2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学
三校联合自主招生考试试题
（数学部分）
1．（仅文科做），求证：
．（25分）
1【解析】 不妨设，则
，且当
时，
．于是
在
上单调增．∴
．即有
．
同理可证．
，当
时，
．于是
在
上单调增．
∴在上有
．即
．
注记：也可用三角函数线的方法求解．
2．为边长为
的正五边形边上的点．证明：
最长为
．（25分）
2【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
⑴当中有一点位于
点时，知另一点位于
或者
时有最大值为
；当有一点位于
点时，
；
⑵当
均不在
轴上时，知
必在
轴的异侧方可能取到最大值（否则取
点关于
轴的对称点
，有
）．
不妨设位于线段
上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使
最大的
点必位于线段
上．
且当从
向
移动时，
先减小后增大，于是
；
对于线段上任意一点
，都有
．于是
由⑴，⑵知．不妨设为
．
下面研究正五边形对角线的长．
如右图．做
的角平分线
交
于
．
易知．
于是四边形为平行四边形．∴
．
由角平分线定理知．解得
．
3．为
上在
轴两侧的点，求过
的切线与
轴围成面积的最小值．（25分）
3【解析】 不妨设过
点的切线交
轴于点
，过
点的切线交
轴于点
，直线
与直线
相交于点
．如图．设
，
且有．
由于，
于是的方程为
；①
的方程为
． ②
联立的方程，解得
．
对于①，令，得
；
对于②，令，得
．
于是．
．不妨设
，
，则
③
不妨设，则有
6个 9个
． ④
又由当时，③，④处的等号均可取到．
∴．
注记：不妨设，事实上，其最小值也可用导函数的方法求解．
由知当
时
；当
时
．
则在
上单调减，在
上单调增．于是当
时
取得最小值．
4．向量与
已知夹角，
，
，
，
，
．
在
时取得最小值，问当
时，夹角的取值范围．（25分）
4【解析】 不妨设，
夹角为
，则
，令
．
其对称轴为．而
在
上单调增，故
．
当时，
，解得
．
当时，
在
上单调增，于是
．不合题意．
于是夹角的范围为．
5．（仅理科做）存不存在，使得
为等差数列．（25分）
5【解析】 不存在；否则有，
则或者
．
若，有
．而此时
不成等差数列；
若，有
．解得有
．
而，矛盾！
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1e3b3ebac77da26924c5b007.html
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