棱锥的体积教案

在实践中学习，在反思中提高

课例：《棱锥的体积》

上海市大团高级中学 李青

随着“二期课改”的不断推进，“二期课改”已经由理念层面向课堂实践层面不断深入。作为一名第一线的教师，如何将先进的教育理念，渗透到平时的课堂教学中呢？这是每一位一线教师，必须去面对、去实践的课题。笔者通过前段时间的理论学习，积极投入课堂教学中去实践。为了检验前段时期的学习与实践的效果，进行了一次教学研讨活动，开设了公开课《棱锥的体积》。

《棱锥的体积》是学生在学习了棱柱的体积及棱锥的性质后，学生已经具备了一定的知识基础来学习棱锥的体积公式。本课例是培养学生运用知识、发展能力的有效载体。但如何组织好、处理好教材，以利于最大程度地满足学生的发展需要。引起了我深深的思索。为此，笔者对教材进行了认真仔细地研读，教材是通过证明命题“等底等高的两个棱锥，它们的体积相等”为出发点，来探求三棱锥的体积，将一个三棱锥补成一个三棱柱，从而证明V三棱锥= V三棱柱。最后得到一般棱锥的体积公式V棱锥= Sh及其公式的应用。我感到，如果按照教材的设计进行教学，学生会觉得这些知识很神秘，很深奥，也较难接受与理解，学生会产生种种疑问。例如，求棱锥的体积怎么会想到证明命题问题？再者，由于学生缺乏一定的空间想象力，更想不到将一个三棱锥补成一个三棱柱，学生没有这种思维意识。针对学生面临的种种困惑，我对教材进行了重新设计。按照数学发现规律和学生的认知规律组织教学，让学生在观察----猜测--------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用中，体验知识的发生、发展过程，在灵活运用知识的过程中，培养发展学生的能力。按照这个思路，我进行了第一次教学。

第一次教学过程：

1.创设情境，提出问题

师：前面，我们学习了棱柱及其性质，并用祖暅原理，推导了棱柱的体积公式。

1）祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。（用电脑演示）

2）V棱柱=Sh（S为棱柱的底面积，h为棱柱的高）

最近，我们在学习棱锥及其性质，今天，我们将要学习棱锥的体积。

2.实验观察，猜测结论

1）三棱柱与三棱锥之间有什么关系

教师将一个三棱柱分割成三个三棱锥

（1） （2） （3）

2）猜测：三棱锥的体积V三棱锥= V棱柱= Sh

这个结论成立吗？我们必须要证明。

3.探究新课，推导三棱锥体积公式

师：三棱柱分割为三个三棱锥，如果能证明三个三棱锥的体积相等，那么

V三棱锥= V棱柱

下面，我们来仔细观察（教师演示）三个三棱锥有什么特点：

1）底面积相等，2)棱锥的高相等

具有这样特点的棱锥的体积是否相等？（现在我们来证明这个命题）

命题：已知：两个棱锥底面积都是S，高都是h

求证：两个棱锥的体积相等

证明：把两个棱锥的底面放在平面α上，作平行于α的任意平面去截两个棱锥，所得的面积为S1,S2，设平面与两个棱锥顶点都相距h1

由棱锥性质得 S1=S2

根据祖暅原理，两个棱锥的体积相等 V1=V2

结论：等底等高的两个棱锥，它们的体积相等

这样我们再来观察三个三棱锥，都是等底等高，所以，V1=V2=V3

小结：已知三棱锥，底面积为S，高为h.

V三棱锥= sh

4.引伸拓展，推导棱锥体积公式

刚才，我们学习了三棱锥的体积公式，

那么，对于一般的棱锥，如何求它的体积？

让学生思考一下，

V棱锥= sh

说明：强调棱锥的体积；1）底面积S，2）高h，3）系数

注意与棱柱体积公式的区别

5.简单应用，知识体验

例1.正三棱锥的高为，侧面与底面所成的角为60度，求正三棱锥的体积。

解：过P作PO⊥平面ABC,垂足为O，

则O是三角形ABC的中心，

连接AO并延长交BC于D,连接PD,由三垂线定理，

PD⊥BC，所以∠PDO是侧面与底面所成的二面角，

∠PDO=60，OD=·ctg60=1

设三角形ABC边长为a,CD=,a=2,SABC=

V三棱锥=

说明：求底面积与高

例2：如图是一个石柱，石柱的上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱，已知正四棱柱的底面边长是0.5米，高为1米，正四棱锥的高是0.3米，石料的比重为2400千克/立方米，求这个石柱的重量。

