第九章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B. C．2 D.
2．(2010·安徽)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为( )
A. B.
C．2
D.
4．(2011·咸宁调研)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线－y2＝1 (a>0)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A. B.
C．2 D．3
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30
D．40
6．(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )
A.或
B.
或2
C.或2 D.
或
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是
，且a>b，则双曲线
－
＝1的离心率e等于( )
A. B.
C.
D.
8．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A．[－，
] B．(－
，
)
C. D.
9．(2011·商丘模拟)设双曲线－
＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )
A. B．5 C.
D.
10．“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球的半径为k km，关于椭圆有以下三种说法：
①焦距长为n－m；②短轴长为；③离心率e＝
.
以上正确的说法有( )
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
11．设F1、F2是双曲线－
＝1 (a>0，b>0)的两个焦点，P在双曲线上，若
·
＝0，|
|·|
|＝2ac (c为半焦距)，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
12．(2010·浙江)设F1、F2分别为双曲线－
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0
C．4x±3y＝0 D．5x±4y＝0
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2011·安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线y2＝4x的焦点处，且此圆与直线3x＋4y＋7＝0相切，则这个圆的方程为________________．
14．过椭圆＋
＝1 (a>b>0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．
15．(2011·江西)若椭圆＋
＝1的焦点在x轴上，过点(1，
)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
16．若方程＋
＝1所表示的曲线C，给出下列四个命题：
①若C为椭圆，则1
②若C为双曲线，则t>4或t<1；
③曲线C不可能是圆；
④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1.
其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)
如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－2)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
18．(12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
19．(12分)(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
20．(12分)设直线l：y＝k(x＋1) (k≠0)与椭圆x2＋3y2＝a2 (a>0)相交于两个不同的点A、B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
(1)证明：a2>；
(2)若＝2
，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．
21．(12分)(2011·福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．
22．(12分)(2011·山东)已知动直线l与椭圆C：＋
＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝
，其中O为坐标原点．
(1)证明：x＋x
和y
＋y
均为定值．
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值．
(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝？若存在，判断
△DEG的形状；若不存在，请说明理由．
第九章 章末检测
1．D 2.A 3.C 4.B 5.B
6．A [由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，若圆锥曲线为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，e＝＝
.
若圆锥曲线为双曲线，
则2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝＝
.]
7．D 8.C 9.D
10．A 11.D 12.C
13．(x－1)2＋y2＝4 14.
15.＋
＝1
解析 由题意可得切点A(1,0)．
切点B(m，n)满足解得B(
，
)．
∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.
令y＝0得x＝1，即c＝1；
令x＝0得y＝2，即b＝2.
∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为＋
＝1.
16．②
17．解 (1)∵kAB＝－，AB⊥BC，∴kCB＝
.
∴lBC：y＝x－2
.
故BC边所在的直线方程为x－y－4＝0.(3分)
(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)，
∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，
∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(6分)
(3)∵圆N过点P(－1,0)，
∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，
∴|MN|＝3－|PN|，
即|MN|＋|PN|＝3>2＝|MP|.(8分)
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．
∴a＝，c＝1，b＝
＝
.
∴轨迹方程为＋
＝1.(10分)
18．解 设A(x1，y1)、B(x2，y2)．
(1)由 得ky2＋y－k＝0，(2分)
∴y1y2＝－1.又－x1＝y，－x2＝y
，
∴x1x2＝(y1y2)2＝1，∴x1x2＋y1y2＝0.(4分)
∴·
＝x1x2＋y1y2＝0，
∴OA⊥OB.(6分)
(2)
如图，由(1)知y1＋y2＝－，
y1y2＝－1，
∴|y1－y2|＝
＝＝2
，(10分)
∴k2＝，∴k＝±
，
即所求k的值为±.(12分)
19．解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，
∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为
＋
＝1.(6分)
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝
(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋
＝1，即x2－3x－8＝0.(8分)
∴x1＝，x2＝
.(10分)
∴线段AB的长度为|AB|＝＝
＝
＝
.(12分)
20．(1)证明 依题意，由y＝k(x＋1)，得x＝y－1.
