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2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第十章离散型随机变量的均值与方差、正态分布

发布时间：2020-03-25 21:29:43 来源：文档文库

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[基础题组练]

1．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　)

A．0.6　　　　　　　　 B．0.4

C．0.3 D．0.2

解析：选A.由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.

又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.

2．口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)

A.7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png B．6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png

C．2 D．c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png

解析：选D.因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P(X＝2)＝8af7b5836b623932922b319a591253e3.png3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，P(X＝3)＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.pngbae3c9f3a70ec58c9ed3f9689a32456d.png5ab42c261b270ae7f4a56505e7fdab27.png3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png，所以EX＝2×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋3×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＝c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png.

3．(2020·河南焦作一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是(　　)

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7)

A．7 539 B．6 038

C．7 028 D．6 587

解析：选D.因为X～N(1，1)，所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，所以P(0<X≤2)≈0.682 7，则P(1<X≤2)≈0.341 35，所以阴影部分的面积为1－0.341 35＝0.658 65，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587.

4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则Eη，Dη分别是(　　)

A．6，2.4 B．2，2.4

C．2，5.6 D．6，5.6

解析：选B.由已知随机变量X＋η＝8，所以η＝8－X.

因此，求得Eη＝8－EX＝8－10×0.6＝2，

Dη＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4.

5．某篮球队对队员进行考核，规则是①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png.如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)

A．3 B．c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png

C．2 D．8b9de384b0dbf2e69afd01814f2a7191.png

解析：选B.在一轮投篮中，甲通过的概率为P＝d57ff3886ec9281ce84d249dc389a802.png，未通过的概率为29a2472c9a0a4d196b4bcf2e7e2fc48d.png.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的可能取值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝2e1368c2f3307eccb0a58ce76a7e2ab1.png3f839aec3c55ba4485a36e7d29b7bfaa.png＝ada18b1a406b315e6f77d7d49c95419e.png，

P(X＝1)＝Cef5302b7470774d3ced9e9611432a86d.png×ff3568347176094c397f57ef5cd4f507.pngf4946e1825336cdea0d704772214a9e2.png×2e1368c2f3307eccb0a58ce76a7e2ab1.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＝58325f6e284fe09c050288b36f567417.png＝168bdb444b9ad3c433424bcd1f31a491.png，

P(X＝2)＝C3f49e531c6a2bea761843bceebe64eaa.png×ff3568347176094c397f57ef5cd4f507.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png×2e1368c2f3307eccb0a58ce76a7e2ab1.pngf4946e1825336cdea0d704772214a9e2.png＝259d7adedb3611cd18a503a57aa2d43e.png＝4d7c51b77d38310363c58ec2d8246a2a.png，

P(X＝3)＝ff3568347176094c397f57ef5cd4f507.png3f839aec3c55ba4485a36e7d29b7bfaa.png＝417a36cd03f122764317b286721f6bcd.png.

所以随机变量X的分布列为

数学期望EX＝0×ada18b1a406b315e6f77d7d49c95419e.png＋1×168bdb444b9ad3c433424bcd1f31a491.png＋2×4d7c51b77d38310363c58ec2d8246a2a.png＋3×417a36cd03f122764317b286721f6bcd.png＝c6fbd2d8efd8643d686a5b84782a1a90.png.

6．若随机变量ξ的分布列如下表所示，Eξ＝1.6，则a－b＝________．

解析：易知a，b∈[0，1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

答案：－0.2

7．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．

(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X<μ＋2σ＝0.954 5)

解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋e63a6e9db5b4fc2c833fc9c7830c53d1.png＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8 186(件)．

答案：8 186

8．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望Eξ＝________．

解析：由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3.

P(ξ＝0)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＝bb010d0124134047afa3446d75d87956.png，

P(ξ＝1)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝760fbccbf128081668810b03f3374e35.png，

P(ξ＝2)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＋df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝c8a457d797c5b74447f8ee20c27ada22.png，

P(ξ＝3)＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.png.

所以Eξ＝0×bb010d0124134047afa3446d75d87956.png＋1×760fbccbf128081668810b03f3374e35.png＋2×c8a457d797c5b74447f8ee20c27ada22.png＋3×343a241c63d219b63bb365dc3fad756c.png＝b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png.

