2020年吉林省长春市中考数学试题（解析版）

2020年吉林省长春市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（　　）

A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2

2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105

3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝

6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（　　）

A．40° B．140° C．160° D．170°

7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：

①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；

②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．

下列说法不一定正确的是（　　）

A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B

C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（　　）

A．0＜k≤2 B．≤k≤3 C．≤k≤2 D．≤k≤4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费　 　元．

10．（3分）分解因式：a2﹣4＝　 　．

11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为　 　．

12．（3分）正五边形的一个外角的大小为　 　度．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．

16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）

17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．

要求：

（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；

（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；

（3）点C在格点上．

18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？

19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：OE＝OF．

（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．

2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表

根据上面的统计图表回答下列问题：

（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是　 　年．

（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为　 　天，平均数为　 　天．

（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是　 　年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为　 　（精确到1%）．

（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）

（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）甲车的速度为　 　千米/时，a的值为　 　．

（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．

【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝　 　．

23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点P与点B重合时，求t的值．

（2）用含t的代数式表示线段CE的长．

（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．

（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标．

（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．

（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．

2020年吉林省长春市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（　　）

A．﹣1 B．﹣1.5 C．﹣3 D．﹣4.2

【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．

【解答】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于﹣4，且小于﹣2，

因此备选项中，只有选项C符合题意，

故选：C．

2．（3分）为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为79000平方米的新少年宫，预计2020年12月正式投入使用．79000这个数用科学记数法表示为（　　）

A．79×103 B．7.9×104 C．0.79×105 D．7.9×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：79000这个数用科学记数法表示为：7.9×104．

故选：B．

3．（3分）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱进行解答即可．

【解答】解：由四棱柱的特点可知：四棱柱的侧面展开图是矩形而且有4条棱．

故选：A．

4．（3分）不等式x+2≥3的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项可得．

【解答】解：x≥3﹣2，

x≥1，

故选：D．

5．（3分）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinA＝

【分析】根据直角三角形的边角关系，即锐角三角函数逐个进行判断即可．

【解答】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，

则sinA＝，cosA＝，tanA＝，

因此选项A正确，选项B、C、D不正确；

故选：A．

6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC＝20°，则∠AOC的大小为（　　）

A．40° B．140° C．160° D．170°

【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC＝40°，然后根据邻补角的定义计算出∠AOC的度数．

【解答】解：∵∠BOC＝2∠BDC＝2×20°＝40°，

∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°．

故选：B．

7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＞AC．按下列步骤作图：

①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；

②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．

下列说法不一定正确的是（　　）

A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠B

C．∠ACD＝∠DCB D．2∠B+∠ACD＝90°

【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可．

【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，

∴DB＝DC，MN⊥BC，

∴∠BDN＝∠CDN，∠DBC＝∠DCB，

∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2∠B，

∵∠A＝90°，

∴∠ADC+∠ACD＝90°，

∴2∠B+∠ACD＝90°，

故选项A，B，D正确，

故选：C．

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，点C是线段OB上的点，连结AC．点P在线段AC上，且AP＝2PC，函数y＝（x＞0）的图象经过点P．当点C在线段OB上运动时，k的取值范围是（　　）

A．0＜k≤2 B．≤k≤3 C．≤k≤2 D．≤k≤4

【分析】设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，由△PCD∽△ACB，用c表示P点坐标，再求得k关于c的解析式，最后由不等式的性质求得k的取值范围．

【解答】解：∵点A的坐标为（3，2），AB⊥x轴于点B，

∴OB＝3，AB＝2，

设C（c，0）（0≤c≤3），过P作PD⊥x轴于点D，

则BC＝3﹣c，PD∥AB，OC＝c，

∴△PCD∽△ACB，

∴，

∵AP＝2PC，

∴，

∴PD＝，CD＝1﹣c，

∴OD＝OC+CD＝1+c，

∴P（1+c，），

把P（1+c，）代入函数y＝（x＞0）中，得

k＝c，

∵0≤c≤3

∴，

故选：C．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9．（3分）长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元，儿童票每张15元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费　（30m+15n）　元．

