概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

第七章 参数估计

1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm计）

求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S2。

解：μ，σ2的矩估计是

。

2．[二]设X1，X1，…，Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。

（1） 其中c>0为已知，θ>1，θ为未知参数。

（2） 其中θ>0，θ为未知参数。

（5）为未知参数。

解：（1），得

（2）

（5）E (X) = mp 令mp = ， 解得

3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。

解：（1）似然函数

（解唯一故为极大似然估计量）

（2）

。(解唯一)故为极大似然估计量。

（5），

解得 ，（解唯一）故为极大似然估计量。

4．[四(2)] 设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，试求λ的极大似然估计量及矩估计量。

解：（1）矩估计 X ~ π (λ )，E (X )= λ，故=为矩估计量。

（2）极大似然估计，

为极大似然估计量。

（其中

5．[六] 一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10，P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质学家所得的数据如下

解：λ的极大似然估计值为==

[四(1)] 设总体X具有分布律

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1，试求θ的矩估计值和最大似然估计值。

解：（1）求θ的矩估计值

则得到θ的矩估计值为

（2）求θ的最大似然估计值

似然函数

ln L(θ )=ln2+5lnθ+ln(1－θ)

求导

得到唯一解为

8．[九(1)] 设总体X ~N（μ，σ 2），X1，X1，…，Xn是来自X的一个样本。试确定常数c使的无偏估计。

解：由于

=

当。

[十] 设X1，X2， X3， X4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量

（1）指出T1，T2， T3哪几个是θ的无偏估计量；

（2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。

解：（1）由于Xi服从均值为θ的指数分布，所以

E (Xi )= θ, D (Xi )= θ 2, i=1,2,3,4

由数学期望的性质2°，3°有

即T1，T2是θ的无偏估计量

（2）由方差的性质2°，3°并注意到X1，X2， X3， X4独立，知

D (T1)> D (T2)

所以T2较为有效。

14.[十四] 设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 。设干燥时间总体服从正态分布N ~（μ，σ2），求μ的置信度为的置信区间。（1）若由以往经验知σ=（小时）（2）若σ为未知。

解：（1）μ的置信度为的置信区间为（），

计算得

（2）μ的置信度为的置信区间为（），计算得，查表(8)=.

16.[十六] 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的样本标准差为s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信度为的置信区间。

解：σ的置信度为的置信区间为

其中α=, n=9

查表知

19.[十九] 研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为s，取样本容量为n1=n2=20.得燃烧率的样本均值分别为设两样本独立，求两燃烧率总体均值差μ1－μ2的置信度为的置信区间。

解：μ1－μ2的置信度为的置信区间为

其中α=，=, n1=n2=20,

20.[二十] 设两位化验员A，B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为分别为A，B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比的置信度为的置信区间。

解：的置信度为的置信区间

= , .

其中n1=n2=10，α=，(9,9)=, 。

第八章 假设检验

1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%） 。设测定值总体服从正态分布，问在α = 下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为.

解：设测定值总体X～N（μ，σ 2），μ，σ 2均未知

步骤：（1）提出假设检验H：μ=; H1：μ≠

（2）选取检验统计量为

（3）H的拒绝域为| t |≥

（4）n=5, α = ，由计算知

查表(4)=,

（5）故在α = 下，接受假设H0

2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l的比，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、

工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = ）

H0：μ = H1：μ≠

.

解：步骤：（1）H0：μ = ； H1：μ≠

（2）选取检验统计量为

（3）H0的拒绝域为| t |≥

（4）n=20 α = ，计算知

，

（5）故在α = 下，接受H0，认为这批矩形的宽度和长度的比值为

3.[三] 要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为σ =100小时的正态分布。试在显着水平α = 下确定这批元件是否合格设总体均值为μ。即需检验假设H0：μ≥1000，H1：μ<1000。

解：步骤：（1）μ≥1000；H1：μ<1000；（σ =100已知）

（2）H0的拒绝域为

（3）n=25，α = ，，

计算知

（4）故在α = 下，拒绝H0，即认为这批元件不合格。

12.[十一] 一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平均每周看电视的时间小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的取α = 。（注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从什么分布，只要方差存在，当n充分

大时近似地服从正态分布。）

解：（1）提出假设H0：μ≤8；H1：μ>8

（2）当n充分大时，近似地服从N（0，1）分布

（3）H0的拒绝域近似为≥zα

（4）n=100，α = ，，S=2，由计算知

（5）故在α = 下，拒绝H0，即认为校长的看法是不对的。

14.[十三] 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平α = 能否认为这批导线的标准差显着地偏大

解：（1）提出H0：σ ≤；H1：σ >

（2）H0的拒绝域为

（3）n=9，α = ，S=，由计算知

查表

（4）故在α = 下，拒绝H0，认为这批导线的标准差显着地偏大。

15.[十四] 在题2中记总体的标准差为σ。试检验假设（取α = ）

H0：σ 2 =， H1：σ 2 ≠。

解：步骤（1）H0：σ 2 =； H1：σ 2 ≠

（2）选取检验统计量为

（3）H0的拒绝域为

（4）n=20，α = ，由计算知S 2= 2，

查表知

（5）故在α = ，接受H0，认为总体的标准差σ为.

16.[十五] 测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=%，设测定值总体为正态分布，σ 2为总体方差。试在水平α = 下检验假设H0：σ ≥%；H1：σ <%。

解：（1）H0：σ 2 ≥%)2；H1：σ 2 < %)2

（2）H0的拒绝域为

（3）n=10，α = ，S=%，查表知

由计算知

（4）故在α = 下，接受H0，认为σ大于%

17.[十六] 在第6[五]题中分别记两个总体的方差为。试检验假设（取α = ）H0：以说在第6[五]题中我们假设是合理的。

解：（1）H0：

（2）选取检验统计量为

（3）H0的拒绝域为

（4）n1=8，n2=10，α = ，查表知(7,9)=

(7,9)<F< (7,9)

（5）故在α = 下，接受H0，认为

18.[十七] 在第8题[七]中分别记两个总体的方差为。试检验假设（取α = ）H0：以说明在第8[七]题中我们假设是合理的。

解：（1）H0：

（2）选取检验统计量

（3）n1=n2=12，α = ，查表知

(11,11)= ，

由计算知

（4）故在α = 下，接受H0，认为

24.[二十三] 检查了一本书的100页，记录各页中印刷错误的个数，其结果为

问能否认为一页的印刷错误个数服从泊松分布（取α = ）。

解：（1）H0：总体X~π(λ )；H1：X不服从泊松布；（λ未知）

（2）当H0成立时，λ的最大似然估计为

（3）H0的拒绝域为

（4）n=100

对于j>3，

将其合并得

合并后，K=4，Y=1

查表知

由计算知

（5）故在α = 下，接受H0，认为一页的印刷错误个数服从泊松分布。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1833525e7b563c1ec5da50e2524de518964bd38c.html