全国百强校word（炎德英才大联考）湖南省长沙市雅礼中学2017届高三月考（四）理数试卷

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．

2.在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）

A． B． C． D．

4.函数的图象的一条对称轴方程为（ ）

A． B． C. D．

5.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）

6.四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是（ ）

A．72 B．96 C. 144 D．240

7.已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）

8.从混有5张一百元纸币中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率为（ ）

A． B． C. D．

9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（ ）

参考数据：，，.

A．12 B．24 C. 48 D．96

10.如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之比等于（ ）

A． B． C. D．

11.为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且，直线交轴于点，则的内切圆半径为（ ）

A．2 B．3 C. D．

12.已知实数满足，则的最小值为（ ）

A． B． C. D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知平面向量满足，则 ．

14.设函数，若，则 ．

15.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为 ．

16.在上单调递增，则实数的取值范围为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：

该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；

（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；

（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？

（注：）

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，平面，.

（1）证明：平面平面；

（2）点为线段（含端点）上一点，设直线与平面所成角为，求的取值范围.

19. （本小题满分12分）

已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值.

（注：区间的长度均为）

20. （本小题满分12分）

已知三点，曲线上任意一点满足.

（1）求曲线的方程；

（2）若是曲线上分别位于点两边的任意两点，过分别作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线分别交直线于两点.证明：与的面积之比为定值.

21. （本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，且单调递增，求实数的取值范围；

（2）是否存在实数，使的最小值为1，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.

（1）求曲线的参数方程；

（2）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）若，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: BACBD 6-10:CADBA 11、12：AC

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.（1）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况共有4种，所以，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率为.

（2）由数据，求得，，.

，，，

由公式求得

.

18.（1）∵平面，∴，分别取中点，连接，则，所以四边形为平行四边形，

∴，∵，∴平面，∴平面，

∴平面平面.

（2）由（1）可得两两垂直，

以为原点建立空间直角坐标系，如图，

则由已知条件有：，

，，设平面的一个法向量为，则

令，则，设，，从而，∵，∴.

19.（1）设等比数列的公比为，由题意知，则，化简得，解得，

∴.

（2）由（1）可知.

当为偶数时，，易知随增大而增大，∴，此时；

当为奇数时，，易知随增大而减小，∴，此时.

又，∴.

故数列的“容值区间”长度的最小值为.

20.（1）由，

∴，，

∴，化简得曲线的方程为.

（2）设，显然直线存在斜率，设直线的方程为，代入抛物线，得到，故，易知抛物线在点处的切线方程分别为，联立组成方程组，得到点的坐标为，即；

抛物线在点处的切线方程为，将其分别与切线的方程联立组成方程组，可求得点的横坐标分别为，则，又，点到的距离，点到的距离，∴，

∴，

∴.

所以与的面积之比为定值为2.

21.（1），由已知在时恒成立，即恒成立，分离参数得，又，所以正实数的取值范围为.

（2）假设存在这样的实数，则在时恒成立，且可以取到等号，故，即，故，解得，从而这样的实数必须为正实数.

当时，由（1）知在上递增，所以，此时不合题意.故这样的必须满足，此时，令，得的增区间为；令，得的减区间为.故，

整理得，即，设，则上式即为，构造，则等价于，由于为增函数，为减函数，故为增函数，观察知，故等价于，与之对应的，综上符合条件的实数是存在的，即.

22.（1）将曲线：（为参数）化为，由伸缩变换化为，代入圆的方程得，即，可得参数方程为（为参数）.

（2）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，点到的距离，∴点到的距离的最小值为.

23.（1）当时，，即或或，解得或，所以不等式的解集为.

（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即，所以实数的取值范围为.

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