答案：b6ad479a47924ebb75f5c54d546eb338.png

9．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA，则在另外一组中逐个进行化验．

(1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；

(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望．

解：(1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA，再从另一组中任取一只进行化验，其恰含有病毒DNA，此种情况的概率为af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.pngc85ea61a82cae62592a388b99bb11e51.pngb17e577d3cf3b67aa3c703925acc6d1c.png×8af7b5836b623932922b319a591253e3.pngef5302b7470774d3ced9e9611432a86d.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.png32bb4eb2bb22c4391fd7af29fdb8e891.pngb17e577d3cf3b67aa3c703925acc6d1c.png×8af7b5836b623932922b319a591253e3.pngef5302b7470774d3ced9e9611432a86d.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png.

所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10，18，24，30，36.

P(η＝10)＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

P(η＝18)＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png×126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

P(η＝24)＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png×70e7efdd0b858341812e625a071abd09.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

P(η＝30)＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png×265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png，

P(η＝36)＝dce86acf8e7cbf373b1b85b330778472.png×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png×265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png×6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png，

则化验费η的分布列为

所以Eη＝10×fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋18×fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋24×fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋30×fdfdd2aaaa125d4b9b3386103d4c44a3.png＋36×7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png＝7950134cc56130baec4fc80c7936bb6c.png(元)．

10．某工厂的检验员为了检测生产线上生产零件的情况，现从产品中随机抽取了80个零件进行测量，根据测量的数据作出如图所示的频率分布直方图．

注：尺寸数据在[63.0，64.5)内的零件为合格品，频率作为概率．

(1)从产品中随机抽取4个，记合格品的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望；

(2)从产品中随机抽取n个，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值；

(3)为了提高产品合格率，现提出A，B两种不同的改进方案进行试验．若按A方案进行试验后，随机抽取15个产品，不合格品个数X的期望是2；若按B方案进行试验后，随机抽取25个产品，不合格品个数Y的期望是4.你会选择哪种改进方案？

解：(1)由频率分布直方图可知，抽取的产品为合格品的频率为(0.75＋0.65＋0.2)×0.5＝0.8，即抽取1个产品为合格品的概率为328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png，从产品中随机抽取4个，合格品的个数ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，则

P(ξ＝0)＝cc1ae4cc19f98107684f11b1f4096bc1.png814728fc46fefca70d03a14604e43f8e.png＝62b6b23f92a727ce185d72b415705825.png，

P(ξ＝1)＝C59d828cb4f7a0f59d28e80540e364b86.png×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png×cc1ae4cc19f98107684f11b1f4096bc1.png3f839aec3c55ba4485a36e7d29b7bfaa.png＝bbb6ed9a469de2b4ca637255cdbda6af.png，

P(ξ＝2)＝C16a448ff03551b36aa630e85e42fae4b.png×b7eb292508b730024fc2e914873ea132.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png×cc1ae4cc19f98107684f11b1f4096bc1.png2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png＝076e0043b3526095d6e757f557e43c61.png，

P(ξ＝3)＝C17cdb1f9076848725b91379ddf60f0ce.png×b7eb292508b730024fc2e914873ea132.png3f839aec3c55ba4485a36e7d29b7bfaa.png×126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png＝8e68db4b1c8e43d6098f74a06aef7c62.png，

P(ξ＝4)＝b7eb292508b730024fc2e914873ea132.png814728fc46fefca70d03a14604e43f8e.png＝8e68db4b1c8e43d6098f74a06aef7c62.png.

所以ξ的分布列为

ξ的数学期望Eξ＝4×328a3b93f04d7060c617a203f2e833c5.png＝b8d152f25354f4026288ed85e7c501b5.png.

(2)从产品中随机抽取n个产品，全是合格品的概率为b7eb292508b730024fc2e914873ea132.png8c592ee6536e16eebf7288f8f4dcea61.png，依题意得b7eb292508b730024fc2e914873ea132.png8c592ee6536e16eebf7288f8f4dcea61.png≥0.3，故n的最大值为5.

