河北省保定市定兴三中2018-2019学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

www.ks5u.com

2018-2019学年河北省保定市定兴三中高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有最温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

发奋的拼搏写就出孜孜不倦，辛勤的汗水洒落处点点花开，寂静的无人处蕴含着丝丝心声，完美的画卷中展现出似锦前程，胜利的号角在耳边回响，六月的骄阳似火绽放着无悔激情！

新试卷多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。

一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．函数y=log2（x﹣3）的定义域为（　　）

A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3） D．R

3．函数y=﹣x2+1，﹣1≤x＜2的值域是（　　）

A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．[0，1] D．[1，5）

4．若（）n有意义，则n一定是（　　）

A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数

5．当a＞l时，函数f （x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（　　）

A．0 B．1 C．log23 D．3

7．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为（　　）

A． B． C．f（x）=x2 D．f（x）=x﹣2

8．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　）

A．y=x2 B．y= C．y=log2x D．y=（）|x|

9．函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（　　）

A．（1，2） B．（1，e） C．（e，3） D．（3，+∞）

10．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a

11．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（　　）

A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=aex+b C．f（x）=eax+b D．f（x）=alnx+b

12．记max{x，y}=，若f（x），g（x）均是定义在实数集R上的函数，定义函数h（x）=max{f（x），g（x）}，则下列命题正确的是（　　）

A．若f（x），g（x）都是单调函数，则h（x）也是单调函数

B．若f（x），g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数

C．若f（x），g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数

D．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则h（x）既不是奇函数，也不是偶函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置上．

13．计算：log21+log24=　　．

14．设f（x）=，记f1（x）=f（x），若fk+1（x）=f（fk（x）），k∈N*，则f2016（x）=　　．

15．设2016∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数是　　个．

16．方程|x2﹣2x|=a2+1（a∈R+）的解的个数是　　．

三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．

（1）当m=﹣1时，求A∪B；

（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．

18．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．

（1）求函数f（x）的解析式及定义域；

（2）解不等式f（x）＜1．

19．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（3）=8．

（1）求实数a，b的值；

（2）若不等式|x﹣1|＜m的解集为（b，a），求实数m的值．

20．已知函数f（x）=，

（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

21．已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）

（1）当λ=﹣4时，求解方程f（x）=3；

（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

四、附加题（共1小题，满分0分）

22．设S表示所有大于﹣1的实数构成的集合，确定所有的函数：S→S，满足以下两个条件：

（1）对于S内的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；

（2）在区间﹣1＜x＜0与x＞0的每一个内，是严格递增的．

求满足上述条件的函数的方程．

2018-2019学年河北省保定市定兴三中高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（　　）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

【考点】交集及其运算．

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，

B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}．

故选：C．

2．函数y=log2（x﹣3）的定义域为（　　）

A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，﹣3） D．R

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】直接由对数的真数大于0，求解即可求出函数的定义域．

【解答】解：要使函数y=log2（x﹣3）有意义，

则x﹣3＞0，即x＞3．

∴函数y=log2（x﹣3）的定义域为：（3，+∞）．

故选：B．

3．函数y=﹣x2+1，﹣1≤x＜2的值域是（　　）

A．（﹣3，0] B．（﹣3，1] C．[0，1] D．[1，5）

【考点】二次函数的性质．

【分析】已知函数y=﹣x2+1，可以利用其图象以及单调性求出f（x）在﹣1≤x＜2的值域；

【解答】解：函数y=﹣x2+1，图象开口向下，

对称轴为y轴，画出图象：

word/media/image16_1.png

由图象可得函数y在x=0出取最大值，f（x）max=f（0）=1，

f（x）在x=2处取得最小值，f（x）min=f（2）=﹣4+1=﹣3；

∴函数y=﹣x2+1，﹣1≤x＜2的值域是（﹣3，1]；

故选B；

4．若（）n有意义，则n一定是（　　）

A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．

【分析】由﹣3＜0，（）n有意义，利用根式的性质能求出结果．

【解答】解：∵﹣3＜0，（）n有意义，

∴n一定是正奇数．

故选：C．

5．当a＞l时，函数f （x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】函数的图象与图象变化．

【分析】根据对数函数和一次函数的图象和性质即可判断

【解答】解：∵a＞l时，f （x）=logax的图象经过第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的图象经过第二四象限，

