H为直线l2上方抛物线上一动点，当点H到l2的距离最大时，求点H的坐标；

（3）如图2，P为射线OA的一个动点，点P从点O出发，沿着OA方向以每秒个单位长度的速度移动，以OP为边在OA的上方作正方形OPMN，设正方形POMN与△OAC重叠的面积为S，设移动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式．

解：（1）∵点A到x轴的距离等于2，

∴点A的纵坐标为2，

∴2＝﹣x+6，

∴x＝4，

∴A（4，2），

当y＝0时，﹣x+6＝0，

∴x＝6，

∴B（6，0），

把A（4，2），B（6，0），O（0，0）代入y＝ax2+bx+c得，

解得：，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；

（2）设直线l2的解析式为y＝kx，

∴2＝4k，

∴k＝，

∴直线l2的解析式为y＝x，

设点H的坐标为（m，﹣m2+m），

如图1，过H作HG∥y轴交直线l2于G，

∴G（m， m），

∴HG＝﹣m2+m﹣m＝﹣m2+m＝﹣（m﹣2）+1，

当m＝2时，HG有最大值，

∴点H的坐标为（2，2）；

（3）当0＜t时，如图2，过A作AE⊥OB于E，

∴OA＝＝2，tan∠AOE＝，

∵∠NOP＝∠BOC＝90°，

∴∠HON＝∠AOE，

∴tan∠NOH＝tan∠AOE＝＝，

∵OP＝ON＝NM＝PM＝t，

∴NH＝NM＝t，

S＝×（t+t）t＝t2；

当＜t≤2时，过点P作PH⊥x轴，

∵∠POH＝∠QON，OP＝t，

∴OP＝ON＝NM＝PM＝t，

∴NQ＝t，

可求P（2t，t），

直线MP的解析式为y＝﹣2x+5t

∴G（5t﹣6，﹣5t+12），

∴GP＝3（2﹣t），AP＝2﹣t，

∴MG＝6﹣3t，

∵∠MGK＝∠AGP，

∴△GPA∽△GKM，

∴MK＝t﹣2，

∴S＝﹣×t×t﹣×（t﹣2）×（6﹣3t）＝﹣t2+40t﹣30；

当2＜t≤时，可求N（﹣t，2t），

则直线MN的解析式为y＝x+t，

∴K（4﹣t， t+2），

∵NQ＝t，

∴Q（0， t），

∴MK＝t﹣2，

∴S＝﹣﹣×t×t﹣×（t﹣2+t﹣2）×t＝﹣t2+10t；

当t＞时，S＝S△OAC＝×4×6＝12；

6．如图1，小明用一张边长为6cm的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为ycm．

（1）y关于x的函数表达式是　y＝4x3﹣24x2+36x　，自变量x的取值范围是　0＜x＜3　；

（2）为探究y随x的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：

①列表：请你补充表格中的数据：

②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中（如图3）描出相应的点；

③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．

（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过12cm3，估计正方形边长x的取值范围．（保留一位小数）

解：（1）y＝x（6﹣2x）2

＝4x3﹣24x2+36x（0＜x＜3），

故答案为：y＝4x3﹣24x2+36x，0＜x＜3；

（2）①在y＝4x3﹣24x2+36x中，

当x＝1时，y＝16；当x＝2时，y＝8，

故答案为：16，8；

②如图1所示，

③如图2所示，

（3）由函数图象可以看出，若该纸盒的容积超过12cm3，正方形边长x的取值范围大概为0.4≤x≤1.7．

7．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为xA，xB，与y轴交点的纵坐标为yC，若xA，xB中至少存在一个值，满足xA＝yC（或xB＝yC），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足xA＝yC，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．

