2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检数学（文科）试题Word版含解析

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检

数学（文科）试题

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（　　）

A． B． C． D．

2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）

A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0

C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0

5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　）

A．19 B．20 C．21.5 D．23

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A． B． C． D．

8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a的取值为（　　）

A．1 B． C．1或 D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是　　．

14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是　　．

15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•=　　．

16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是　　．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．

（1）求B的大小；

（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．

18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

参考数据与公式：

K2=，其中n=a+b+c+d．

临界值表：

19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．

20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

[选修4-4；坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；

（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R

（1）求m，n的值；

（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．

2020-2021学年陕西省西安市长安一中高三（上）第一次质检

数学（文科）试题参考答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）已知z1=sinθ﹣i，z2=﹣cosθi，若z1﹣z2是纯虚数，则tanθ=（　　）

A． B． C． D．

【分析】z1﹣z2=﹣i是纯虚数，可得sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．

【解答】解：z1﹣z2=﹣i是纯虚数，

∴sinθ﹣=0，﹣cosθ≠0，

∴sinθ=，cosθ=，

则tanθ==﹣．

故选：B．

【点评】本题考查了纯虚数的定义、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2．（5分）若集合A={1，3，x}，B={1，x2}，A∪B={1，3，x}，则满足条件的实数x的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】由A∪B={1，3，x}得到集合B是集合A的真子集，所以得到x2，等于3或x，分别求出x的值，经检验即可得到满足题意x的个数．

【解答】解：因为A∪B={1，3，x}，A={1，3，x}，B={1，x2}，

所以x2=3或x2=x，解得x=±或x=0，x=1（舍去），

即满足条件的有3个．

故选C．

【点评】此题考查学生掌握并集的定义，以及理解集合元素的互异性，是一道基础题．

3．（5分）已知平面向量满足||=3，||=2，，的夹角为60°，若，则实数m的值为（　　）

A．1 B． C．2 D．3

【分析】由两个向量的数量积的定义求出，再由 可得=0可求m

【解答】解：∵||=3，||=2，，的夹角为60°

∴=||||cos60°=3×2cos60=3

又∵

∴==9﹣3m=0

∴m=3

故选D

【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，两个向量垂直的性质．

4．（5分）平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（　　）

A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0

C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0

【分析】设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，即可求出直线方程．

【解答】解：设所求直线方程为2x+y+b=0，则，

所以=，所以b=±5，

所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0

故选：A．

【点评】本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．

5．（5分）重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（　　）

A．19 B．20 C．21.5 D．23

【分析】根据中位数的定义进行求解即可．

【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，

则中位数为，

故选：B

【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据中位数的定义是解决本题的关键．比较基础．

6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．

【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，

所求几何体的体积为：=．

故选：A．

【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．

7．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．

【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．

∴∴由此易得．

故选A

【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．

8．（5分）如果执行如图的程序框图，输入x=﹣2，h=0.5，那么输出的各个数的和等于（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5

【分析】按照程序框图的流程，判断出x的值是否满足判断框中的条件，求出所有输出的y值，再将各值加起来．

【解答】解：第一次输出y=0；第二次输出y=0；第三次输出0；第四次输出y=0；

第经过第五次循环输出y=0；第六次输出y=0.5；第七次输出y=1；第八次输出y=1；第九次输出y=1

各次输出的和为0+0+0+0+0+0.5+1+1+1=3.5

故选B

【点评】本题考查解决程序框图的循环结构，常用的方法是求出前几次循环的结果找规律．

9．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（　　）

A． B． C． D．

【分析】所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：∵sin2α=，

∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．

故选A

【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．

10．（5分）随机地向半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】因为点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，

【解答】解：半圆0＜y＜（a为正常数）内掷一点，原点与该点的连线与x轴的夹角小于的区域如图：

点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则；

故选A．

【点评】本题考查了几何概型的概率求法，首先正确画出满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．

11．（5分）设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．

【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．

则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，

∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，

化为=0，解得．

故选C．

【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．

12．（5分）已知f（x）=x2+3x+1，g（x）=+x，若h（x）=f（x）﹣g（x）恰有两个零点，则实数a的取值为（　　）

A．1 B． C．1或 D．

【分析】问题转化为a=x3+x2﹣x（x≠1）的交点问题，令h（x）=x3+x2﹣x，（x≠1），画出函数h（x）的图象，结合图象求出a的值即可．

【解答】解：联立y=f（x）和y=g（x）得 x2+3x+1=+x，

整理可得 a=x3+x2﹣x，且 x≠1．

令函数h（x）=x3+x2﹣x，可得函数h（x） 的极值点在﹣1和处，

画出h（x）的草图，如图示：

当x=﹣1时，h（x）=1； 当x=时，h（x）=﹣，

故当a=1时，y=a和y=h（x）1个交点，

因为（1，1）不在h（x）上，不满足条件．

故当a=﹣时，结合图象可得y=a和y=h（x）恰有2个交点．

综上，只有当a=﹣时，才能满足y=a和y=h（x）恰有2个j交点，

故选：B．

【点评】本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想以及转化思想，是一道中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是　（﹣2，1）　．

