2016年高考导数试题及答案（精选）

1.(新课标1)已知函数有两个零点.

(I)求a的取值范围；(II)设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.

解：（Ⅰ）．（i）设，则，只有一个零点．（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足且，则，故存在两个零点．

（iii）设，由得或．若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．综上，的取值范围为．

（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．

由于，而，所以

．设，则．所以当时，，而，故当时，．从而，故．

2(新课标2)(I)讨论函数的单调性，并证明当>0时，

(II)证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.

解：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以

（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是

综上，当时，有，的值域是

3. (新课标3)设函数f（x）=acos2x+（a-1）（cosx+1），其中a＞0，记的最大值为A.

（Ⅰ）求f＇（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明≤2A.

解：（Ⅰ）．（Ⅱ）当时，

因此，．当时，将变形为．

令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为．令，解得（舍去），．（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．（ⅱ）当时，由，知．

又，所以．

综上，．　（Ⅲ）由（Ⅰ）得.当时，.当时，，所以.当时，，所以.

4(山东 )已知. （）讨论的单调性；

（）当时，证明对于任意的成立

解（Ⅰ）的定义域为；.

当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；

（2）时，，在内，，单调递增；

（3）时，，当或时，，单调递增；

当时，，单调递减. 综上所述，

当时，函数在内单调递增，在内单调递减；

当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，

，，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立。

5.(天津)设函数， R，其中， R.（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；

（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于

解：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：

（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此

，所以.

（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此

.

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

6(江苏) 已知函数f(x)=.

（1） 设a=2,b=.①求方程=2的根;

②若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；

（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.

解（1）因为，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.

②由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.

（2）因为函数只有1个零点，而，

所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.

7. （四川）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R. （I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)。

解（I） <0，在内单调递减.，由=0，有.此时，当时， <0，单调递减；

当时， >0，单调递增.（II）令=， =.

则=.而当时， >0，所以在区间内单调递增.

又由=0，有>0，从而当时， >0.当，时， =.

故当>在区间内恒成立时，必有.当时， >1.

由（I）有,从而，所以此时>在区间内不恒成立.当时，令，当时，，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时， ，即恒成立.综上，

8(浙江)设，函数,其中

（Ⅰ）求使得等式成立的x的取值范围

（Ⅱ）（i）求的最小值 （ii）求在上的最大值

解（I）由于，故当时，，

当时，．所以，使得等式成立的的取值范围为．（II）（i）设函数，，则

，，所以，由的定义知，即．（ii）当时，，当时，．所以，

．

9（北京）设函数f(x)=xe +bx，曲线y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，

（I）求a,b的值； (I I) 求f(x)的单调区间。

解：（Ⅰ）因为，所以.依题设，即解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由即知，与同号.令，则.所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，，故的单调递增区间为.

10（上海）已知，函数.（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

解：（1）由，得，解得．

（2），，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．于是满足题意的．综上，的取值范围为．（3）当时，，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．

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