将x＝y－1代入x2＋3y2＝a2，
消去x，得y2－
y＋1－a2＝0.①(2分)
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，
得Δ＝－4
>0，
整理得a2>3，即a2>
.(5分)
(2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由①得y1＋y2＝，
由＝2
，C(－1,0)，得y1＝－2y2，代入上式，得y2＝
.(8分)
于是，S△OAB＝|OC|·|y1－y2|
＝|y2|＝
≤
＝
，(10分)
其中，上式取等号的条件是3k2＝1，即k＝±，
由y2＝，可得y2＝±
，
将k＝，y2＝－
及k＝－
，y2＝
这两组值分别代入①，均可解出a2＝5，所以，△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x2＋3y2＝5.(12分)
21．解 方法一 (1)依题意，点P的坐标为(0，m)．
因为MP⊥l，所以×1＝－1，
解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．(3分)
从而圆的半径r＝|MP|＝＝2
，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)
(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，
所以直线l′的方程为y＝－x－m.
由得x2＋4x＋4m＝0.
Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．
当m＝1时，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；
当m≠1时，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．(10分)
综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；
当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．(12分)
方法二 (1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得
(4分)
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)
(2)同方法一．
22．(1)证明 ①当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以x2＝x1，y2＝－y1.
因为P(x1，y1)在椭圆上，
因此＋
＝1.①
又因为S△OPQ＝，所以|x1|·|y1|＝
.②
由①②得|x1|＝，|y1|＝1，
此时x＋x
＝3，y
＋y
＝2.
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
由题意知m≠0，将其代入＋
＝1，得
(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，
其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)>0，
即3k2＋2>m2.(*)
又x1＋x2＝－，x1x2＝
，
所以|PQ|＝·
＝·
.
因为点O到直线l的距离为d＝，
所以S△OPQ＝|PQ|·d
＝·
·
＝.又S△OPQ＝
，
整理得3k2＋2＝2m2，且符合(*)式，(2分)
此时x＋x
＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝(－)2－2×
＝3，
y＋y
＝
(3－x
)＋
(3－x
)＝4－
(x
＋x
)＝2，
综上所述，x＋x
＝3，y
＋y
＝2，结论成立．(4分)
(2)解 方法一 ①当直线l的斜率不存在时，
由(1)知|OM|＝|x1|＝，|PQ|＝2|y1|＝2，
因此|OM|·|PQ|＝×2＝
.
②当直线l的斜率存在时，由(1)知：
＝－
，
＝k(
)＋m＝－
＋m
＝＝
，
|OM|2＝()2＋(
)2＝
＋
＝
＝
(3－
)．
|PQ|2＝(1＋k2)＝
＝2(2＋
)，
所以|OM|2·|PQ|2＝×(3－
)×2×(2＋
)
＝(3－)(2＋
)≤
2＝
.
所以|OM|·|PQ|≤，当且仅当3－
＝2＋
，
即m＝±时，等号成立．
综合①②得|OM|·|PQ|的最大值为.(8分)
方法二 因为4|OM|2＋|PQ|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＋(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝2[(x＋x
)＋(y
＋y
)]＝10.
所以2|OM|·|PQ|≤＝
＝5.
即|OM|·|PQ|≤，当且仅当2|OM|＝|PQ|＝
时等号成立．因此|OM|·|PQ|的最大值为
.
(3)解 椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝.
证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，G(x2，y2)满足S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝，
由(1)得u2＋x＝3，u2＋x
＝3，x
＋x
＝3；v2＋y
＝2，v2＋y
＝2，y
＋y
＝2，(10分)
解得u2＝x＝x
＝
；v2＝y
＝y
＝1，
因此u，x1，x2只能从±中选取，v，y1，y2只能从±1中选取．
因此D，E，G只能在(±，±1)这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
(12分)
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1f0d08ac04a1b0717ed5dd31.html
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