2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）

2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）命题“若，则tanα=1”的否命题是（　　）

A．若，则tanα≠1 B．若，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则 D．若tanα≠1，则．

2．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法

3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）

A．e2 B．e C． D．ln2

5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数

6．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7

7．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

8．（5分）根据如下样本数据：

得到了回归方程=x+，则（　　）

A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0

9．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）

A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数 B．在（1，3）内f（x）是减函数

C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取到极小值

11．（5分）已知命题p：∃x∈R，ex≥x+1；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）

A．0.852 B．0.8192 C．0.75 D．0.8

14．（5分）若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.

15．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是　 　．

16．（5分）若函数f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是　 　．

17．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=　 　．

18．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是　 　．

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，若函数f（x）的图象在x=1处与直线y=﹣相切．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在[，e]上的最大值．

21．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

22．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

23．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．

（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

2017-2018学年陕西省西安市长安一中高二（上）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）命题“若，则tanα=1”的否命题是（　　）

A．若，则tanα≠1 B．若，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则 D．若tanα≠1，则．

【解答】解：同时否定条件和结论即可得命题的否命题，

即若，则tanα≠1，

故选：A．

2．（5分）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（　　）

A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法

【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，

而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理．

故选：C．

3．（5分）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，

则顶点到渐近线的距离d=．

故选C．

4．（5分）设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0等于（　　）

A．e2 B．e C． D．ln2

【解答】解：∵f（x）=xlnx，

∴f′（x）=lnx+1，

由f′（x0）=2，

得lnx0+1=2，即

lnx0=1，则x0=e，

故选：B

5．（5分）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别是x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（　　）

A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数

【解答】解：在A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标，

故A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故B可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在C中，最大值是一组数据最大的量，故C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；

在D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，

故D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．

故选：B．

6．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　　）

A．3，5 B．5，5 C．3，7 D．5，7

【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65，

故乙组数据的中位数也为65，

即y=5，

则乙组数据的平均数为：66，

故x=3，

故选：A．

7．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：

月接待游客量逐月有增有减，故A错误；

年接待游客量逐年增加，故B正确；

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；

故选：A

8．（5分）根据如下样本数据：

得到了回归方程=x+，则（　　）

A．＞0，＜0 B．＞0，＞0 C．＜0，＞0 D．＜0，＜0

【解答】解：样本平均数=5.5，=0.25，

∴=﹣24.5，=17.5，∴b=﹣=﹣1.4，

∴a=0.25﹣（﹣1.4）•5.5=7.95，

故选：A．

9．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1

显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”

后者推不出前者，

故选A．

10．（5分）如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）

A．在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数 B．在（1，3）内f（x）是减函数

C．在（4，5）内f（x）是增函数 D．在x=2时f（x）取到极小值

【解答】解：由图象知当﹣＜x＜2或x＞4时，f′（x）＞0，函数为增函数，

当﹣3＜x＜﹣或2＜x＜4时，f′（x）＜0，函数为减函数，

则当x=﹣或x=4函数取得极小值，在x=2时函数取得极大值，

故ABD错误，正确的是C，

故选：C

11．（5分）已知命题p：∃x∈R，ex≥x+1；命题q：若a2＜b2，则a＜b．下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

【解答】解：当x=0时，ex≥x+1成立，即命题p是真命题，

当a=0，b=﹣1时，满足a2＜b2，但a＜b不成立，即命题q是假命题．

则p∧￢q为真命题，

其余为假命题

故选：B

12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），

可得c=2，，即，，

解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．

故选：D．

13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947　1417　4698

0371　6233　2616　8045　6011　3661　9597　7424　7610　4281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）

A．0.852 B．0.8192 C．0.75 D．0.8

【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，

在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：

7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698

6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，

∴所求概率为0.75．

故选：C．

14．（5分）若函数f（x）满足f′（x）﹣f（x）=2xex（e为自然对数的底数），f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，2] B．（0，2] C．（1，2] D．（2，3]

【解答】解：由题意，（）′=2x，

∴=x2+b，

∴f（x）=（x2+b）ex，

∵f（0）=1，∴b=1，

∴f（x）=（x2+1）ex，

f′（x）=（x+1）2ex，

∴当x＞0时，=1+≤2，当且仅当x=1时取等号，

∴当x＞0时，的最大值为2，

x→+∞时，=1+→1，

故1＜≤2，

故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题纸相应的位置）.

15．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是　　．

【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，

则D=[﹣2，3]，

则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，

故答案为：

16．（5分）若函数f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是　　．

【解答】解：函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，

f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a．

当x∈[，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（）=2a+，令2a+＞0，解得a，

所以a的取值范围是．

故答案为：．

17．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，则|AB|=　12　．

【解答】解：由y2=3x，得2p=3，p=，

则F（，0），

∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），

联立，得16x2﹣168x+9=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，

∴|AB|=．

故答案为：12．

18．（5分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是　　．

【解答】解：根据题意得f′（x）=﹣，

∵，

且k＜0

则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥﹣1，

又∵k=tanα，结合正切函数的图象

由图可得α∈，

故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

19．（12分）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．

【解答】解：（1）由题意知，从6个国家里任选两个国家，

其一切可能的结果组成的基本事件有：

（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），

（A2，B2），（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共15个，

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3个，

这2个国家都是亚洲国家的概率P==；

（2）所2从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：

（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），

（A2，B3），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），共9个，

包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：（A1，B2），（A1，B3），共2个．

所以所求事件的概率为．

20．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣bx2，若函数f（x）的图象在x=1处与直线y=﹣相切．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求函数f（x）在[，e]上的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=alnx﹣bx2，得f′（x）=﹣2bx，

∴f′（1）=a﹣2b，

则，解得a=1，b=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx﹣x2．

f′（x）=﹣x=（x＞0）．

∴当x∈（，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0．

∴f（x）在（，1）上为增函数，在（1，e）上为减函数，

则f（x）max=f（1）=﹣．

21．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4

故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，

故样本中分数小于40的频率为：0.05，

则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，

估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，

（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，

由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．

故分数不小于70的男生的频率为：0.3，

由样本中有一半男生的分数不小于70，

故男生的频率为：0.6，

即女生的频率为：0.4，

即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．

22．（12分）设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

【解答】解：（1）由+=，

得+=，

即=，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴椭圆方程为；

（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），

设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA=∠MAO，

∴x0=1，

再设H（0，yH），

联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根与系数的关系得，

∴，，

MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣（x﹣x0），

令x=0，得yH=（k+）x0﹣2k，

∵BF⊥HF，

∴，

即1﹣x1+y1yH=1﹣[（k+）x0﹣2k]=0，

整理得：=1，即8k2=3．

∴k=﹣或k=．

23．（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．

（Ⅰ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

【解答】（Ⅰ）解　对一切x∈（0，+∞），有2xln x≥﹣x2+ax﹣3，则a≤2ln x+x+，

设h（x）=2ln x+x+（x＞0），则h′（x）=，

当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）是减少的，

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）是增加的，

所以h（x）min=h（1）=4．

因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

所以a≤h（x）min=4．…（5分）

（Ⅱ）证明：问题等价于xln x＞﹣（x∈（0，+∞）），

f（x）=xln x（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，

当且仅当x=时取到，设m（x）=﹣（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，

易知m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到．

从而对一切x∈（0，+∞），都有ln x＞﹣成立． …（12分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/2a3080d7d8ef5ef7ba0d4a7302768e9950e76e59.html