2018年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（理科）

2018年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（　　）

A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（　　）

A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4]

3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中

C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg

D．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（　　）

A．40 B．35 C．12 D．5

5．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b

6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

7．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣3

8．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（　　）

A．94.20元 B．240.00元 C．282.60元 D．376.80元

9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（　　）

A． B． C． D．2π

10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（　　）

A． B． C． D．

11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．

若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（　　）

A．40万元 B．45万元 C．50万元 D．55万元

12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣e，e） C．（﹣1，1） D．（0，+∞）

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=　　．

14．有下列四个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一平面的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两条直线平行．

其中正确的命题有　　（填写所有正确命题的编号）．

15．若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=　　．

16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=　　．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．

（1）求角A的大小；

（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．

18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：

甲图书馆

乙图书馆

以表中等待时间的学生人数的频率为概率．

（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；

（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？

19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．

（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；

（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．

20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．

（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

（ii）求△OAB面积的最大值．

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．

（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；

（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．

2018年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．已知复数z满足z（1﹣i）2=1+i（i为虚数单位），则z=（　　）

A． +i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵z（1﹣i）2=1+i，

∴，

故选：C．

2．已知集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（　　）

A．（2，+∞） B．（4，+∞） C．[2，4] D．（2，4]

【考点】交集及其运算．

【分析】解不等式得集合A，求函数值域得集合B，根据交集的定义写出A∩B．

【解答】解：集合A={x|（x﹣1）2≤3x﹣3，x∈R}={x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}={x|1≤x≤4}=[1，4]；

B={y|y=3x+2，x∈R}={y|y＞2}=（2，+∞），

则A∩B=（2，4]．

故选：D．

3．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，σ12）及N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中

C．甲类水果的平均质量μ1=0.4kg

D．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．

【分析】正态曲线关于x=μ对称，且μ越大图象越靠近右边，σ的值越小图象越瘦长，得到正确的结果．

【解答】解：由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故B，C，D正确；

乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故A 不正确．

故选：A．

4．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，则a8=（　　）

A．40 B．35 C．12 D．5

【考点】数列递推式．

【分析】数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，令m=1，可得Sn+1=Sn+S1，可得an+1=5．即可得出．

【解答】解：数列{an}的前n项和Sn满足Sn+Sm=Sn+m（n，m∈N*）且a1=5，

令m=1，则Sn+1=Sn+S1=Sn+5．可得an+1=5．

则a8=5．

故选：D．

5．设a=（），b=（），c=ln，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b

【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：b=（）=＞（）=a＞1，c=ln＜1，

∴b＞a＞c．

故选：B．

6．执行如图所示的程序框图，则输出b的值为（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16

【考点】程序框图．

【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．

【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，

第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，

第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，

第四次循环，a=4＞3，输出b=16，

故选：D．

7．若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣3

【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．

【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．

【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2），

若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，

可得﹣2=k﹣1，

解得k=﹣1．

故选：A．

8．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如图所示（俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m），经了解，建造该类椅子的平均成本为240元/m3，那么该椅子的建造成本约为（π≈3.14）（　　）

A．94.20元 B．240.00元 C．282.60元 D．376.80元

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．

∴体积V=．

∴该椅子的建造成本约为=×240≈282.60元．

故选：C．

9．当函数f（x）=sinx+cosx﹣t（t∈R）在闭区间[0，2π]上，恰好有三个零点时，这三个零点之和为（　　）

A． B． C． D．2π

【考点】根的存在性及根的个数判断．

【分析】令f（x）=0得sin（x+）=，根据三角函数的图象与性质求出三个零点即可．

【解答】解：f（x）=2sin（x+）﹣t，

令f（x）=0得sin（x+）=，

做出y=sin（x+）在[0，2π]上的函数图象如图所示：

∵f（x）在[0，2π]上恰好有3个零点，

∴=sin=，

解方程sin（x+）=得x=0或x=2π或x=．

∴三个零点之和为0+2π+=．

故选：B．

10．有5位同学排成前后两排拍照，若前排站2人，则甲不站后排两端且甲、乙左右相邻的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】求出基本事件总数和甲乙相邻照相包含的基本事件个数，由此能求出甲乙相邻照相的概率即可．

【解答】解：由题意得：p===，

故选：B．

11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．已知每件甲产品的利润为0.4万元，每件乙产品的利润为0.3万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时（单位：h）分别如表所示．

若A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，则该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为（　　）

A．40万元 B．45万元 C．50万元 D．55万元

【考点】简单线性规划的应用．

【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．

【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，

约束条件是

目标函数是z=0.4x+0.3y

由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分

由z=0.4x+0.3y，结合图象可知，z=0.4x+0.3y在A处取得最大值，

由可得A（50，100），

此时z=0.4×50+0.3×100=50万元，

故选：C．

12．若函数g（x）满足g（g（x））=n（n∈N）有n+3个解，则称函数g（x）为“复合n+3解”函数．已知函数f（x）=（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…，k∈R），且函数f（x）为“复合5解”函数，则k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（﹣e，e） C．（﹣1，1） D．（0，+∞）

