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数学分析(西北师范大学)22

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SF01（数）
Ch22计划课时：
16时P263—279
2002.11.15.



曲线积分与曲面积分



Ch22曲线积分与曲面积分(16时
§1第一型曲线积分与第一型曲面积分(3时

一.第一型线、面积分的定义:
1.几何体的质量:已知密度函数,分析线段、平面区域、空间几何体的质量
定义及计算
2.曲线和曲面的质量:
3.
4.
第一型线、面积分的性质:[1]P356第一型线、面积分的定义:定义及记法.线积分

L
fds,面积分fdS.
S
二.第一型线、面积分的计算:
1.
第一型曲线积分的计算:回顾“光滑曲线”概念.
Th22.1设有光滑曲线L:x(t,y(t,t[,].f(x,y是定义在
L上的连续函数.则


L
f(x,ydsf(t,(t2(t2(tdt.(证[1]P357


若曲线方程为L:y(x,x[a,b],则

L
f(x,ydsfx,(x12(xdx.
a
b
L的方程为x(y时有类似的公式.
例1设L是半圆周xacost,yasint,0t.
(x
L
2
y2ds.[1]P358E1
2
例2设L是曲线y4x上从点O(0,0到点A(1,2的一段.计算第一型曲

263

线积分

L
yds.[1]P358—359E2
空间曲线L上的第一型曲线积分:设空间曲线L:x(t,y(t,z(t,
t[,].函数(t,(t,(t连续可导,则对L上的连续函数f(x,y,z,有


L
f(x,y,zdsf(t,(t,(t2(t2(t2(tdt.


2
例3计算积分xds,其中L是球面xyza被平面xyz0

2222
L
截得的圆周.[1]P359E3
解由对称性知,
222xdsydszds,L
L
L
1a2222
xds=(xyzds
L3L3
2
23
dsL3a.(注意L是大圆
Ex[1]P361—3621，2.
2.
第一型曲面积分的计算:
Th22.2设有光滑曲面S:zz(x,y,(x,yD.f(x,y,z为S上的连续函数,则

S
22
f(x,y,zdSfx,y,z(x,y1zxzydxdy.
D
例4计算积分
dS2222
Sz,其中S是球面xyza被平面zh
(0ha所截的顶部.[1]P360E5
Ex
§2
[1]P3624.
第二型曲线积分(3时

一.第二型曲线积分的定义:
1.
力场F(x,yP(x,y,Q(x,y沿平面曲线L从点A到点B所作的功:
先用微元法,再用定义积分的方法讨论这一问题,得

264

W

AB

F(dx,dy,即WFds.
L
2.稳流场通过曲线(从一侧到另一侧的流量:解释稳流场.(以磁场为例.
设有流速场v(x,yP(x,y,Q(x,y.求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E.设曲线AB上点Mi1处的切向量B为(cos,sin,(是切向量方向与X轴Mi正向的夹角.切向量方向按如下方法确定:法线方Mi1v向是指从曲线的哪一侧到哪一侧,在我们现在的问A题中是指从左侧到右侧的方向.切向量方向与法线n方向按右手法则确定,即以右手拇指所指为法线方向,则食指所指为切线方向..在弧段

Mi1Mi上的流量dE(v,nds.ncos(,sin((sin,cos,
22

因此,dEP(x,y,Q(x,y(sin,cos|ds|P(x,ysin|ds|Q(x,ycos|ds|.由ds(dx,dy,sin|ds|dy,cos|ds|dx,得dEP(x,ydyQ(x,ydx.
于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为
3.第二型曲线积分的定义:([1]P364闭路积分的记法.按这一定义,有力场F(x,yP(x,y,Q(x,y沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W

AB
dEP(x,ydyQ(x,ydx.
AB

AB
PdxQdy.
流速场v(x,yP(x,y,Q(x,y在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为E


AB
PdyQdx.
265

第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.

AB

BA
,
可类似地考虑空间力场F(x,y,zP(x,y,z,Q(x,y,z,R(x,y,z沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分

AB
P(x,y,zdxQ(x,y,zdyR(x,y,zdz.

4.第二型曲线积分的性质:
第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论过的积分
相比,除多了一层方向性的考虑外,其余与以前的积累问题是一样的,还是用Riemma的
思想建立的积分.因此,第二型曲线积分具有(R积分的共性,如线性、关于函数或积
分曲线的可加性.但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性,这是由于一方面向
量值函数不能比较大小,另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向
之间的夹角有关.
二.第二型曲线积分的计算:
曲线的自然方向:设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向为自然方向.设L为光滑或按段光滑曲线,L:x(t,y(t,t.
A(,(,B(,(;函数P(x,y和Q(x,y在L上连续,则沿L的自然方向(即从点A到点B的方向有
P(x,ydxQ(x,ydyP(t,(t(tQ(t,(t(tdt.(证略
L