【分析】题意可先判断出f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，从而可比较2﹣a2与a的大小，解不等式可求a的范围．

【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增，

又∵f（x）是定义在R上的奇函数，

根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，

∴f（x）在R上单调递增．

∵f（2﹣a2）＞f（a），

∴2﹣a2＞a，

解不等式可得，﹣2＜a＜1，

故答案为：（﹣2，1）．

【点评】本题主要考查了奇函数在对称区间上的单调性相同（偶函数对称区间上的单调性相反）的性质的应用，

一元二次不等式的求解，属于基础试题．

14．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB＜csinC，则△ABC的形状是　钝角三角形　．

【分析】利用正弦定理化简已知不等式可得a2+b2＜c2，进而利用余弦定理可求cosC＜0，结合C的范围即可判断得解．

【解答】解：△ABC中，由正弦定理可得＞0，

∴sinA=，sinB=，sinC=．

∵asinA+bsinB＜csinC，

∴+＜，即a2+b2＜c2．

∴cosC=＜0．

∵0＜C＜π，

∴＜C＜π．

∴角C为钝角．

∴△ABC的形状是钝角三角形．

故答案为：钝角三角形．

【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理和余弦定理是解题的关键，属于基础题．

15．（5分）若函数f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f（x）的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则（+）•=　32　．

【分析】根据“f（x）=2sin（x+）（2＜x＜10）的图象与x轴交于点A”求出A点坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解

【解答】解：由f（x）=2sin（x+）=0，可得x+=kπ，

∴x=6k﹣2，k∈Z

∵2＜x＜10

∴x=4即A（4，0）

设B（x1，y1），C（x2，y2）

∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点

∴B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0

∴（+）•=（x1+x2，y1+y2）•（4，0）=4（x1+x2）=32

故答案为：32．

【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用．

16．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是　（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）　．

【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，

∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，

∴圆心到直线的距离d==1，

整理得：m+n+1=mn≤（）2，

设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，

∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，

∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，

解得：x≥2+2或x≤2﹣2，

则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．

故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．

三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2=b2﹣ac．

（1）求B的大小；

（2）设∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，BD=1，求cosC的值．

【分析】（1）利用余弦定理可得：cosB=﹣，B∈（0，π），可得B．

（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，解得sin∠BAD．cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD．可得sin∠BAC=．可得cosC=cos（60°﹣∠BAC）．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2=b2﹣ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac．

∴cosB==﹣=﹣，B∈（0，π），可得B=．

（2）在△ABD中，由正弦定理可得：=，

解得sin∠BAD==．

cos∠BAC=cos2∠BAD=1﹣2sin2∠BAD=1﹣×2×=．

∴sin∠BAC===．

∴cosC=cos（60°﹣∠BAC）=+=．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、角平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评．某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生 表2：女生

（1）从表二的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率；

（2）由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

参考数据与公式：

K2=，其中n=a+b+c+d．

临界值表：

【分析】（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．

【解答】解：（1）设从高一年级男生中抽出m人，则=，m=25，

∴x=25﹣20=5，y=20﹣18=2，

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为：（a，b）（a，c）（b，c）（A，B）（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共10种．

设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，

则C的结果为：（a，A），（a，B），（b，A）（，b，B），（c，A）（c，B），共6种．

∴P（C）==，故所求概率为．

（2）

∵1﹣0.9=0.1，p（k2＞2.706）=0.10，

而K2====1.125＜2.706，

所以没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”．

思路点拨（1）由题意可得非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，则从这5人中任选2人的所有可能结果为10个，设事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”，则C的结果为6个，根据概率公式即可求解．（2）由2×2列联表直接求解即可．

【点评】本考查了独立检验思想在实际问题中的应用，属于中档题．

19．（12分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

（1）证明：CF⊥平面MDF；

（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．

【分析】（1）要证CF⊥平面MDF，只需证CF⊥MD，且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD，得出平面PCD⊥平面ABCD，即证MD⊥平面PCD，得CF⊥MD；