(3)设按A方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是a，则随机抽取15个产品，不合格品个数X～B(15，a)；设按B方案进行试验后，随机抽取1个产品是不合格品的概率是b，则随机抽取25个产品，不合格品个数Y～B(25，b)．

依题意得EX＝15a＝2，EY＝25b＝4，所以a＝1d6443aebfecd2dd342efc84d117218d.png，b＝12ecd081549a4262badd17efbe4f627d.png.

因为1d6443aebfecd2dd342efc84d117218d.png＜12ecd081549a4262badd17efbe4f627d.png，所以应选择方案A.

[综合题组练]

1．(2020·河南部分省级示范性高中联考)2018年是中国改革开放40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[20，30)，[30，40)，…，[70，80]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．

(1)现从年龄在[20，30)[30，40)[40，50)内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用ξ表示年龄在[30，40)内的人数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k名市民的年龄在[30，50)的概率为P(X＝k)(k＝0，1，2，…，20)．当P(X＝k)最大时，求k的值．

解：(1)按分层抽样的方法抽取的8人中，

年龄在[20，30)内的人数为17b6da8fce26bf32ead162c9a392dffe.png×8＝1，

年龄在[30，40)内的人数为c25c2c4d3c417a8d8328e8b4d8a5580c.png×8＝2，

年龄在[40，50)内的人数为47a88ea7dd06bf5d53bd27b1e2b7b022.png×8＝5.

所以X的可能取值为0，1，2，

所以P(X＝0)＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.pngb17e577d3cf3b67aa3c703925acc6d1c.pngeaddbbd9a4a54c6129e49d5b21a09946.png8cc677df29dbe557a8c702137475bd4e.png＝280cb5095f493c8c9fcd0ab597a176a2.png，P(X＝1)＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.png9821bb35aa178bfd5a7777a5279ffccf.pngbae3c9f3a70ec58c9ed3f9689a32456d.png8cc677df29dbe557a8c702137475bd4e.png＝3b35dae7410a822f1abd215de5741885.png，

P(X＝2)＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.png02a50e2920195ead7d539d4afede0b10.png11e12947477c8713d46d32a75735ac9a.png8cc677df29dbe557a8c702137475bd4e.png＝975f9094745db92a3507539983c5e0cd.png，

所以X的分布列为

EX＝0×280cb5095f493c8c9fcd0ab597a176a2.png＋1×3b35dae7410a822f1abd215de5741885.png＋2×975f9094745db92a3507539983c5e0cd.png＝265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png.

(2)设在抽取的20名市民中，年龄在[30，50)内的人数为X，X服从二项分布．由频率分布直方图可知，年龄在[30，50)内的频率为(0.010＋0.025)×10＝0.35，

所以X～B(20，0.35)．

所以P(X＝k)＝Cd1724bdc44943fec938a615a599105b4.png(0.35)k(1－0.35)20－k(k＝0，1，2，…，20)．

设t＝47ed3ac88ad261f8500a2c6472a4771e.png＝af2afb3476b59f53c5f33eb8e9f4d321.pngd1724bdc44943fec938a615a599105b4.pngc85ff89478e880a9195eecca1cd2e989.png＝6b9ead5759429e3f813ecf63f0e6dcbd.png(k＝1，2，…，20)，

若t>1，则k<7.35，P(X＝k－1)<P(X＝k)；若t<1，则k>7.35，P(X＝k－1)>P(X＝k)．

所以当k＝7时，P(X＝k)最大，即当P(X＝k)最大时，k＝7.

2．(2020·云南昆明检测)某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．

(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及EX；

(2)将(1)中的EX取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．

①求一棵B种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？

解：(1)由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，

则P(X＝0)＝0.2(1－p)2，

P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C3442a6eac0ff7348baca0f4be1323fd3.png×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，

P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C3442a6eac0ff7348baca0f4be1323fd3.png×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，

P(X＝3)＝0.8p2.

X的分布列为

所以E X＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.

(2)当p＝0.9时，E X取得最大值．

①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.

②记Y为n棵B种树苗的成活棵数，M(n)为n棵B种树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E Y＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M(n))＝350E Y－50n＝286n，要使E(M(n))≥200 000，则有n≥699.3.

所以该农户至少种植700棵B种树苗，就可获利不低于20万元．

3．(2019·高考全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.