例1计算积分
xydx(yxdy,L的两个端点为A(1,1,B(2,3.积分
L
2
从点A到点B或闭合,路径为ⅰ>直线段AB
ⅱ>抛物线y2(x11;

266

ⅲ>A(1,1D(2,1B(2,3A(1,1,折线闭合路径.[1]P367E1
例2
计算积分
xdyydx,这里L:
L2
ⅰ>沿抛物线y2x从点O(0,0到点B(1,2;ⅱ>沿直线y2x从点O(0,0到点B(1,2;
ⅲ>沿折线闭合路径O(0,0A(1,0B(1,2O(0,0.[1]P368E2例3计算第二型曲线积分I=
xydx(xydyxdz,其中L是螺旋线
L
2
xacost,yasint,zbt,从t0到t的一段.[1]P369E3
例4求在力场F(y,x,xyz作用下,
ⅰ>质点由点A(a,0,0沿螺旋线到点B(a,0,2b所作的功,其中L1:xacost,yasint,zbt,(0t2.
ⅱ>质点由点A(a,0,0沿直线L2到点B(a,0,2b所作的功[1]P369E4Ex
§3
一.
[1]P3711，2，3.
Green公式曲线积分与路径无关性(4时
Green公式:
闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面

(理解为拇指“站立在”区域的正面上,则其余四指(弯曲表示边界的正向.右手
螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向.参阅[1]P372图22—8.若以L记正向边界,则用—L或L表示反向（或称为负向）边界.
1.Green公式:
Th22.3若函数P和Q在闭区域DR上连续,且有连续的一阶偏导数,则有

267
2



QPxydxdyLPdxQdy,
D
xP

ydxdyLPdxQdy.Q
其中L为区域D的正向边界.(证[1]P373
Green公式又可记为
2.
应用举例:

D
对环路积分,可直接应用Green公式.对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成
环路积分的技巧.
例1
计算积分

AB
xdy,其中A(0,r,B(r,0.曲线AB为圆周
x2y2r2在第一象限中的部分.[1]P375E1
解法一(直接计算积分曲线AB的方程为xrcost,yrsint,0t
方向为自然方向的反向.因此

2
.
1212
r2.xdy2rcostdtrtsin2t0
AB0224
2
2

解法二(用Green公式补上线段BO和OA(O为坐标原点,成闭路.设所围
区域为D,注意到D为反向,以及

BOA
0,有


AB
xdyxdy
D
BOA
xdydxdy
D

4
r2.
例2计算积分I=
xdyydx
Lx2y2,其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界
(方向任意[1]P376E2
解P(x,y
yx
,Q(x,y.(P和Q在D上有连续的偏导数.2222
xyxy
268


Pyy2x2Qy2x2
,.22222222yxxyx(xyxy

于是,I=

L
QPxydxdy0.
D

例3验证区域D的面积公式|D|
1
xdyydx,L为D的正向边界.[1]P376L2
3
3
例4计算由星形线xacost,ybsint(0t2所界的面积.
[1]P376
例5计算积分

L
xy2dx(x2yxdy,其中L是由曲线yx2,y2x2,
xy3,xy4所围区域D的边界,取正向.
2
解P(x,yxy,Q(x,yxyx.
2

PQQP2xy,2xy1,1.yxxy

L
dxdy.
D
作代换u
y
,vxy,在此代换之下,区域D变为UV平面上的区域2x
D{(u,v|1u2,3v4}.
2y
(u,v3
x
(x,yy
于是,
例6计算积分
1
3y(x,y12,.3ux2x(u,v3ux
dxdy
L
D
D
24dv112du112
dudvdulnu1ln2.
133u3u31u33
y
edxdy,D:xy1,0x1.D
2
2
解令P(x,y0,Q(x,yxey,有

269



D
D
P(x,ydxQ(x,ydy.
域D为三角形,三个顶点为O(0,0,A(1,1,B(0,1.
Ex

D1
D
P(x,ydxQ(x,ydyQ(x,ydy
D
OA
BO
10
1x2x2
xedxe0
2

1
(1e1.2
[1]P3811⑴⑵，2⑴⑵(化为参数式
二.曲线积分与路线无关性:
单连通域和复连通域.
1.积分与路径无关的等价条件:[1]P377
Th22.4设DR是单连通闭区域.若函数P和Q在闭区域D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价:
ⅰ>沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,有
2
PdxQdy0.
L
ⅱ>对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分L的起点和终点有关.
PdxQdy与路径无关,只与曲线
L
ⅲ>PdxQdy是D内某一函数u的全微分,即在D内有duPdxQdy.
ⅳ>在D内每一点处有(证[1]P378—379.
2.恰当微分的原函数:
若有
PQ.yx
PQ,则称微分形式PdxQdy是一个恰当微分.恰当微分有原函数,yx
(它的一个原函数为:
270

u(x,y或u(x,y

x
x0
P(t,y0dtQ(x,tdt.
y0xx0
y

y
y0
Q(x0,tdtP(t,ydt.