说明：体积在实际生活中是有广泛应用的

6.回顾小结 归纳整理

今天，我们学习了棱锥的体积公式，V棱锥= Sh

7.布置作业

8.思考题

已知：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且它们的面积分别是6，4，3，求此三棱锥的体积。

第一次反思：

1：教师在教学设计与教学时，虽然按照数学发现规律与学生认知规律开展教学，教师从学生已有的知识的出发，由三棱柱与三棱锥的关系，经观察----猜测------论证------推导棱锥的体积的公式------公式的应用，这条主线组织教学。教师的主导的作用明显，但通过对比“二期课改”的理念，我想，这样的教学效果好吗？学生真的是这样学习的吗？看似符合学生的认知规律，但站在学生的发展角度看，特别是从学生能力发展与潜能开发上，还存在一定差距，总感到学生似乎没有“真正”参与教学，只是由教师牵引着一步步达到教学目标，学生的主动探究、学生的思维没有“真正”激活，还是有点被动的接受教师的教学设计思路开展思考，缺少一种野性思维与创造性思维。

2：“二期课改”所提倡的学生学习方式转变，本节课体现不够充分，学生的讨论、交流、探究，学生的亲身体验，虽然有所表现，但总感到不够深入，有点肤浅。

没有给学生充分地数学活动、数学思考、经历数学化的机会。例：三棱柱与三棱锥割补，是否让学生亲自实践操作一下，亲自动手操作一次，亲身经历一次，印象会更深刻一些，也更容易理解一些。

3：多媒体与学科有机整合，是提高课堂教学效率的一个重要途径。本节课多媒体的使用效果是比较精彩的：由三棱柱分割成三个三棱锥，动画过程清晰：由平行平面截几何体的截面，生动形象：由一般棱锥分割成若干个三棱锥，学生能很直观的观察到，理解也较容易。把思考过程很生动形象的展示在学生面前。但也感到存在一点隐患，数学是培养学生抽象思维能力的一门学科，需要学生有一定的空间想象与抽象能力，太多的具体的感知，是否会影响学生的想象力。

通过第一次的教学实践与反思，针对存在的问题，如：学生学习方式的转变，激活学生的思维能力等，怎样更好的体现“二期课改”的所倡导的教学理念，笔者重新对本节课的教学进行思考与设计。进行了第二次教学。

第二次教学过程

一、提出问题 激活思维

师：前面已经学习了棱锥以及棱锥的性质，今天我们学习棱锥的体积

启发学生回顾棱柱的体积公式V棱柱=Sh

显示一般棱锥 已知棱锥P-ABCDEF的

底面积ABCDEF=S，高PH=h

求

请同学思考解题方法，可以相互讨论，对这个问题，你是如何思考的？不一定要准确结论，而是思考解决问题的方法。

二、交流学习 共享成果

师：通过，刚才的思考与相互讨论，请同学交流一下想法

生1：我是这样想的，将棱锥P-ABCDEF分割成若个三棱锥，这样只要解决三棱锥的体积就可以了。

生2：我是这样想的，求棱柱的体积时，我们构造了一个等底等高的长方体，根据祖暅原理，求出了棱柱体积。是否也可以用样的方法构造一个等底等高的三棱锥，根据祖暅原理求出棱锥的体积。

生3：我是这样想的，根据物理知识处理，将棱锥放入水中，排出的水的体积就是棱锥的体积

师：通过同学们的交流，大多数同学同意三位同学的想法，同学3能利用物理知识处理是很好的想法，属于创新。但数学是严密的，今天学习棱锥体积计算是希望得到一个计算方法或公式。从生1，生2两位同学交流中，我们发现一个共性的东西，那就是都涉及到了要求三棱锥的体积。这样，将问题转化为求三棱锥的体积，下面我们一起共同探究。

