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最新冀教版初三数学知识点

发布时间：2020-01-20 17:39:09 来源：文档文库

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最新冀教版初三数学知识点

23章数据分析

冀教版初三数学知识点

1、一般地，我们把n个数word/media/image1_1.png的和与n的比，叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作word/media/image2_1.png，读作“x拔”，即

word/media/image3_1.png

2、已知n个数word/media/image4_1.png，若word/media/image5_1.png为一组正数，则把

word/media/image6_1.png叫做n个数word/media/image4_1.png的加权平均数，word/media/image5_1.png分别叫做这n个数的权重，简称权.

23.2中位数和众数

1、一般地，将n个数据按大小顺序排列，如果n为奇数，那么把处于中间位置的数据叫做这组数据的中位数；如果n为偶数，那么把处于中间位置的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.

2、一般地，把一组数据中出现次数最多的那个数据叫做众数.一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.

23.3方差

设n个数据word/media/image4_1.png的平均数为word/media/image2_1.png，各个数据与平均数偏差的平方分别是word/media/image7_1.png.偏差平方的平均数叫做这组数据的方差，用word/media/image8_1.png表示，即

word/media/image9_1.png

当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小.

23.4用样本估计总体

由于抽样的任意性，即使是相同的样本容量，不同样本的平均数一般也不同；当样本容量较小时，差异可能还较大.但是当样本容量增大时，样本的平均数的波动变小，逐渐趋于稳定，且与总体的平均数比较接近.因此，在实际中经常用样本的平均数估计总体的平均数.同样的道理，我们也用样本的方差估计总体的方差.

24章一元二次方程

24.1一元二次方程

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式为word/media/image10_1.png其中，word/media/image11_1.png是二次项，word/media/image12_1.png是二次项系数，word/media/image13_1.png是一次项，word/media/image14_1.png是一次项系数，word/media/image15_1.png是常数项.一元二次方程的解也叫做这个方程的根.

24.2解一元二次方程

1、配方法：通过配方，把一元二次方程变形为一边为含未知数的一次式的平方，另一边为常数，当常数为非负数时，利用开平方，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.配方时，先将常数项移至等号右边，然后将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.

2、对于一元二次方程word/media/image16_1.png：

当word/media/image17_1.png时，方程有两个不相等的实数根；

当word/media/image18_1.png时，方程有两个相等的实数根；

当word/media/image19_1.png时，方程没有实数根.

我们把word/media/image20_1.png叫做一元二次方程word/media/image21_1.png的根的判别式.

3、当word/media/image22_1.png时，一元二次方程word/media/image21_1.png的两实数根可以用word/media/image23_1.png求出.这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

4、因式分解法：把一元二次方程的一边化为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，进而转化为两个一元一次方程，从而求出原方程的根.

24.3 一元二次方程根与系数关系

如果一元二次方程word/media/image21_1.png的两根分别为word/media/image24_1.png，那么word/media/image25_1.png.

24.4一元二次方程的应用

25章图形的相似

25.1比例线段

1、如果选用同一度量单位，量得线段word/media/image26_1.png和word/media/image27_1.png的长度分别为word/media/image28_1.png和word/media/image29_1.png，我们就把word/media/image30_1.png和word/media/image31_1.png的比叫做线段word/media/image26_1.png和word/media/image27_1.png的比，记作word/media/image32_1.png，或word/media/image33_1.png.

2、在四条线段word/media/image34_1.png中，如果word/media/image26_1.png与word/media/image27_1.png的比等于word/media/image35_1.png与word/media/image36_1.png的比，即word/media/image37_1.png，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.

3、比例的基本性质

如果word/media/image37_1.png，那么word/media/image38_1.png.

如果word/media/image38_1.png，那么word/media/image37_1.png（word/media/image39_1.png）

特别地，如果word/media/image40_1.png，即word/media/image41_1.png，就把b叫做a，c的比例中项.

如果word/media/image42_1.png，那么word/media/image43_1.png

4、黄金分割

word/media/image44_1.png在线段AB上有一点C，如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足word/media/image45_1.png，那么称线段AB被点C黄金分割，点C称为线段AB的黄金分割点，word/media/image46_1.png称为黄金比.黄金比word/media/image47_1.png

每条线段上的黄金分割点都有两个.

25.2 平行线分线段成比例

（1) 基本事实

两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.