（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；

（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；

（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．

解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：

当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，

∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，

∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；

（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，

∵y＝x2+bx+c是友好函数，

∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，

代入得：0＝c2+bc+c，

∴0＝c（c+b+1），

而c≠0，

∴b+c＝﹣1；

（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，

由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，

显然当x＝1时，y＝0，

即与x轴的一个交点为（1，0），

则∠ACO＝45°，

∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO

∴c＜﹣1；

②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，

∴显然都满足∠ACB为锐角，

∴c＞0，且c≠1；

③当C与原点重合时，不符合题意，

综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．

8．已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．

（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．

（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；

（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．

（1）证明：△＝b2﹣4ab＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，

∵a＞0，

∴（a+3）2＞0，

∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，

∴或，

∵a＞0，

∴且x1＞x2，

∴x1＝2，，

∴，

∴t＝a﹣5；

（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，

向上平移一个单位得y＝x2﹣3，

令y＝0，则x2﹣3＝0，

得，

∴，，

∵OP＝1，

∴直线，

联立：，

解得，，，

即，，

∴AO＝，

在Rt△AOP中，

AP＝＝2，

过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，

∵CN∥x轴，

∴∠GCM＝∠PAO，

又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，

∴△AOP∽△CGM，

∴＝＝，

∴，

∵B到CN最小距离为CH，

∴MB+GM的最小值为CH的长度，

∴2MB+MC的最小值为．

9．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为（2，3），连结AM、BM．

（1）a＝　1　，c＝　﹣1　，k＝　1　（直接写出结果）；

（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为　﹣1＜x＜2　（直接写出结果）；

（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标．

解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：

3＝2k+1

解得：k＝1

∴y2＝x+1

令y2＝0得：0＝x+1

解得：x＝﹣1

∴A（﹣1，0）

将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：

解得：a＝1，c＝﹣1

故答案为：1，﹣1，1；

（2）∵A（﹣1，0）、B（2，3）

∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2

故答案为：﹣1＜x＜2；

（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大．

如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b

由得：x2﹣1＝x+b

∴x2﹣x﹣1﹣b＝0

令△＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0

解得：b＝﹣

∴y3＝x﹣，

∴x2﹣x﹣1+＝0

解得：x1＝x2＝

∴P（，﹣）

∴当点P坐标为（，﹣）时，△ABP的面积最大

设y3＝x﹣与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB

由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度

∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45°

∴△ACD为等腰直角三角形

∵AC＝﹣（﹣1）＝

∴CD＝＝＝

∵A（﹣1，0）、B（2，3）

∴AB＝＝

∴△ABP的面积为：××＝

∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，﹣）．

10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；

（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标．

解：（1）令x＝0，得y＝x﹣2＝﹣2，则B（0，﹣2），

令y＝0，得0＝x﹣2，解得x＝4，则A（4，0），

把A（4，0），B（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c（a≠0）中，得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵PM∥y轴，

∴∠ADC＝90°，

∵∠ACD＝∠BCP，

∴以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，存在两种情况：

①当∠CBP＝90°时，如图1，过P作PN⊥y轴于N，

设P（x，x2﹣x﹣2），则C（x， x﹣2），

∵∠ABO+∠PBN＝∠ABO+∠OAB＝90°，

∴∠PBN＝∠OAB，

∵∠AOB＝∠BNP＝90°，

∴△AOB∽△BNP，

∴，即＝，

解得：x1＝0（舍），x2＝，

∴P（，﹣5）；

②当∠CPB＝90°时，如图2，则B和P是对称点，

当y＝﹣2时，x2﹣x﹣2＝﹣2，

x1＝0（舍），x2＝，

∴P（，﹣2）；

综上，点P的坐标是（，﹣5）或（，﹣2）；

（3）∵OA＝4，OB＝2，∠AOB＝90°，

∴∠BOA≠45°，

∴∠BQP≠2∠BOA，

∴分两种情况：

①当∠PBQ＝2∠OAB时，如图3，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，

∴OE＝AE，

∴∠OAB＝∠AOE，

∴∠OEB＝2∠OAB＝∠PBQ，

∵OB∥PG，

∴∠OBE＝∠PHB，

∴△BOE∽△HPB，

∴，

由勾股定理得：AB＝＝2，

∴BE＝，

∵GH∥OB，

∴，即，

∴BH＝x，

设P（x，x2﹣x﹣2），则H（x， x﹣2），

∴PH＝x﹣2﹣（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x，

∴，

解得：x1＝0，x2＝3，

∴点P的横坐标是3；

②当∠BPQ＝2∠OAB时，如图4，取AB的中点E，连接OE，过P作PG⊥x轴于G，交直线AB于H，过O作OF⊥AB于F，连接AP，则∠BPQ＝∠OEF，

设点P（t，t2﹣t﹣2），则H（t， t﹣2），

∴PH＝t﹣2﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+4t，

∵OB＝4，OC＝2，

∴BC＝2，

∴OE＝BE＝CE＝，OF＝＝＝，

∴EF＝＝＝，

S△ABP＝＝，

∴2PQ＝4（﹣t2+4t），

PQ＝，

∵∠OFE＝∠PQB＝90°，

∴△PBQ∽△EOF，

∴，即，

∴BQ＝，

∵BQ2+PQ2＝PB2，

∴＝，

44t2﹣388t+803＝0，

（2t﹣11）（22t﹣73）＝0，

解得：t1＝5.5（舍），t2＝；

综上，存在点P，使得△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，其P点的横坐标为3或．

11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP的面积为s．

①求s与m的函数关系式；

②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）将点A（﹣，0）和点B（，2）代入y＝ax2+bx﹣，