三、动手操作 猜测结论

师：同学们知道，一个平行四边形可以分割成两个面积相等三角形。那么三棱柱能否分割成几个体积相等的三棱锥呢？

请同学们动手拿出预先准备的三棱柱，进行操作分割，可以相互讨论。

教师用模型实物进行演示，再通过多媒体进行演示

同时，要求学生将这个分割过程，作图表示出来

（1） （2） （3）

用体积表示

师：请同学们仔细观察，猜测结论 并说明理由。

生4：我猜：V三棱锥= V棱柱。

因为，在图（1）、（3）中，，且它们的高相等。

在图（2）、（3）中，，且它们的高相等。

根据祖暅原理，，所以V三棱锥= V棱柱= sh。

师：同学们，想一想，生4讲得对不对？有没有什么要补充的？

生5：我觉得有点不妥，祖暅原理是用平行于底面的任意平面去截，截面的面积都相等，则体积相等。而他说，只有一个底面且高相等，就说它们的体积相等， 有点想不通。

四、论证猜测，体验成功

师：那我们一起来想办法，帮生5想通这个问题。

已知两个三棱锥且，高相等为h

求证：

证明：

把两个三棱锥放在平面上且高相等，

用一个平行于底面的任意平面去截棱锥，截得的面积分别为S1，S2，

根据棱锥的性质 ，

S1=S2

由祖暅原理得，

结论：等底等高的两个三棱锥的体积相等

师：， ，所以，V三棱锥= V棱柱= sh

五、学生自主探究活动

师：下面请同学们自主探究开始提出的问题 。求一般棱锥的体积

请两位同学交流讲解， 用实物投影演示过程。

生6：

生7：

师：V三棱锥 = sh

说明：强调棱锥的体积；1）底面积S，2）高h，3）系数

注意与棱柱体积公式的区别

六、简单应用，知识体验

例1.正三棱锥的高为，侧面与底面所成的角为60度，求正三棱锥的体积。

解：过P作PO⊥平面ABC,垂足为O，

则O是三角形ABC的中心，

连接AO并延长交BC于D,连接PD,由三垂线定理，

PD⊥BC，所以∠PDO是侧面与底面所成的二面角，

∠PDO=60，OD=·ctg60=1

设三角形ABC边长为a,CD=,a=2,SABC=

V三棱锥=

说明：求底面积与高

例2：如图是一个石柱，石柱的上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱，已知正四棱柱的底面边长是0.5米，高为1米，正四棱锥的高是0.3米，石料的比重为2400千克/立方米，求这个石柱的重量。

说明：体积在实际生活中是有广泛应用的

七、回顾小结，归纳整理

今天我们学习了棱锥的体积公式，V棱锥= Sh

八、灵活运用，培养能力

思考题

1、如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，

EF与平面ABCD距离为2，

求多面体ABCDEF的体积。

2、若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，

求四面体的体积。

九、练习与评价。

第二次反思：

1：教师在教学设计与教学时，开门见山，直接提出问题，激起学生学习欲望，让学生自己想办法来思考解决方法，让学生交流自己的思考过程，充分暴露了学生的思维过程，生1、生2、生3三位学生展现了各自思考方法，这种所得到的结论，所蕴涵的价值远远超过了书本知识，促进了学生科学思想的形成，充分激发了学生的学习潜力，学生的能力得到了较充分的发展，真正体现了教育的价值在于鼓舞和唤醒。学生的主体行为明显。同时，“二期课改”所提倡的合作交流，探究学习等学习方式也有所充分体现，学生学习也从被动转向主动，把学习的主动权交给学生，学生的学习积极性很高，收到很好的教学效果。

2：学生有效学习方法主要靠：活动、体验、思考、建构形成的。通过学生亲自操作实践，把观察、思考、讨论的权利还给学生，学生通过操作，已经有所感悟，从直观到抽象学生一直处于积极、主动的状态，经历着数学思想方法的形成过程，让学生不断体验成功。让学生在活动中体验，在亲身经历中建构。只有让学生自己分析判断，实践感悟，这样的教学才真正落实以学生发展为本的理念。

3：教师要加强理论学习，及时转变教学观念，通过理论学习与实践研究，不段改进教学方式，提高教学质量。通过对比，我感到，第二次教学比第一次教学更符合学生的认知规律，更有效的激起学生的学习兴趣与激活学生的学习思维，更由于学生的能力培养与发展，比第一次更符合学生学习的真实情况，也充分符合“二期课改”的理念。教学效果也比第一次更好一些。教学没有最好，但求更好！

总之，通过对同一课题《棱锥的体积》三个阶段，两次反思，我感到收获很大。

第一，教师不同的理念会影响到学生的学习兴趣、学习方式及学习效果。学习数学不能只是理解知识的结论和结论的应用，更重要的是通过对数学知识的探索过程，掌握获得知识和运用知识的方法，并且理解这个过程中的数学思想，这才是学数学的本质的东西，教学过程实质上是教师根据教材内容和学生学习的实际情况进行再创造的过程。

第二，教学要围绕“教会学生思考”来展开，这对学生来说，是一生中最有价值的知识，教师要站在学生的角度来设计开展教学活动，通过换位思考，才能真正体验到学生需要什么，学生会如何思考。只有这样，教学才能有针对性，启发性，才能获得最大的效果。

第三，教师必须要学会反思，反思是发现问题的源泉，是优化教学设计，提高教学质量的极好方法。教师经常反思：组织教学形式是否高效，反思学生是否有尽可能多的发展机会或表现机会，反思学生在课堂上学生的精彩之处是什么，反思学生作业中的创新成份等等。通过反思可以帮组教师及时发现问题，正确有效的处理问题，叶澜教授说得好“一个教师写一辈子教案不可能成为名师，但一个教师写三年教学反思就有可能成为名师。”作为一名教师，不反思，不梳理自己的成败得失，就不可能提升自己的教学理念，只有不断的反思，不断的实践，不断的学习，才能使自己逐渐成为研究型、专家型教师。

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