∴f （x）=logax和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在第四象限

故选：D．

6．已知函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=（　　）

A．0 B．1 C．log23 D．3

【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．

【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．

【解答】解：函数f（x）满足f（2x）=x，则f（3）=f（）=log23．

故选：C．

7．已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为（　　）

A． B． C．f（x）=x2 D．f（x）=x﹣2

【考点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

【分析】设出幂函数的解析式，利用点在函数的图象上，即可求出函数的解析式．

【解答】解：设幂函数为：y=xa，因为点在幂函数f（x）的图象上，

所以3，解得a=﹣2，

函数的解析式为：f（x）=x﹣2．

故选D．

8．下列函数中，是偶函数且不存在零点的是（　　）

A．y=x2 B．y=word/media/image25_1.png C．y=log2x D．y=（word/media/image27_1.png）|x|

【考点】函数的零点．

【分析】判断各函数的定义域，利用定义判断函数的奇偶性，令函数值为0，解出函数的零点．

【解答】解：对于A，y=x2的对称轴为y轴，故y=x2是偶函数，

令x2=0得x=0，所以y=x2的零点为x=0．不符合题意．

对于B，y=word/media/image25_1.png的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=word/media/image25_1.png不是偶函数，不符合题意．

对于C，y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=log2x不是偶函数，不符合题意．

对于D，﹣（word/media/image27_1.png）|﹣x|=﹣（word/media/image27_1.png）|x|，故y=﹣（word/media/image27_1.png）|x|是偶函数，令﹣（word/media/image27_1.png）|x|=0，方程无解．即y=﹣（word/media/image27_1.png）|x|无零点．

故选：D．

9．函数f（x）=lnxword/media/image29_1.png的零点所在的区间是（　　）

A．（1，2） B．（1，e） C．（e，3） D．（3，+∞）

【考点】二分法求方程的近似解．

【分析】由题意，函数f（x）=lnxword/media/image29_1.png在（0，+∞）上连续，计算f（e），f（3）即可．

【解答】解：函数f（x）=lnxword/media/image29_1.png在（0，+∞）上连续，

且f（e）=10，f（3）=ln3﹣1＞0，

故选C．

10．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【考点】对数值大小的比较．

【分析】要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系．

【解答】解：∵0＜0.32＜1

log20.3＜0

20.3＞1

∴log20.3＜0.32＜20.3，即c＜b＜a

故选B．

11．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（　　）

A．f（x）=ax2+bx+c B．f（x）=aex+b C．f（x）=eax+b D．f（x）=alnx+b

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．

【解答】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．

对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；

对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；

对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；

对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．

故选：D．

12．记max{x，y}=，若f（x），g（x）均是定义在实数集R上的函数，定义函数h（x）=max{f（x），g（x）}，则下列命题正确的是（　　）

A．若f（x），g（x）都是单调函数，则h（x）也是单调函数

B．若f（x），g（x）都是奇函数，则h（x）也是奇函数

C．若f（x），g（x）都是偶函数，则h（x）也是偶函数

D．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则h（x）既不是奇函数，也不是偶函数

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

【分析】根据题意，通过举例说明选项中的命题是否成立即可．

【解答】解：对于A，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的单调函数，

而h（x）=不是定义域R上的单调函数，命题A错误；

对于B，如f（x）=x，g（x）=﹣2x都是R上的奇函数，

而h（x）=不是定义域R上的奇函数，命题B错误；

对于C，当f（x）、g（x）都是定义域R上的偶函数时，

h（x）=man{f（x），g（x）}也是定义域R上的偶函数，命题C正确；

对于D，如f（x）=sinx是定义域R上的奇函数，g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数，

而h（x）=g（x）=x2+2是定义域R上的偶函数，命题D错误．

故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置上．

13．计算：log21+log24=　2　．

【考点】对数的运算性质．

【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可．

【解答】解：log21+log24=0+log222=2．

故答案为：2．

14．设f（x）=word/media/image36_1.png，记f1（x）=f（x），若fk+1（x）=f（fk（x）），k∈N*，则f2016（x）=　word/media/image36_1.png　．

【考点】函数的值．

【分析】由已知分别求出f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），归纳出规律：fk（x）以周期T=3的周期数列，由此能求出f2016（x）．

【解答】解：∵f（x）=word/media/image36_1.png，记f1（x）=f（x），若fk+1（x）=f（fk（x）），k∈N*，

∴f1（x）=f（x）=word/media/image36_1.png，

word/media/image38_1.png=word/media/image40_1.png=x，

f3（x）=f（x）=word/media/image36_1.png，

f4（x）=f（x）=word/media/image36_1.png，

…

归纳出规律：fk（x）以周期T=3的周期数列，

∴f2016（x）=f3（x）=word/media/image36_1.png．

故答案为：．

15．设2016∈{x，，x2}，则满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数是　15　个．

【考点】子集与真子集．

【分析】根据集合的互异性求得该集合，然后求其子集的个数．

【解答】解：∵ =|x|≠x，

∴x＜0，

∴x=﹣2016，

∴满足条件的所有x组成的集合是{﹣2016，2016，，﹣ }．

∴满足条件的所有x组成的集合的真子集的个数是：24﹣1=15．

故答案是：15．

16．方程|x2﹣2x|=a2+1（a∈R+）的解的个数是　2　．

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】根据a为正数，得到a2+1＞1，然后作出y=|x2﹣2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a2+1的图象与y=|x2﹣2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解．

