专训1 巧用圆的基本性质解圆的五种关系
名师点金：圆的基本性质里面主要涉及弦、弧之间的关系，圆周角、圆心角之间的关系，弧、圆周角之间的关系，弦、圆心角之间的关系，弦、弧、圆心角之间的关系等，在解此类题目时，需要根据已知条件和所求问题去探求它们之间的内在联系，从而达到解决问题的目的．
弦、弧之间的关系
1．如图，在⊙O中，＝2
，则下列结论正确的是( )
(第1题)
A．AB>2CD
B．AB＝2CD
C．AB<2CD
D．以上都不正确
2．如图所示，在⊙O中，弦AD＝BC，求证：＝
.
(第2题)
圆周角、圆心角之间的关系
3．如图所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，且∠CAB＝∠CBA，求证：∠COB＝∠COA.
(第3题)
弧、圆周角之间的关系
4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BAC＝50°，求∠ADC的度数．
(第4题)
弦、圆心角之间的关系
5．如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作⊙O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由．
(第5题)
弦、弧、圆心角之间的关系
6．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.
求证：AE＝BF＝CD.
(第6题)
答案
1．C
2．证明：因为AD＝BC，根据在同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧相等，可得＝
，所以
＋
＝
＋
，即
＝
.
点拨：在同圆或等圆中，等弦对等弧、等弧对等弦(劣弧等劣弧，优弧等优弧)．
3．证明：在⊙O中，∠CAB，∠COB分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠COB＝2∠CAB.同理：∠COA＝2∠CBA.
又∵∠CAB＝∠CBA，
∴∠COB＝∠COA.
(第4题)
4．解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－50°＝40°.
又∵∠ADC，∠ABC是所对的圆周角，
∴∠ADC＝∠ABC＝40°.
(第5题)
5．解：BD＝DE＝EC.理由如下：如图，连接OD，OE.
∵OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，
∴△BOD与△COE都是等边三角形．
∴∠BOD＝∠COE＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠BOD－∠COE＝60°.
∴∠BOD＝∠DOE＝∠COE.
∴BD＝DE＝EC.
点拨：本题利用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”去证明三条线段相等，因此，连接OD，OE，构造弦所对的圆心角是解此题的关键．
(第6题)
6．证明：如图，连接AC，BD.
∵C，D是的三等分点，
∴＝
＝
，
∴AC＝CD＝BD，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD.
又∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴∠ACE＝×(180°－30°)＝75°＝∠AEC.
∴AE＝AC.同理可得BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1c64c61c6429647d27284b73f242336c1fb93054.html
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