对应线段是指两条直线被一组平行线所截得的线段（AB与DE、BC与EF、AC与DF)，对应线段成比例是指同一直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比.

word/media/image48_1.png

（2）推论1

word/media/image49_1.png平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.

word/media/image50_1.png

（3）推论2

word/media/image51_1.png平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例.

在△ABC中，DE∥BC，word/media/image52_1.png

25.3相似三角形

（1）对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做它们的相似比.如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例.

（2）利用平行线分线段成比例判定两个三角形相似

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似.

25.4 相似三角形的判定

相似三角形的判定定理

(1) 两角对应相等的两个三角形相似.

(2) 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

(3) 三条边对应成比例的两个三角形相似.

(4) 直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.

25.5 相似三角形的性质

相似三角形的性质定理

（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.

（2）相似三角形周长的比等于相似比.

（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.

25.6 相似三角形的应用

25.7 相似多边形和图形的位似

（1）形状相同的图形称为相似图形.一般地，如果两个多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形就叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做它们的相似比.

（2）两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行（或重合），我们把这样的两个图形称为位似图形，对应顶点所在直线的交点称为位似中心，这时的相似比又称位似比.

（3）位似图形的画法

①确定位似中心（位似中心可以在图形外部、图形内部或图形的边上）；

②选取图形的关键点（一般是顶点）并分别连接各关键点与位似中心，并延长成射线；

③根据位似比在射线上取点，得到各关键点的对应点；

word/media/image53.gif顺次连接各对应点，得到相应的位似图形.

26章解直角三角形

26.1 锐角三角函数

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即word/media/image55_1.png

∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即word/media/image56_1.png

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即word/media/image57_1.png

2、一些特殊角的三角函数值

3、在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的；当锐角α变化时，相应的比值也会发生相应的变化.

我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.

为方便起见，今后将word/media/image63_1.png分别记作word/media/image64_1.png.

26.2 锐角三角函数的计算

26.3解直角三角形

1、在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2、在Rt△ABC中，∠C=90°

三边之间的关系是word/media/image65_1.png；

两锐角之间的关系是word/media/image66_1.png；

边角之间的关系是

word/media/image56_1.png

word/media/image57_1.png

word/media/image55_1.png

在边角之间的关系中，将∠A换成∠B，同时将a，b交换，即可得到∠B与边之间的关系式.

根据以上关系，如果知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其他三个元素.

26.4解直角三角形的应用

我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比word/media/image67_1.png叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角.显然，word/media/image68_1.png

27章反比例函数

27.1 反比例函数

一般地，如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成word/media/image69_1.png的形式，那么称y为x的反比例函数，k称为比例系数，自变量x的取值范围是不等于0的实数.

27.2 反比例函数的图像和性质

反比例函数word/media/image69_1.png的图像由分别位于两个象限内的两条曲线组成，这样的曲线叫做双曲线.

对于反比例函数word/media/image70_1.png，当k>0时，它的图像位于第一、三象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小；当k<0时，它的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y的值随x的值增大而增大.

27.3反比例函数的应用

28章圆

28.1圆的概念及性质

（1）平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，叫做圆，这个定点叫做圆心，这条定长叫做圆的半径.

（2）圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

（3）圆上任意两点间的线段叫做这个圆的一条弦.过圆心的弦叫做这个圆的直径.

（4）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的直径将这个圆分成能够完全重合的两条弧，这样的一条弧叫做半圆.

（5）大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

（6）能够完全重合的两个圆叫做等圆.能够完全重合的两条弧叫做等弧.

28.2过三点的圆

（1）不在同一条直线上的三点确定一个圆.

（2）我们把经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心.

28.3圆心角和圆周角

（1)顶点在圆心的的角叫做圆心角.圆的每一个圆心角都对应一条弦和一条弧.

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等.

（3)在同圆或等圆中，两个圆心角及其所对应的两条弦和所对应的两条弧这三组量中，只要有一组量相等，其他两组量就分别相等.

（4)顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.

（5)圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

（6）直径所对的圆周角是直角.

90°的圆周角所对的弦是直径.

（7）同弧所对的圆周角相等.

（8）四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

（9）圆内接四边形的对角互补.

28.4 垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

28.5弧长和扇形面积的计算

（1）计算公式

设word/media/image71_1.png圆心角所对弧的长为word/media/image72_1.png，所对扇形的面积为word/media/image73_1.png，则word/media/image74_1.png，word/media/image75_1.png或word/media/image76_1.png

（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线.圆锥的顶点与底面圆心之间的线段叫做圆锥的高.