【解答】

解：∵a∈R+

∴a2+1＞1．而y=|x2﹣2x|的图象如图，

∴y=|x2﹣2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点．

∴方程有两解．

故答案为：2．

三、解答题：本大题共5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|2m＜x＜1﹣m}．

（1）当m=﹣1时，求A∪B；

（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．

【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．

【分析】（1）根据并集的定义即可求出，

（2）由题意可知，解得即可．

【解答】解：（1）当m=﹣1时，B={x|﹣2＜x＜2}，A∪B={x|﹣2＜x＜3}．

（2）由A⊆B知，解得m≤﹣2，

即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]

18．已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．

（1）求函数f（x）的解析式及定义域；

（2）解不等式f（x）＜1．

【考点】函数解析式的求解及常用方法．

【分析】（1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）﹣lg（1﹣t），然后还原；

（2）由（1）得到不等式，借助于对数函数的大小，得到分式不等式解之．

【解答】解：（1）由已知令t=x+1，则f（t）=lg（t+1）﹣lg（1﹣t），

即f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）；

由word/media/image47_1.png得到﹣1＜x＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）；

（2）f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）=lg＜1，即，解得﹣1＜x＜．

19．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（3）=8．

（1）求实数a，b的值；

（2）若不等式|x﹣1|＜m的解集为（b，a），求实数m的值．

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】（1）根据条件建立方程关系即可求实数a，b的值；

（2）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（3）=8．

∴ax+y+b=ax+b•ay+b=ax+y+2b，即

x+y+b=x+y+2b，则b=0，

即f（x）=ax，

∵f（3）=8，

∴f（3）=a3=8，得a=2，

即实数a，b的值为a=2，b=0；

（2）∵a=2，b=0，∴不等式|x﹣1|＜m的解集为（0，2），

则m＞0，

由|x﹣1|＜m得1﹣m＜x＜1+m，

由，得m=1．

20．已知函数f（x）=，

（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围．

【考点】指数函数综合题．

【分析】（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；

（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）应有最小值﹣1，进而可得a的值．

（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，

令g（x）=﹣x2﹣4x+3，

由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，

而y=t在R上单调递减，

所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，

即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．

（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，

所以 h（x）应有最小值﹣1，

因此=﹣1，

解得a=1．

即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．

（3）由指数函数的性质知，

要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．

应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，

因此只能有a=0．

因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．

故 a的取值范围是{0}．

21．已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）

（1）当λ=﹣4时，求解方程f（x）=3；

（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

【考点】函数奇偶性的判断．

【分析】（1）当λ=﹣4时，令t=3x＞0，则原方程可化为t2﹣3t﹣4=0，求得t的值，可得x的值．

（2）函数的定义域为R，分当λ=1、当λ=﹣1、当|λ|≠1三种情况，分别根据奇偶函数的定义进行判断，可得结论．

【解答】解：（1）当λ=﹣4时，由f（x）=3，得3x﹣4•3﹣x=3．

令t=3x＞0，则原方程可化为t2﹣3t﹣4=0，解得t=4，或t=﹣1（舍去），

所以，x=log34．

（2）函数 的定义域为R，当λ=1时，f（x）=3x+3﹣x，f（﹣x）=f（x），

函数为偶函数；

当λ=﹣1时，f（x）=3x﹣3﹣x，f（﹣x）=﹣f（x），函数为奇函数；

当|λ|≠1时，，

此时f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），所以函数为非奇非偶函数．

四、附加题（共1小题，满分0分）

22．设S表示所有大于﹣1的实数构成的集合，确定所有的函数：S→S，满足以下两个条件：

（1）对于S内的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；

（2）在区间﹣1＜x＜0与x＞0的每一个内，word/media/image58_1.png是严格递增的．

求满足上述条件的函数的方程．

【考点】抽象函数及其应用．

【分析】令y=x可得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，代入（1）可得f（2c+c2）=2c+c2．对c的符号进行讨论得出c=0即x+f（x）+xf（x）=0，从而得出f（x）的解析式．

【解答】解：令y=x得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），

令x+f（x）+xf（x）=c，则f（c）=c，

带入（1）得f（2c+c2）=2c+c2．∵2+c＞2+（﹣1）=1，∴2c+c2=c（2+c）与c同号．

若c＞0，则2c+c2＞c，但word/media/image60_1.png，与word/media/image58_1.png在x＞0时严格递增相矛盾，

若c＜0，同样导出矛盾，

∴c=0，从而对一切x∈S有x+f（x）+xf（x）=0，

∴word/media/image62_1.png．

2016年12月27日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/25f3a4bcafaad1f34693daef5ef7ba0d4a736d22.html