北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科） 2013.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知向量，
．若向量
与
共线，则实数
______．
10．平行四边形中，
为
的中点．若在平行四边形
内部随机取一点
，
则点取自△
内部的概率为______．
11．双曲线的渐近线方程为______；离心率为______．
12．若函数是奇函数，则
______．
13．已知函数，其中
．当
时，
的值域是______；若
的值域是
，则
的取值范围是______．
14．设函数，集合
，且
．在直角坐标系
中，集合
所表示的区域的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△中，内角
的对边分别为
，且
．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，
，求△
的面积．
16．（本小题满分13分）
为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至
之间．将数据分成以下
组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检．
（Ⅰ）求每组抽取的学生人数；
（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，
，
，
，
分别
为
，
的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证： // 平面
；
（Ⅲ）线段上是否存在点
，使
平面
？说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中
．
（Ⅰ）若是
的一个极值点，求
的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
19．（本小题满分14分）
如图，，
是椭圆
的两个顶点．
，直线
的斜率为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
平行于
，与
轴分别交于点
，与椭圆相交于
．证明：△
的面积等于△
的面积．
20．（本小题满分13分）
如图，设是由
个实数组成的
行
列的数表，其中
表示位于第
行第
列的实数，且
．记
为所有这样的数表构成的集合．
对于
，记
为
的第
行各数之积，
为
的第
列各数之积．令
．
（Ⅰ）对如下数表，求
的值；
（Ⅱ）证明：存在，使得
，其中
；
（Ⅲ）给定为奇数，对于所有的
，证明：
．
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B； 2．A； 3．C； 4．B； 5．C； 6．D； 7．A； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．； 10．
； 11．
，
；
12．； 13．
，
； 14．
．
注：11、13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由已知得， ………………2分
即．
解得，或
． ………………4分
因为，故舍去
． ………………5分
所以． ………………6分
（Ⅱ）解：由余弦定理得． ………………8分
将，
代入上式，整理得
．
因为，
所以． ………………11分
所以 △的面积
． ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第，
，
组的学生人数之比为
． …………2分
所以，每组抽取的人数分别为：
第组：
；第
组：
；第
组：
．
所以从，
，
组应依次抽取
名学生，
名学生，
名学生． ………………5分
（Ⅱ）解：记第组的
位同学为
，
，
；第
组的
位同学为
，
；第
组的
位同学为
． ………………6分
则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：
，共
种可能． ………………10分
其中，
这11种情形符合2名学生不在同一组的要求． ………………12分
故所求概率为． ………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：连接．
因为是直三棱柱，
所以平面
， ………………1分
所以． ………………2分
因为， 所以
平面
． ………………3分
因为，
，
所以． ………………4分
（Ⅱ）证明：取中点
，连接
，
． ………………5分
在△中，因为
为
中点，所以
，
．
在矩形中，因为
为
中点，所以
，
．
所以，
．
所以 四边形为平行四边形，所以
． ………………7分
因为平面
，
平面
， ………………8分
所以 // 平面
． ………………9分
（Ⅲ）解：线段上存在点
，且
为
中点时，有
平面
． ………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证
．
又平面
，所以
，从而
平面
．…………12分
所以． ………………13分
同理可得，所以
平面
．
故线段上存在点
，使得
平面
． ………………14分
18．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：． ………………2分
依题意，令，得
． ………………4分
经检验，时符合题意． ………………5分（Ⅱ）解：① 当
时，
．
故的单调减区间为
，
；无单调增区间． ………………6分
② 当时，
．
令，得
，
． ………………8分
和
的情况如下：
故的单调减区间为
，
；单调增区间为
．
………………11分
③ 当时，
的定义域为
．
因为在
上恒成立，
故的单调减区间为
，
，
；无单调增区间．
………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ………………2分
解得，
． ………………3分
所以 椭圆的方程为． ………………4分
（Ⅱ）证明：由于//
，设直线
的方程为
，将其代入
，消去
，
整理得． ………………6分
设
，
．
所以 ………………8分
证法一：记△的面积是
，△
的面积是
．
由，
，
则． ………………10分
因为，
所以， ………………13分
从而． ………………14分
证法二：记△的面积是
，△
的面积是
．
则线段
的中点重合． ………………10分
因为，
所以，
．
故线段的中点为
．
因为，
，
所以 线段的中点坐标亦为
． ………………13分
从而． ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：，
；
，
，
所以． ………………3分
（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表：
，显然
．
将数表中的
由
变为
，得到数表
，显然
．
将数表中的
由
变为
，得到数表
，显然
．
依此类推，将数表中的
由
变为
，得到数表
．
即数表满足：
，其余
．
所以，
．
所以，其中
．……………7分
【注：数表不唯一】
（Ⅲ）证明：用反证法．
假设存在，其中
为奇数，使得
．
因为，
，
所以，
，
，
，
，
，
，
这
个数中有
个
，
个
．
令．
一方面，由于这个数中有
个
，
个
，从而
． ①
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这
个实数之积为
）；
也表示
， 从而
． ②
①、②相互矛盾，从而不存在，使得
．
即为奇数时，必有
． ………………13分
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