得，，

解得，，

∴抛物线的函数解析式为y＝x2+x﹣；

（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，

将点A（﹣，0），B（，2）代入，

得，，

解得，k＝，b＝1，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

如图1，过点P作x轴的垂线，交AB于点M，

设P（m， m2+m﹣），则M（m， m+1），

∴PM＝m+1﹣（m2+m﹣）＝﹣m2+，

∴s＝PM（xB﹣xA）

＝×（﹣m2+）×（+）

＝﹣m2+，

∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+；

②在s＝﹣m2+中，

当m＝0时，s取最大值，

∴P（0，﹣），

∴CP＝，

∵S△ACQ＝S△ABP，

∴S△AQB＝2S△ABP，

∴可使直线AB向上平移3个单位长度，得直线y＝x+4，

联立，

解得，x1＝3，x2＝﹣3，

∴Q点坐标为（3，4+），（﹣3，4﹣）．

12．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中，m＝　0　．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，已画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；

（3）观察函数图象，写出一条函数的性质：　图象关于y轴对称（答案不唯一）　；

（4）观察函数图象发现：若关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，则a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．

解：（1）当x＝﹣2时，y＝4﹣2×2＝0；

故答案为：0．

（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．

（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大，③函数有最小值﹣1．

故答案为：图象关于y轴对称（答案不唯一）；

（4）由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|＝a有4个实数根，

∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，

故答案为：﹣1＜a＜0．

13．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，直接写出点P的坐标和周长最小值；

（3）为抛物线上一点，若S△QAB＝8，求出此时点Q的坐标．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

∴，

解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）连接BC交抛物线的对称轴与点P．

∵y＝x2﹣2x﹣3，

∴C（0，﹣3），

∵点A与点B关于x＝＝1对称，

∴PA＝PB．

∴AP+PC＝CP+PB．

∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．

又∵BC为定值，

∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．

∵BC＝＝3，AC＝＝，

∴△PAC的周长最小值为：AC+BC＝+3，

设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，

解得：k＝1，b＝﹣3．

∴直线AD的解析式为y＝x﹣3．

将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，

∴点P的坐标为（1，﹣2），

即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为+3；

（3）设Q（x，y），则S△QAB＝AB•|y|＝2|y|＝8，

∴|y|＝4，

∴y＝±4．

①当y＝4时，x2﹣2x﹣3＝4，解得：x1＝1﹣2，x2＝1+2，

此时Q点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）；

②当y＝﹣4时，x2﹣2x﹣3＝﹣4，解得x3＝x4＝1；

此时Q点的坐标为（1，﹣4）；

综上所述，Q点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）或（1，﹣4）．

14．如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点D，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+5交于B，D两点，点C是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是直线BD上方抛物线上的一个动点，其横坐标为m，过点M作x轴的垂线，交直线BD于点P，当线段PM的长度最大时，求m的值及PM的最大值；

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为3，若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

解：（1）y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，

故点B、D的坐标分别为（5，0）、（0，5），

则二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+5，将点B坐标代入上式并解得：b＝4，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；

（2）设M点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+5），M（m，﹣m2+4m+5），

∴PM＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，PM有最大值；

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+4x+5），则G（x，﹣x+5），

∴QG＝|﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）|＝|﹣x2+5x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO＝45°，

∴∠HGQ＝∠BGE＝45°，

当△BDQ中BD边上的高为3时，即QH＝HG＝3，

∴QG＝×3＝6，

∴|﹣x2+5x|＝6，

当﹣x2+5x＝6时，解得x＝2或x＝3，

∴Q（2，9）或（3，8），

当﹣x2+5x＝﹣6时，解得x＝﹣1或x＝6，

∴Q（﹣1，0）或（6，﹣7），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为Q1（2，9），Q2（3，8），Q3（﹣1，0），Q4（4，﹣5）．

15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+的图象与x轴交于B（﹣1，0）、C（3，0）两点，点A为抛物线的顶点，F为线段AC中点．

（1）求a，b的值；

（2）求证：BF⊥AC．

（3）以抛物线的顶点A为圆心，AF为半径作⊙A点E是圆上一动点，点P为EC的中点（如图2）

①当△ACE面积最大时，求PB的长度；

②若点M为BP的中点，求点M运动的路径长．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即﹣3a＝，解得：a＝﹣，

抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+，

故b＝；

（2）点A的坐标为：（1，2），

则AB＝AB＝BC＝4，点F是AC的中点，AF＝AC＝2，

∴BF⊥AC；

（3）点C（3，0），点B（﹣1，0），

设点E（m，n），

由AE＝2，根据两点间距离公式得：（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4…①，

则点P（，），点M（，），

设：x＝，y＝，则m＝4x﹣1，n＝4y，即点M（x，y），

将m、n的值代入①式得：（4x﹣1）2+（4y﹣2）2＝4，

整理得：（x﹣）2+（y﹣）2＝，

即点M到定点（，）的距离等于定值，

故点M运动的轨迹为半径为的圆，

则点M运动的路径长为（）2π＝．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2b0bf3390540be1e650e52ea551810a6f524c817.html