【分析】根据单价×数量＝总价，用代数式表示结果即可．

【解答】解：根据单价×数量＝总价得，共需花费（30m+15n）元，

故答案为：（30m+15n）．

10．（3分）分解因式：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．

【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．

【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．

11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为　1　．

【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，

∴△＝0，

∴（﹣2）2﹣4m＝0，

∴m＝1，

故答案为：1．

12．（3分）正五边形的一个外角的大小为　72　度．

【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．

【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°．

故答案为：72．

13．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，以点C为圆心，线段CA的长为半径作，交CB的延长线于点D，则阴影部分的面积为　π﹣2　（结果保留π）．

【分析】利用勾股定理求出AC，证明∠C＝45°，根据S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB计算即可．

【解答】解：∵AB＝CB＝2，∠ABC＝90°，

∴AC＝＝＝2，

∴∠C＝∠BAC＝45°，

∴S阴＝S扇形CAD﹣S△ACB＝﹣×2×2＝π﹣2，

故答案为π﹣2．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2）．若抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为　　．

【分析】根据题意，可以得到点C的坐标和h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决．

【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），

∴AB＝4，

∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB＝2，

∴设点C的坐标为（c，2），则点D的坐标为（c+2，2），h＝＝c+1，

∴抛物线2＝﹣[c﹣（c+1）]2+k，

解得，k＝．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．

【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可．

【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2

＝a2+7．

当a＝时，原式＝（）2+7＝9．

16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）

【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，

则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．

17．（6分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．

要求：

（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；

（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；

（3）点C在格点上．

【分析】根据网格画出符合条件的三个三角形即可．

【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．

18．（7分）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？

【分析】设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，根据单价＝总价÷数量结合今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，

依题意，得：﹣＝20，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．

答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．

19．（7分）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：OE＝OF．

（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

【分析】（1）由平行四边形性质得OB＝OD，由AAS证得△OEB≌△OFD，即可得出结论；

（2）由（1）得OE＝OF，则OE＝2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠OEB＝∠OFD＝90°，

在△OEB和△OFD中，，

∴△OEB≌△OFD（AAS），

∴OE＝OF；

（2）解：由（1）得：OE＝OF，

∵OF＝2，

∴OE＝2，

∵BE⊥AC，

∴∠OEB＝90°，

在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．

20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．

2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表

根据上面的统计图表回答下列问题：

（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是　2018　年．

（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为　7　天，平均数为　8　天．

（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是　2018　年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为　89%　（精确到1%）．

（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）

（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

【分析】（1）从折线统计图可得答案；

（2）利用中位数、众数的意义分别计算即可；

（3）分别计算从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数，进而利用增长率计算结果；

（4）根据空气质量的等级天数进行判断即可．

【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，

故答案为：2018；

（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，

这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，

故答案为：7，8；

（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：

2015年，43﹣30＝13天；

2016年，51﹣43＝8天；

2017年，65﹣51＝14天；

2018年，123﹣65＝58天；

2019年，126﹣123＝3天，

因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，

故答案为：2018，89%；

（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．

21．（8分）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．

（1）甲车的速度为　40　千米/时，a的值为　480　．

（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．

（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2行驶所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得a＝240×2＝480；

（2）运用待定系数法解得即可；

（3）分两车相遇前与相遇后两种情况列方程解答即可．

【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；

a＝40×6×2＝480，

故答案为：40；480；

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），

∴，解得，

∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120；

（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；

两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，

答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．

22．（9分）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．

1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．

【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．

【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝　　．

【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．

（2）证明∠QFP＝∠FPQ即可解决问题．

（3）证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF＝m，求出AB，AD（用m表示）即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADA′＝90°，