其中点(x0,y0D,当点(0,0D时,常取(x0,y0=(0,0.验证第一式:

yyu
P(x,y0Qx(x,tdtP(x,y0Pt(x,tdt=
y0y0
x
y
P(x,y0P(x,t|tty0P(x,y0P(x,yP(x,y0P(x,y;

u
Q(x,y.y
例6验证式(2xsinydxxcosydy是恰当微分,并求其原函数.[1]P381E4
Ex
§4
[1]P3823，4，5.
第二型曲面积分(3时

一.曲面的侧:
1.单侧曲面与双侧曲面:
2.双侧曲面的定向:曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为n(cos,cos,cos,
则上侧法线方向对应第三个分量0,即选“+”号时，应有cos0，亦即法线方向与Z轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向
闭合曲面分内侧和外侧.
二.第二型曲面积分:

1.稳流场的流量:以磁场为例.[1]P384

271

2.第二型曲面积分的定义:[1]P385—386.闭合曲面上的积分及记法.
3.第二型曲面积分的性质:线性,关于积分曲面块的可加性.
4.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系:设n为曲面S的指定法向,则S
P(x,y,zdydzQ(x,y,zdzdxR(x,y,zdxdy
S
P(x,y,zcos(n,xQ(x,y,zcos(n,yR(x,y,zcos(n,zdS.

三.第二型曲面积分的计算:
Th22.5设R(x,y,z是定义在光滑曲面S:zz(x,y,(x,yDxy
上的连续函数,以S的上侧为正侧(即cos(n,z0,则有
S
R(x,y,zdxdyRx,y,z(x,ydxdy.
Dxy
证[1]P387.
类似地,对光滑曲面S:xx(y,z,(y,zDyz,在其前侧上的积分
S
P(x,y,zdydzPx(y,z,y,zdydz.
Dyz
对光滑曲面S:yy(z,x,(z,xDzx,在其右侧上的积分
S
Q(x,y,zdzdxQx,y(z,x,zdzdx.
Dyz
计算积分
S
PdydzQdzdxRdxdy时,通常分开来计算三个积分

S
Pdydz,S
Qdzdx,S
Rdxdy.

272

为此,分别把曲面S投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投
影域的侧由曲面S的定向决定.
例1计算积分

S
xyzdxdy,其中S是球面x2y2z21在x0,y0
部分取外侧.[1]P388E1例2计算积分
(xydydz(yzdzdx(z3xdxdy，

为球面
x2y2z2R2取外侧.
解对积分有
前:x
(xydydz,分别用

前
和后记前半球面和后半球面的外侧,则
R2y2z2,Dyz:y2z2R2;
222
后:xRyz,Dyz:y2z2R2.
因此,
(xydydz=
Dyz
前
+

后
=
R
2
y2z2ydydz

Dyz

R2y2z2ydydz

0

2
y2z2R2
Ryzdydz82d
222
yrcos,zrsin
R
0
R2r2rdr
1
4R2r2
2

32
23
rRr0
4
R3.3
右
对积分
(yzdzdx,分别用

和左记右半球面和左半球面的外侧,则有
右:y
R2z2x2,Dzx:x2z2R2;
222
左:yR2z2x2,Dzx:xzR.
因此,
(yzdydz

右
+

左
=
273


Dzx

R2z2x2zdzdxR2z2x2zdzdx
Dzx

2
x2z2R2

4
R2z2x2dzdxR3.
3
对积分
(z3xdxdy,分别用

上
和下记上半球面和下半球面的外侧,则有
上:z
R2x2y2,Dxy:x2y2R2;
222
下:xRxy,Dxy:x2y2R2.
因此,
(z3xdxdy=
Dxy
上
+

下
=
R
2
x2y23xdxdyR2x2y23xdxdy
Dxy

2
2
xy2R2

4
R2x2y2dxdyR3.
3
综上,
433
=.(xydydz(yzdzdx(z3xdxdy3R4R
3
Ex
[1]P391—3921⑴⑵⑷⑸，2.
Gauss公式和Stokes公式(3时
§5
一.Gauss公式:
Th22.6设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P,Q,R在V上连续,且有连续的一阶偏导数,则
PQR
xyzdxdydzSPdydzQdzdxRdxdy,
V
其中S取外侧.

称上述公式为Gauss公式或Остроградский―Gauss公式.

274

证只证
R
dxdydzRdxdy.SzV
设V是xy型区域(即Z型体(参阅[1]P393图22—21,其边界曲面S由曲面
z1(x,y下侧,(x,yDxy,S1:z
S2:zz2(x,y上侧,(x,yDxy.以及垂直于XY平面的柱面S3(外侧组成.注意到

z1(x,yz2(x,y.


