数学归纳法 同步练习
1．⑴用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为 （ ）
A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D．
⑵某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得 （ ）
A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立
⑶用数学归纳法证明3＋5
(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3
＋5
应变形为_______________________。
⑷已知a1=,an+1=
,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.
2．用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*.
3．若n为大于1的自然数，求证：.
4.设a＝
＋
＋…＋
(n∈N),证明：
n(n＋1)
<
(n＋1)
。
5．设数列{a}的前n项和为S
，若对于所有的自然数n，都有S
＝
，证明{a
}是等差数列。
6．已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与
logabn+1的大小，并证明你的结论.
参考答案
1．简解：⑴n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；
⑵原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。
⑶答：（3＋5
）3
＋5
（5
－3
）；
、
、
、
2.证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，
42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2 )
∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
∴当n=k+1时也成立.
由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除.
3.证明：(1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
4.分析:与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a
＋
,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上
，再与目标比较而进行适当的放缩求解。
解:当n＝1时，a＝
，
n(n+1)＝
，
(n+1)
＝2 ，
∴ n＝1时不等式成立。
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)
<
(k＋1)
，
当n＝k＋1时，k(k＋1)＋
<
(k＋1)
＋
,
k(k＋1)＋
>
k(k＋1)＋(k＋1)＝
(k＋1)(k＋3)>
(k＋1)(k＋2)，
(k＋1)
＋
＝
(k＋1)
＋
<
(k＋1)
＋(k＋
)＝
(k＋2)
，
所以(k＋1)(k＋2)
<
(k＋2)
，即n＝k＋1时不等式也成立。
综上所述，对所有的n∈N，不等式n(n＋1)
<
(n＋1)
恒成立。
说明：用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分别将缩小成(k＋1)、将
放大成(k＋
)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。
本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由
>n可得，a
>1＋2＋3＋…＋n＝
n(n＋1)；由
可得，a
<1＋2＋3＋…＋n＋
×n＝
n(n＋1)＋
n＝
(n
＋2n)<
(n＋1)
。所以
n(n＋1)
<
(n＋1)
。
5．分析：要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a
＝a
＋(n－1)d 。命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。
解：设a－a
＝d，猜测a
＝a
＋(n－1)d
当n＝1时，a＝a
， ∴ 当n＝1时猜测正确。
当n＝2时，a＋(2－1)d＝a
＋d＝a
， ∴当n＝2时猜测正确。
假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a
＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a＝S
－S
＝
－
，
将a＝a
＋(k－1)d代入上式， 得到2a
＝(k＋1)(a
＋a
)－2ka
－k(k－1)d，
整理得(k－1)a＝(k－1)a
＋k(k－1)d，
因为k≥2,所以a＝a
＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。
综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a
＋(n－1)d，从而{a
}是等差数列。
说明：将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S
＝
、数列中通项与前n项和的关系a
＝S
－S
建立含a
的方程，代入假设成立的式子a
＝a
＋(k－1)d解出来a
。另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a
＝(k－1)a
＋k(k－1)d得到a
＝a
＋kd的条件是k≥2。
另解：可证a －a
＝ a
－ a
对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a
＝S
－S
＝
－
；同理有a
＝S
－S
＝
－
；从而a
－a
＝
－n(a
＋a
)＋
，整理得a
－a
＝ a
－ a
，从而{a
}是等差数列。
一般地，在数列问题中含有a与S
时，我们可以考虑运用a
＝S
－S
的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S
求a
一类型题应用此关系最多。
6.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2
(2)证明：由bn=3n－2知
Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+
)
=loga［(1+1)(1+)…(1+
)］
而logabn+1=loga
,于是，比较Sn与
logabn+1 的大小
比较(1+1)(1+
)…(1+
)与
的大小.
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测：(1+1)(1+)…(1+
)＞
(*)
①当n=1时，已验证(*)式成立.
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+
)＞
则当n=k+1时，
,即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立.
于是，当a＞1时，Sn＞logabn+1 ,当 0＜a＜1时，Sn＜
logabn+1
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