2015届普陀区高三二模数学试卷(理科)2015.04
一、填空题(共14题，每题4分，满分56分)
1.不等式的解集为 .
2.若(
为虚数单位)，则实数
.
3.若函数的最小正周期为
，则
.
4. 集合，则
.
5. 若，则函数
的单调递增区间为 .
6.如图，若，
，则以
为长半轴，
为短半轴，
为左焦点的椭圆的标准方程为 .
[来源:]
7.函数，若函数
是偶函数，则
.
8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .
9.已知直线和曲线
的极坐标方程分别为
和
，若
和
相交于两点
，则
.[来源:Z+xx+k]
10.如图，机车甲、乙分别停在处，且
，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的
，甲沿北偏东
的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.
11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为，则
(结果用最简分数作答).[来源:]
12.若正方形的边长为1，且
则
.
13.已知复数满足
，
，
，若
，则
在复平面上对应的点组成的图形的面积为 .
14.，用记号
表示不小于实数的最小整数，例如
，
，
；则函数
的所有零点之和为 .
二、选择题(共4题，每题5分，满分20分)
15.表示直线，
表示平面，下列命题正确的是( )
A.若，
，则
B. 若
⊥
，
⊥
，则
⊥
C. 若⊥
，
⊥
，则
D.若
⊥
，
⊥
，则
16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是( )
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
18.已知均为正整数，记
为矩阵
中第
行、第
列的元素，且
，
(其中
，
)；给出结论：①
；②
；③
④若
为常数，则
.其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
三、解答题(本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤)
19.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)
已知函数，
.
(1)若直线是函数
的图像的一条对称轴，求
的值；
(2)若，求
的值域.
20.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在正方体中，
是棱
的中点.
(1)求直线与平面
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(2)在棱
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，指明点
的位置，若不存在，请说明理由.
20.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知函数的反函数为
(1)若，求实数
的值；
(2)若关于的方程
在区间
内有解，求实数
的取值范围；
22.(本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分)
如图，射线所在的直线的方向向量分别为
，
，点
在
内，
于
，
于
；
(1)若，
，求
的值；
(2)若，
的面积为
，求
的值；
(3)已知为常数，
的中点为
，且
，当
变化时，求动点
轨迹方程；
23.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知数列的前
项和为
，且
，
(1)若，求数列
的前
项和
；
(2)若，
，求证：数列
为等比数列，并求出其通项公式；
(3)记，若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
2015届普陀区高三二模数学试卷(理科)答案2015.04
一、填空题(共14题，每题4分，满分56分)[来源:]
1.不等式的解集为
.
2.若(
为虚数单位)，则实数
.
3.若函数的最小正周期为
，则
2 .
4. 集合，则
.
5. 若，则函数
的单调递增区间为
.
6.如图，若，
，则以
为长半轴，
为短半轴，
为左焦点的椭圆的标准方程为
.
7.函数，若函数
是偶函数，则
1 .
8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 .
9.已知直线和曲线
的极坐标方程分别为
和
，若
和
相交于两点
，则
.
10.如图，机车甲、乙分别停在处，且
，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的
，甲沿北偏东
的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为
千米.
11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为，则
(结果用最简分数作答).
12.若正方形的边长为1，且
则
5 .
13.已知复数满足
，
，
，若
，则
在复平面上对应的点组成的图形的面积为
.
14.，用记号
表示不小于实数的最小整数，例如
，
，
；则函数
的所有零点之和为
.
二、选择题(共4题，每题5分，满分20分)
15.表示直线，
表示平面，下列命题正确的是( D )
A.若，
，则
B. 若
⊥
，
⊥
，则
⊥
C. 若⊥
，
⊥
，则
D.若
⊥
，
⊥
，则
16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( A )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
17. 在的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是( B )
A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项
18.已知均为正整数，记
为矩阵
中第
行、第
列的元素，且
，
(其中
，
)；给出结论：①
；②
；③
④若
为常数，则
.其中正确的个数是( B )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
三、解答题(本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤)
19.(本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分)
已知函数，
.
(1)若直线是函数
的图像的一条对称轴，求
的值；
(2)若，求
的值域.
解：(1)，
其对称轴为
，
因为直线线是函数
的图像的一条对称轴，
所以，
又因为，所以
即.
(2)由(1)得
所以的值域为
.
20.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
在正方体中，
是棱
的中点.
(1)求直线与平面
所成角的大小(结果用反三角函数表示)
(2)在棱
上是否存在一点
，使得
平面
，若存在，指明点
的位置，若不存在，请说明理由.
解：(1)
(2)存在，在棱
的中点.(提示：用空间向量)
21.(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知函数的反函数为
(1)若，求实数
的值；
(2)若关于的方程
在区间
内有解，求实数
的取值范围；
解：(1)
(2).
22.(本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分)
如图，射线所在的直线的方向向量分别为
，
，点
在
内，
于
，
于
；
(1)若，
，求
的值；
(2)若，
的面积为
，求
的值；
(3)已知为常数，
的中点为
，且
，当
变化时，求动点
轨迹方程；
解：(1)；
(2)；
(3)设，
，
设直线的倾斜角为
，则
，根据题意得
代入
化简得动点轨迹方程为
.
[来源:]
23.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
已知数列的前
项和为
，且
，
(1)若，求数列
的前
项和
；
(2)若，
，求证：数列
为等比数列，并求出其通项公式；
(3)记，若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围.
解：(1)
(2)由
代入
得，当
时，
，
因为，代入上式整理得
，
所以的常数.
当时，
所以数列是等比数列，首项为
，公比为
，其通项公式为
(3)由(2)得，它是个单调递减的数列，
所以
对任意的，
恒成立，所以
.
由知，
所以数列是单调递增的，
最小值为
，
因此，实数的取值范围是
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/20d6c04a162ded630b1c59eef8c75fbfc77d94e2.html
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