北师大九年级数学上册第四章 图形的相似 广东省2018年秋单元综合检测题（含答案）

第四章单元测试卷

(时间：100分钟　　满分：120分)

一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)

1. 已知2x＝3y，则下列比例式成立的是(C)

A.＝ B.＝ C.＝ D.＝

2. 如图，直线a，b，c分别与直线m，n交于点A，B，C，D，E，F.已知直线a∥b∥c，若AB＝2，BC＝3，则的值为(A)

A. B. C. D.

第2题图 第3题图 第5题图 第6题图

3. 如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，如果△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(B)

A．6 B．12 C．18 D．24

4. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为(A)

A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1

5. 如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为(A)

A．2∶3 B．3∶2 C．4∶5 D．4∶9

6. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，CE＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)

A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m

7. 如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B)

A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2)

第7题图 第8题图 第9题图 第10题图

8. 如图，P为△ABC边AB上一点且AP∶BP＝1∶2，E，F分别是PB，PC的中点，△ABC，△PEF的面积分别为S和S1，则S和S1的关系式(D)

A．S1＝S B．S1＝S C．S1＝S D．S1＝S

9. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是(C)

A．∠C＝2∠A B．BD平分∠ABC

C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点

10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(C)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)

11. 若1，2，3，x是成比例线段，则x＝6.

12. 若＝＝(y≠n)，则＝.

13. 如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝.

第13题图 第14题图 第15题图 第16题图

14. 如图，在△ABC中，AB≠AC.D，E分别为边AB，AC上的点．AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：DF∥AC或∠BFD＝∠A，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)

15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝.

16. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为22.5米．

三、解答题(一)(本大题3小题，每小题6分，共18分)

17. 如图，若点P在线段AB上，点Q在线段AB的延长线上，AB＝10，＝＝，求线段PQ的长．

解：设AP＝3x，BP＝2x.∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10.∴x＝2.∴AP＝6，BP＝4.∵＝，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y.∴＝.解得y＝20.∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24

18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a＋b＋c＝36，＝＝，求△ABC三边的长．

解：设＝＝＝k(k≠0)，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a＋b＋c＝36，∴3k＋4k＋5k＝36，∴k＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15

19. 如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．

解：在△ABD和△ACB中，∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，AD＝4，∴AC＝＝＝9，则CD＝AC－AD＝9－4＝5

四、解答题(二)(本大题3小题，每小题7分，共21分)

20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．

(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；

(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.

解：(1)(2)如图所示

21. 如图，小明想用镜子测量一棵古松树AB的高，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，第一次他把镜子放在点C处，人在点F处正好看到树尖A；第二次他把镜子放在点C′处，人在点F′处正好看到树尖A，已知小明眼睛距地面1.6 m，量得CC′＝7 m，CF＝2 m，C′F′＝3 m，求这棵古松树AB的高．

解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠AC′B＝∠E′C′F′，∴△BAC∽△FEC，△AC′B∽△E′C′F′，设AB＝x，BC＝y，则＝，＝，解得x＝11.2，y＝14.答：这棵古松的高约为11.2 m

22. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G.

(1)求证：GD·AB＝DF·BG；

(2)连接CF，求证：∠CFB＝45°.

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴＝，∴DG·BC＝DF·BG，∵AB＝BC，∴DG·AB＝DF·BG　(2)连接BD，CF，∵△BGC∽△DGF，∴＝，∴＝，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠BDG＝∠ADC＝45°，∴∠CFB＝45°

五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)

23. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB，交BF的延长线于点E，AG⊥BE，垂足是G，连接BD，AE.

(1)求证：△ABC∽△BGA；

(2)若AF＝5，AB＝8，求FG的长；

(3)当AB＝BC，∠DBC＝30°时，求的值．

解：(1)∵∠ABC＝90°，F是AC的中点，∴BF＝AC＝AF，∴∠FAB＝∠FBA，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠ABC＝∠AGB，∴△ABC∽△BGA

(2)∵AF＝5，∴AC＝2AF＝10，BF＝5，∵△ABC∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝＝，∴FG＝BG－BF＝－5＝　(3)延长ED交BC于H，则DH⊥BC，∴∠DHC＝90°，∵AB＝AC，F为AC的中点，∴∠C＝45°，∠CBF＝45°，∴△DHC，△BEH是等腰直角三角形，∴DH＝HC，EH＝BH，设DH＝HC＝a，∵∠DBC＝30°，∴BD＝2a，BH＝a，∴EH＝a，∴DE＝(－1)a，∴＝

24. 如图①，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M.

(1)求证：△EDM∽△FBM；

(2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长；

(3)如图②，若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP·BP＝BF·CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵AB＝2CD，点E是AB的中点，∴DC＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴ED∥BC.∴∠EDB＝∠FBM.又∵∠DME＝∠BMF，∴△EDM∽△FBM

(2)∵△EDM∽△FBM，∴＝，∵F是BC的中点，∴DE＝BC＝2BF，∴DM＝2BM，∴DB＝DM＋BM＝3BM，∵DB＝12，∴BM＝DB＝×12＝4　(3)存在，∵DC∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CDB＝∠CBD，∴DC＝BC，∵DP·BP＝BF·CD，∴＝，∴△PDC∽△FBP，∴∠BPF＝∠PCD，∵∠DPC＋∠CPF＋∠BPF＝180°，∠DPC＋∠PDC＋∠PCD＝180°，∴∠PDC＝∠CPF，∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠EDB＝∠PDC＝30°，∴∠CPF＝30°

25. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.

(1)如图①，当＝时，求的值；

(2)如图②，当＝时，求AF与OA的比值(用含m的代数式表示)；

(3)如图③，当＝时，过点F作FG⊥BC于点G，探索EG与BG的数量关系(用含m的代数式表示)，并说明理由．

解：(1)∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CEF∽△ADF，∴＝，∴＝＝，＝＝　(2)设EC＝1，则BE＝m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝m＋1，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∵＝，∴AC＝2OA，∴＝，∴＝　(3)结论：＝()2，理由：设EC＝1，则BE＝m，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝m＋1，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝＝，∵FG⊥BC，∴FG∥CD，∴＝＝，①∵FG∥AB，∴＝＝，②由①×②，可得×＝×，即＝()2

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/240bfc30cbaedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b1b1.html