（2）求出△CDE的面积S△CDE，对应三棱锥的高MD，计算它的体积VM﹣CDE．

【解答】解：（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，

∴平面PCD⊥平面ABCD；

又平面PCD∩平面ABCD=CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，

∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD；

又CF⊥MF，MD、MF⊂平面MDF，MD∩MF=M，

∴CF⊥平面MDF；

（2）∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，

又∵Rt△PCD中，DC=1，PC=2，

∴∠P=30°，∠PCD=60°，

∴∠CDF=30°，CF=CD=；

∵EF∥DC，∴=，即=，

∴DE=，∴PE=，

∴S△CDE=CD•DE=；

MD===，

∴VM﹣CDE=S△CDE•MD=××=．

【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，解题时应结合图形，明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么，几何体的体积计算公式是什么，是中档题．

20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形面积是．

（1）求椭圆方程；

（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB是定值．

【分析】（1）由椭圆的离心率公式e===，点P（1，y）（y＞0），根据三角形的面积公式即可求得y值，代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）当l斜率不存在时，，；当l斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理y1+y2及y1•y2，求得=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4=0，，∠ADB是定值．．

【解答】解：（1）由题意可知：e===，整理得：a2=b2，

由直线x=1与椭圆相交，交点P（1，y）（y＞0），

由题意可知：•1•2y=，解得：y=，

将P（1，）代入椭圆方程，，解得b2=3，a2=4，

∴椭圆的方程为：，．

（2）当l斜率不存在时，，

∴，

∴；

当l斜率存在时，设直线，由得（196+147m2）y2+84my﹣576=0，

∵l与C有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），

∴△＞0，且，

∴，

∵=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），

•=x1•x2﹣2（x1+x2）+y1•y2+4，

=+，

==0，

∴，

综上．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及向量数量积的坐标表示，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；

（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；

②当a＜0时，若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；

若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；

在（1，ln（﹣2a））递减；

若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；

由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．

即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；

在（ln（﹣2a），1）递减；

（Ⅱ）

①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，

且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；

②当a=0时，f（x）=（x﹣2）ex，所以f（x）只有一个零点x=2；

③当a＜0时，

若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，

又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；

当a≥﹣时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．

综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．

【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．

[选修4-4；坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．

（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；

（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．

【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．

（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．

解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．

【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，

即C的普通方程为．（2分）

由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）（3分）

将代入（*），化简得y=x+2，（4分）

所以直线l的倾斜角为． （5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数），（7分）

代入并化简，得．（8分）

．

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，所以t1＜0，t2＜0，（9分）

所以．（10分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．（5分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．

由消去y得10x2+36x+27=0，（7分）

于是△=362﹣4×10×27=216＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，

（8分）

故．（10分）

【点评】本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知实数m，n满足：关于x的不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R

（1）求m，n的值；

（2）若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n，求证：++．

【分析】（1）若不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，故3x2﹣6x﹣9=0时，x2+mx+n=0，进而由韦达定理得到答案；

（2）运用重要不等式a+b≥2，结合累加法和三个数的完全平方公式，即可得证．

【解答】（1）解：∵不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|的解集为R，

令3x2﹣6x﹣9=0，得x=﹣1，或x=3，

故x=﹣1，或x=3时，x2+mx+n=0，

则x=﹣1和x=3为方程x2+mx+n=0的两根，

故﹣1+3=2=﹣m，﹣1×3=﹣3=n，

解得：m=﹣2，n=﹣3，

当m=﹣2，n=﹣3时，不等式|x2+mx+n|≤|3x2﹣6x﹣9|即为

|x2﹣2x﹣3|≤3|x2﹣2x﹣3|，即有|x2﹣2x﹣3|≥0，则解集为R，

故m=﹣2，n=﹣3；

（2）证明：若a，b，c∈R+，且a+b+c=m﹣n=1，

由a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2．

累加得，2a+2b+2c≥2+2+2，

两边同时加a+b+c，可得

3（a+b+c）≥a+b+c+2+2+2，

即有3（a+b+c）≥（++）2，

即++≤=．（当且仅当a=b=c时取得等号）

则++≤成立．

【点评】本题考查不等式的解法和运用，主要考查不等式的恒成立转化为求函数的最值，同时考查二次方程的韦达定理的运用，运用均值不等式和累加法是证明不等式的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/256f6db289d63186bceb19e8b8f67c1cfbd6ee70.html