由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，

∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，

∴四边形AEA′D是矩形，

∵DA＝DA′，

∴四边形AEA′D是正方形．

（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．

理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠QFP＝∠APF，

由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，

∴∠QFP＝∠FPQ，

∴QF＝QP，

∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如图③中，

∵四边形PGQF是菱形，

∴PG＝GQ＝FQ＝PF，

∵QF＝QP，

∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，

∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，

∴∠DQD′＝30°，

∵∠D′＝90°，

∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，

由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，

∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，

∴＝＝．

故答案为．

23．（10分）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．

（1）当点P与点B重合时，求t的值．

（2）用含t的代数式表示线段CE的长．

（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．

（4）如图②，取PD的中点M，连结QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

【分析】（1）根据AB＝4，构建方程求解即可．

（2）分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出EC即可．

（3）求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围．

（4）分两种情形：如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时．如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可．

【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．

（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝＝＝5，

∴sinA＝，cosA＝，

如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cosA＝4t，

∴EC＝5﹣4t．

如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝，

∴EC＝PC•cosC＝（7﹣5t）＝﹣3t．

（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，

如图④中，当点P在线段AB上时，

在Rt△APE中，PE＝PA•sinA＝3t，

∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，

∵PE＝DE，

∴3t＝5﹣6t，

∴t＝．

如图⑤中，当点P在线段BC上时，

在Rt△PCE中，PE＝PC•sinC＝（7﹣5t）＝﹣4t，

∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，

∴﹣4t＝5t﹣，

解得t＝．

∵△PDQ是锐角三角形，

∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．

（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，

过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．

∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，

∴BN＝NH，

在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，

∴QG＝PQ＝t，

在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，

∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，

解得t＝．

如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，

过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．

∵QM∥BC，DM＝PM，

∴DH＝2PK，

在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），

∴PK＝PQ＝（7﹣5t），

在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，

∵DH＝2PK，

∴t＝2×（7﹣5t），

解得t＝，

综上所述，满足条件的t的值为或．

24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标．

（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．

（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．

【分析】（1）当x＝0时，代入y＝x2﹣2ax﹣1，即可得出结果；

（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，得a＝﹣1，则函数的表达式为y＝x2+2x﹣1，由y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，得出抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；

（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，﹣a2﹣1），当a＞0时，对称轴在y轴右侧，最低点就是A（0，﹣1），则2a﹣（﹣1）＝2，即可得出结果；当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，则2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，即可得出结果；

（4）易证直角边为EF与FG，由抛物线的对称轴为x＝a，A（0，﹣1），则AA′＝﹣2a，当点P在EF边上时，PP′＝2（a+1），则﹣2a＝2×2（a+1），即可得出结果；当点P在FG边上时，求出PP′＝2，则﹣2a＝4，即可得出结果．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，

∴点A的坐标为：（0，﹣1）；

（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，

得：2＝1﹣2a﹣1，

解得：a＝﹣1，

∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，

∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，

∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：

∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大；

（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），

当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：

∵x≤0，

∴最低点就是A（0，﹣1），

∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，

∴2a﹣（﹣1）＝2，

解得：a＝；

当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，

如图3所示：

∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，

整理得：（a+1）2＝2，

解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；

综上所述，a的值为或﹣1﹣；

（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），

∴直角边为EF与FG，

∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），

∴AA′＝﹣2a，

当点P在EF边上时，如图4所示：

则xp＝﹣1，

∵EA＝OA＝1，

∴点P在对称轴x＝a的左侧，

∴PP′＝2（a+1），

∵AA′＝2PP′，

∴﹣2a＝2×2（a+1），

解得：a＝﹣；

当点P在FG边上时，如图5所示：

则yp＝a﹣1，

∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，

解得：x1＝a+，x2＝a﹣，

∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，

∵AA′＝2PP′，

∴﹣2a＝4，

解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；

综上所述，a的值为﹣或﹣．

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