S3
R(x,y,zdxdy=0,有
z2(x,yRRzz2(x,y
dxdydzdxdydzR(x,y,z|zz1(x,ydxdy=z(x,y1zzVDxyDxy


Dxy
Rx,y,z
2
(x,yRx,y,z1(x,ydxdy

Dxy
Rx,y,z
S2
2
(x,ydxdy
Dxy
Rx,y,z(x,ydxdy
1


R(x,y,zdxdyR(x,y,zdxdy
S1

S3
R(x,y,zdxdy=
S外侧
R(x,y,zdxd.y
Q
dxdydzQdzdx.SyV
可类证
P
dxdydzPdydz,SxV
以上三式相加,即得Gauss公式.

例1计算积分
(xydydz(yzdzdx(z3xdxdy，

为球面
x2y2z2R2取外侧.(参阅上节例2
(x,y,zyz,R(x,y,zz3x.解P(x,y,zxy,Q

PQRPQR
1,1,1.3.xyzxyz
275


由Gauss公式
433
3dxdydz3R4R.3V
例2计算积分

S
y(xzdydzx2dzdx(y2xzdxdy，其中S是边长为
a的正方体V的表面取外侧.V:0xa,0ya,0za.[1]P394E1
解应用Gauss公式,有
22y(xzx(yxzSxdxdydzyzV
a
a
a
a

124
.(yxdxdydzdzdy(yxdxaayadya2V0000
例3
计算积分


xdydzydzdxzdxdy，为锥面zx2y2在平面
z4下方的部分，取外法线方向.
解设S为圆z4,xy16取上侧,则S构成由其所围锥体V的表面外侧,由Gauss公式,有
S
2
2
xdydzydzdxzdxdy
V
=3
dxdydz3锥体V的体积3
S
64
64;3
而
xdydzydzdxzdxdy4dxdy64
x2y216
因而,
0.

S
S
例4设V是三维空间的区域,其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩
为V上的一点.又设函数P(x,y,z、Q(x,y,z和R(x,y,z在V上有连续的偏导数.S表示V内任一不自交的光滑封闭曲面,n是S的外法线.试证明:对V内任意曲面S恒有
Pcos(n,xQcos(n,yRcos(n,zdS0
S
276

的充要条件是
PQR0在V内处处成立.xyz
S
证
Pcos(n,xQcos(n,yRcos(n,zdSPdydzQdzdxRdxdy.
S
由Gauss公式直接得到.
反设不然,即存在点M0(x0,y0,z0V,使
PQRxyz
|M
0
0,
不妨设其0.由
PQR在点M0连续,存在以点M0为中心且在V内的小球xyz
V,使在其内有
PQR0.以表示小球V的表面外侧,就有xyz

PQRxyzdxdydz0,
V
与
0矛盾.

Ex
[1]P399—4001.
二.Stokes公式:
空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系:右手螺旋法则,即当人站

在曲面的正侧上,沿边界曲线L行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为L的正向.
1.Stokes定理:
Th22.7设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线.若函数P(x,y,z、
Q(x,y,z和R(x,y,z在S(连同L上连续,且有一阶连续的偏导数,则
RQQPPRdydzdzdxSdxdyLPdxQdyRdz.yzzxxy

277

其中S的侧与L的方向按右手法则确定.
称该公式为Stokes公式.证先证式
PPdzdxSzSydxdyLPdx.具体证明参阅[1]P395—396.
Stokes公式也记为

S

xyzPQRPdxQdyRdz.
L
dydzdzdxdxdy
例5计算积分
(2yzdx(xzdy(yxdz,
L
其中L为平面xyz1与各坐标平面的交线,方向为:从平面的上方往下看为逆时针方向.[1]P397E2
2.空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性:
空间单连通、复连通域.
3
Th22.8设R为空间单连通区域.若函数P(x,y,z、Q(x,y,z和
R(x,y,z在上连续,且有一阶连续的偏导数,则以下四个条件等价:
ⅰ>对于内任一按段光滑的封闭曲线L,有
PdxQdyRdz0;
L
ⅱ>对于内任一按段光滑的封闭曲线L,曲线积分与路径无关;
PdxQdyRdz
L
QdyRdzⅲ>Pdx是内某一函数u的全微分;
ⅳ>
PQQRRP,,在内处处成立.[1]P398yxzyxz
278


3.恰当微分的原函数:
恰当微分的验证及原函数求法.
例6验证曲线积分
(yzdx(zxdy(xydz与路径无关,并求
L
被积表达式的原函数u(x,y,z.[1]P398E3
Ex[1]P4003⑴，4⑴.

279

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/228d885cd1d233d4b14e852458fb770bf78a3bbc.html

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