（3）将圆锥的侧面沿母线展开成平面图形，该图形为一个扇形，扇形的半径长等于圆锥的母线长.

反过来，扇形也可以围成一个圆锥.

29章直线与圆的位置关系

1、在同一个平面内，点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内.

设圆O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：
（1）点P在圆外，d>r
（2）点P在圆上，d=r
（3）点P在圆内，d

2、直线与圆的位置关系

一条直线与一个圆的位置关系，根据它们公共点的个数可分为三种情况：两个公共点、一个公共点、没有公共点.

当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，称直线与圆相切，此时这个公共点叫做切点，这条直线叫做圆的切线；当直线与圆没有公共点时，称直线与圆相离.

3、切线的性质和判定

（1）圆的切线垂直于过切点的半径.

（2）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

4、切线长定理

（1）过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等.

（2）与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆，称这个圆的圆心为三角形的内心.

5、正多边形与圆

（1）各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.

（2）把一个圆n（n≥3）等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n边形.我们把这个正n边形叫做圆的内接正n边形，这个圆叫做正n边形的外接圆，外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到边的距离叫做正多边形的边心距.

（3）通过等分圆心角，可以画正多边形.对于一些特殊情形，可以用尺规作圆的内接正多边形（正方形和正六边形）.

30章二次函数

30.1二次函数的概念

一般地，如果两个变量x和y之间的函数关系可以表示成word/media/image77_1.png是常数，且word/media/image78_1.png，那么称y为x的二次函数.其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.

30.2二次函数的图像和性质

二次函数word/media/image79_1.png的图像和性质

（1）通过列表、描点、连线可以得到二次函数word/media/image79_1.png图像

（2）二次函数word/media/image80_1.png的图像是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线，曲线的对称轴叫做抛物线的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.

（3）二次函数word/media/image79_1.png的图像和性质

（4）为方便起见，我们把y轴记为直线word/media/image88_1.png，把过点（word/media/image89_1.png，0）且垂直于x轴的直线记为直线word/media/image90_1.png；把x轴记为直线word/media/image91_1.png，把过点（0，word/media/image92_1.png）且垂直于y轴的直线记为直线word/media/image93_1.png.二次函数word/media/image94_1.png也称为抛物线word/media/image94_1.png

二次函数word/media/image95_1.png与word/media/image96_1.png的图像和性质

（1）二次函数word/media/image95_1.png的图像可以由word/media/image97_1.png的图像作如下平移得到：当word/media/image98_1.png时，向右平移word/media/image99_1.png个单位长度；当word/media/image100_1.png时，向左平移word/media/image101_1.png个单位长度.

（2）二次函数word/media/image96_1.png的图像和性质

二次函数word/media/image114_1.png的图像和性质

（1）每个二次函数word/media/image114_1.png都可以通过配方化成word/media/image96_1.png的形式

（2）二次函数word/media/image114_1.png的图像是一条抛物线，它的对称轴是word/media/image115_1.png

若word/media/image116_1.png，则抛物线开口向上，顶点坐标是word/media/image117_1.png.当word/media/image118_1.png时，word/media/image119_1.png随word/media/image120_1.png的增大而减小；当word/media/image121_1.png时，word/media/image119_1.png随word/media/image120_1.png的增大而增大；当word/media/image122_1.png时，word/media/image123_1.png取得最小值，且word/media/image124_1.png

若word/media/image125_1.png，则抛物线开口向下，顶点坐标是word/media/image117_1.png.当word/media/image118_1.png时，word/media/image119_1.png随word/media/image120_1.png的增大而增大；当word/media/image121_1.png时，word/media/image119_1.png随word/media/image120_1.png的增大而减小；当word/media/image122_1.png时，word/media/image123_1.png取得最大值，且word/media/image126_1.png

为方便起见，我们把二次函数word/media/image114_1.png也称为抛物线word/media/image114_1.png

30.3由不共线三点的坐标确定二次函数

用待定系数法求二次函数的表达式，将三点坐标分别代入二次函数word/media/image114_1.png中，解出word/media/image127_1.png，即可得到二次函数的表达式

30.4二次函数的应用

（1）对于二次函数word/media/image128_1.png来说，当word/media/image129_1.png，且word/media/image130_1.png时，word/media/image131_1.png；当word/media/image132_1.png，且word/media/image130_1.png时，word/media/image133_1.png.二次函数的这一特征，使它成为解决许多求“最小值”或“最大值”问题的重要工具.