【考点】分段函数的应用．

【分析】由题意可得f（f（x））=2，有5个解，设t=f（x），f（t）=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f（t）=2在[1，+∞）有2个解，当x＜0时，根据函数恒过点（0，3），分类讨论，即可求出当k＞0时，f（t）=2时有3个解，问题得以解决．

【解答】解：函数f（x）为“复合5解“，

∴f（f（x））=2，有5个解，

设t=f（x），

∴f（t）=2，

∵当x＞0时，f（x）=，

∴f（x）=，

当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

当x＞1时，f′（x）＞0，

函数f（x）单调递增，

∴f（x）min=f（1）=1，

∴t≥1，

∴f（t）=2在[1，+∞）有2个解，

当x≤0时，f（x）=kx+3，函数f（x）恒过点（0，3），

当k≤0时，f（x）≥f（0）=3，

∴t≥3

∵f（3）=＞2，

∴f（t）=2在[3，+∞）上无解，

当k＞0时，f（x）≤f（0）=3，

∴f（t）=2，在（0，3]上有2个解，在（∞，0]上有1个解，

综上所述f（f（x））=2在k＞0时，有5个解，

故选：D

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，则•=　﹣32　．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由•=﹣•，运用向量数量积的定义，计算即可得到所求值．

【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，若BC=6，CD=5，

可得AD=BD=5，即AB=10，

由勾股定理可得AC==8，

则•=﹣•

=﹣||•||•cosA=﹣5×8×=﹣32．

故答案为：﹣32．

14．有下列四个命题：

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②垂直于同一条直线的两个平面平行；

③垂直于同一平面的两个平面平行；

④垂直于同一平面的两条直线平行．

其中正确的命题有　②④　（填写所有正确命题的编号）．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，

【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，

对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；

对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；

对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；

对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．

故答案为：②④

15．若等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2，则++…+=　1﹣　．

【考点】数列的求和．

【分析】等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2，可得=2，解得a1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：∵等比数列{an}的公比为2，且a3﹣a1=2，∴=2，解得a1=．

∴an==．∴=．

则++…+=3×==1﹣．

故答案为：1﹣．

16．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，若|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B（0，1），则p=　1或4　．

【考点】圆与圆锥曲线的综合．

【分析】由题意，可得A（，），AB⊥BF，所以（，﹣1）•（，﹣1）=0，即可求出p的值．

【解答】解：由题意，可得A（，），AB⊥BF，

∴（，﹣1）•（，﹣1）=0，

∴﹣+1=0，

∴p（5﹣p）=4，∴p=1或4．

故答案为1或4．

三、解答题（共5小题，满分60分）

17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin（A﹣）﹣cos（A+）=．

（1）求角A的大小；

（2）若a=，sin2B+cos2C=1，求△ABC的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）利用诱导公式和两角和与差公式化简即可求解角A的大小．

（2）利用二倍角公式化简sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，利用正余弦定理即可求解b，c的大小．即可求解△ABC的面积．

【解答】解：（1）sin（A﹣）﹣cos（A+）=sin（A﹣）﹣cos（2π﹣A）=sin（A﹣）﹣cos（A+）

=sinA﹣cosA﹣cosA﹣sinA=

即cosA=，

∵0＜A＜π，

∴A=．

（2）由sin2B+cos2C=1，可得sin2B=2sin2C，

由正弦定理，得b2=2c2，即．a=，

cosA==，

解得：c=1，b=

∴△ABC的面积S=bcsinA=．

18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书、还书的等待时间进行调查，得到下表：

甲图书馆

乙图书馆

以表中等待时间的学生人数的频率为概率．

（1）分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；

（2）学校规定借书、还书必须在同一图书馆，某学生需要借一本数学参考书，并希望借、还书的等待时间之和不超过4分钟，在哪个图书馆借、还书更能满足他的要求？

【考点】离散型随机变量的期望与方差．

【分析】（1）根据已知可得T1，T2的分布列及其数学期望．

（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

【解答】解：（1）根据已知可得T1的分布列：

T1的数学期望为：E（T1）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．

T2的数学期望为：E（T1）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：该同学甲、乙两图书馆借书的平均等待时间分别为：2.9分钟，2.85分钟．

（2）设T11，T12分别表示在甲图书馆借、还书所需等待时间，设事件A为“在甲图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T11+T12≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．

∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．

设T21，T22分别表示在乙图书馆借、还书所需等待时间，设事件B为“在乙图书馆借、还书的等待时间之和不超过4分钟”．T21+T22≤4的取值分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．

∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．

∴P（A）＞P（B）．∴在甲图书馆借、还书更能满足他的要求．

19．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．

（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；

（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】（1）证明DE∥AC，即可判断直线DE与平面ABC的位置关系；

（2）BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小，利用余弦定理，即可求解．

【解答】解：（1）DE∥平面ABC．

∵VC⊂平面VBC，DE⊥平面VBC，

∴DE⊥VC，

∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，

∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，

∵DE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴DE∥平面ABC；

（2）∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，

∵D，F分别为VA，AB的中点，

∴DF∥VB，∴DE⊥DF，

∴BE，DF所成角的大小=二面角B﹣DE﹣F的大小．

∵VC=2BC，∴VE=BC，VB=BC，∴BE=BC，

∴cos∠VBE==，

∴二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．

20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）过点P（2，1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足=，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．

（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；

（ii）求△OAB面积的最大值．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）由离心率公式，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（Ⅱ）（i）设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用直线的点斜式方程，求得M和N点坐标，由=，利用韦达定理，化简当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；

（ii）S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨x1﹣x2丨，由韦达定理，弦长公式，利用二次函数的性质，即可求得△OAB面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e===，则a2=4b2，

将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8，

∴椭圆的方程为：；

（Ⅱ）（i）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，

当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，

则△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

x1+x2=﹣，x1x2=，

又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），

即y﹣1=（x﹣2），

因此M点坐标为（0，），同理可知：N（0，），

由=，则+=0，

化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，

则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（﹣）+8t=0，

化简整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）；

（ii）由（i）可知：S△OAB=丨S△OQA﹣S△OQB丨=丨丨OQ丨•丨x1丨﹣丨OQ丨•丨x2丨丨，

=×2×丨x1﹣x2丨=丨x1﹣x2丨=，

=4，

令4k2+1=u，则S△OAB=4，

=4≤2，

即当=，u=4，即k=±时，等号成立，

∴△OAB面积的最大值2．

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）设g（x）=f（x）+x2，且函数g（x）有极大值点x0，求证：x0f（x0）+1+ax02＞0．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）当a=1时，﹣2，由此利用导数的几何意义能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线方程．

（Ⅱ）由不等式f（x）≤1，得2a≥恒成立，令φ（x）=（x＞0），则φ′（x）=，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．

（Ⅲ）由g（x）=f（x）+x2=，得，分类讨论求出a=，由x0f（x0）+1+ax02=﹣，令h（x）=﹣，x∈（0，1），则，利用构造法推导出h′（x）＜0，由此能证明x0f（x0）+1+ax02＞0．

【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣2x，则﹣2，x＞0，

∴f（1）=﹣2，f′（1）=﹣1，

∴函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．

（Ⅱ）不等式f（x）≤1，即lnx﹣2ax≤1，∴2ax≥lnx﹣1，

∵x＞0，∴2a≥恒成立，

令φ（x）=（x＞0），则φ′（x）=，

当0＜x＜e2时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，当x＞e2时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，

∴当x=e2时，φ（x）取得极大值，也为最大值，故φ（x）max=φ（e2）=，

由2a≥，得a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．

（Ⅲ）证明：由g（x）=f（x）+x2=，得，

①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意；

②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x0和x′，

∵x0为函数g（x）的极大值点，∴0＜x0＜x′，

由=1，，知a＞1，0＜x0＜1，

又由g′（x0）==0，得a=，

∵=﹣，0＜x0＜1，

令h（x）=﹣，x∈（0，1），则，

令，x∈（0，1），则，

当时，μ′（x）＞0，当时，μ′（x）＜0，

∴μ（x）max=μ（）=ln＜0，∴h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）=0，

∴x0f（x0）+1+ax02＞0．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为（θ为参数），设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线l的极坐标方程；

（2）设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），由此能求出点P的极坐标．

【解答】解：（1）∵双曲线E的参数方程为（θ为参数），

∴，，

∴==1，

∴双曲线E的普通方程为．

∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，

∴l的极坐标方程为．

（2）由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆（记为圆C，C为圆心）与直线l的交点（异于原点O），

∵AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，

由（Ⅰ）知，|OF|=2，

又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，

∴∠AFO=，|AF|=4，

于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为（2，），

∴圆C的极坐标方程为，

此时，点P的极坐标为（4cos（），），即（2，）．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+a|﹣2a，其中a∈R．

（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）≤2x+1的解集；

（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（1）当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f（x）≤2x+1的解集；

（2）若x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．

x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；

x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，

综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；

（2）x∈R，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，

∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，

∴|a﹣1|≤2a，∴．

2018年4月3日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/19b684cdf80f76c66137ee06eff9aef8941e48f0.html