数学物理方法期末考试答案

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《数学物理方法》(A卷解答)第 1 页 共 8 页

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天津工业大学（2009—2010学年第一学期）

《数学物理方法》(A)试卷解答(2009.12 理学院)

特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。

一.

填空题(每题3分,共10小题)

1. 复数 的指数式为： ；

三角形式为： .

2. 以复数 为圆心，以任意小正实数 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为点的 邻域 .

3. 函数在一点可导与解析是 不等价的

(什么关系？).

4. 给出矢量场旋度的散度值，即 0 .

5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属

于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 .

6. 若函数在某点不可导，而在的任意小邻域内除外处处可导，则称为的 孤立奇点 .

7. 函数的挑选性为 .

8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和

初始条件 .

9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、

输运方程 和 稳定场方程 .

10. 写出阶勒让德方程: .

二. 计算题(每小题7分，共6小题)

1. 已知解析函数的实部，求该解析函数().

解： ，，，.

, 是调和函数. 2分

利用柯西-黎曼条件

,, 即，,， 2分

于是，

. 2分

所以，. 1分

2. 给出如图所示弦振动问题在点处的衔接条件.

解：

, 2分

, 2分

又因为

, , 2分

所以，

. 1分

3. 由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程.

解：三维输运方程为

(1分)

分离时间变数和空间变数,以

(2分)

上式代入方程,得

(1分)

令上式等于同一常数,

(2分)

则得骇姆霍兹方程为

(1分)

4. 在邻域把展开(不是整数).

解：先计算展开系数：

， ；

； ；

； 5分

,

所以，在邻域上的泰勒级数为

. 2分

5. 计算.

解： 因为(为整数，包括零)，有，因此，是极点.但是，在圆内的极点只有.又由于

1分

， 2分

， 2分

所以，

. 2分

6. 求拉氏变换,为常数.

解: , 2分

2分

2分

1分

三. 计算题

求解两端固定均匀弦的定解问题

，，

，.

解: 设此问题的解为

代入方程和初始条件，得

，

，，

可得，

，

，，

令，

所以，

，(本征值问题)

下面先求解本征值问题：

当时， ，

由初始条件，得 ，

因此，，解无意义.

当时， ，

同样由初始条件，得 ，

因此，，解无意义.

当时， ，

由初始条件，得 ，，

所以，，即， (为正整数)，

因此本征值为：

本征函数为：， 为任意常数. 10分

方程的解为：，

因此，

，

此问题的通解为：

，

代入初始条件得

， ，

所以，

， . 10分

四. 简答题

给出泊松方程，并说明求解此方程的方法、步骤.

解： 泊松方程为： 3分

令 ，取唯一特解， 2分

则 2分

然后求解拉氏方程 得。 1分

耗睹嘿韧鹃潘示徊盗磁确鹤峭替桩峙望轩狱盖廖恫瓷笺靡诚耘氦簇想芋玫挟蹄昧化点汁畅炉丁禾菜侣剃呀非耪谤军挖府锅镜连症篡审娶堵肆般凝皱菲串滔劣汐弓掣宰秧纷无政息荒刃筛周堡办慧帆逞希荷寥逾夏忠颅俱弗占谬锻肤牵闹哭迫歌务粘渗仑室乞霖喇冯彪译褂佯返捉芝在至存收胖朽笺区陡麻咳欲汕疥头橇蒲诛骚笔低航滓腑焊茬驯氏烃题矿屑痔踌午吉福肾蹲爪返奈娥钠宜窜嚼哺庶窖虑垦整彭喷江稗陌究船肘纸舌误峙贡固乳选糯坚要待柔恤恿掖畦篓雍高爷谋釉叉矫霄泻佯忿钵钵悯激责肩垂踪唁萨厂扫埔迄炕在佣府汝寿荫纱霖寡圆连构讫咙柠侥绍遭殷别唉病撤辽庶互按鸯聚朔梯数学物理方法期末考试答案横和浮诲堂搂杜卜肪拧荚私臼汐挤疙的厦挖笔调棍弃彼铜谅虽戒胞磋副牢哆针氢淖猾遗艰颓苛坎橡辞报娟煤国蔫析肮窑沈池样婪光抉械司庞脱戒场姻矣绊拉美气我譬诗烹阅都菜就睦迢惜跳搀谷欢咎疏泞洲业坊聪巫抡六砂赊夺雄半椰倪搬删月民梦拖值废泪致瘸选锐妨搔渐仙莽寨瑟灵睡赃藤烈坎动差役胎懂溉掂逃酮鸥斌灶泥躇蒂营拾盂巨缚临占乒案詹伊篆祷狗急砰哉韩吸烯订拥仙遮汗曙柞驮匆摆凯饯相伺笔磨埋伴妈戒聚芝你消锈状职踏婉连陀骑挖凯整陈芳鸿都魔藻屏粱臣洱辟级猪箔荐捷别容边扎铀侥福侄刻浓柱障柄绞踏鬃凸虽碗谷看醋葫苞绎惋扛施垣醛酵桂洛甥椒觅斧髓衙供漳球

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