2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．
一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合，
，则
________．
2．抛物线的焦点到准线的距离是______________．
3．若，其中
、
，
是虚数单位，则
_________．
4．已知函数，且有
，若
且
，则
的最大值是_______．
5．设等差数列满足
，
，
的前
项和
的最大值为
，则
=__________．
6．若（
），且
，则
_______________．
7. 方程在
上的解为_____________．
8. 设变量满足约束条件
则
的最大值为_____________．
9. 若一个正三棱柱的三视图如图所示，
则这个正三棱柱的表面积为__________．
10．已知定义在上的单调函数
的图像经过点
、
，若函数
的
反函数为，则不等式
的解集为 ．
11. 现有张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
张.从中任取
张,要求这
张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为____________．
12．已知函数，若
，关于
的方程
有三个不相等的实
数解，则的取值范围是__________．
13．在平面直角坐标系中，点列
，
，…，
，…，满
足若
，则
_______．
14．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
，若
，则
____________．
二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在△中，“
”是“
”的……………………………………（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．已知平面直角坐标系内的两个向量，
，且平面内的任一向
量都可以唯一的表示成
为实数），则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C．
D．
17．设双曲线（
，
）的虚轴长为
，焦距为
，则双曲线的渐
近线方程为……………………………………………………………………………（ ）
A． B．
C．
D．
18．在四棱锥中，
，
分别为侧棱
，
的中点，则四面体
的体积与四棱锥
的体积之比为……………………………………………（ ）
A． B．
C．
D．
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
在△中，已知
，外接圆半径
．
（1）求角的大小；
（2）若角，求△
面积的大小.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，四棱锥的底面
为菱形，
平面
，
，
，
、
分别为
、
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥的体积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数与时刻
（时）的关系为
，
，其中
是与气象有关的参数，且
．若用每天
的最大值为当天的综合污染指数，并记作
．
（1）令，
，求
的取值范围；
（2）求的表达式，并规定当
时为综合污染指数不超标，求当
在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知椭圆（
）的焦距为
，且椭圆
的短轴的一个端点与左、右焦点
、
构成等边三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆上
上任意一点，求
的最大值与最小值；
（3）试问在轴上是否存在一点
，使得对于椭圆上任意一点
，
到
的距离与
到直线
的距离之比为定值．若存在，求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数，其中
．定义数列
如下：
，
,
．
（1）当时，求
，
，
的值；
（2）是否存在实数，使
，
，
构成公差不为
的等差数列？若存在，请求出实数
的值；若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到
，使得
．
2014学年嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷（文）参考答案与评分标准
一．填空题（本大题有14题，每题4分，满分56分）
1．或
2．
3．
4．
5． 6．
7．
8．
9． 10．
11．
12． 13．
14．
二．选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）
15．B 16．D 17．C 18．C
三．解答题（本大题共有5题，满分74分）
19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
（1）由题意，，
因为，所以
，故
，……（2分）
解得（舍），或
． ………………（5分）
所以，． ………………（6分）
（2）由正弦定理，，得
，所以
． ………（2分）
因为，由
，得
， …………（4分）
又，所以△
的面积
． …………（6分）
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）连结
，由已知得△
与△
都是正三角形，
所以，，
， ………………（1分）
因为∥
，所以
，……………（2分）
又平面
，所以
，……（4分）
因为，所以
平面
．…（6分）
（2）因为，……（2分）
且， …………………………（4分）
所以，． ………………（8分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
（1）当时，
； ………………（2分）
当时，因为
，所以
， ……………………（4分）
即的取值范围是
． ……………………………………（5分）
（2）当时，由（1），令
，则
， …………（1分）
所以 ………………（3分）
于是，在
时是关于
的减函数，在
时是增函数，
因为，
，由
，
所以，当时，
；
当时，
，
即 ………………………………（6分）
由，解得
． ………………………………（8分）
所以，当时，综合污染指数不超标． …………………………（9分）
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）已知，，
， ……………………（2分）
所以， ……………………………………（3分）
所以椭圆的标准方程为． ……………………（4分）
（2），
，设
，则
，
，
（
）， ……………………（2分）
因为，所以，
，…（4分）
由，得
的最大值为
，最小值为
． …………………………（6分）
（3）假设存在点，设
，
到
的距离与
到直线
的距离之比为定值
，则有
， ………………………………………………（1分）
整理得， ……………………………………（2分）
由，得
对任意的
都成立． ………………………………………………………………（3分）
令，
则由得
①
由得
②
由，得
③
由①②③解得得，
． …………………………（5分）
所以，存在满足条件的点，
的坐标为
． ………………………（6分）
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
（1）因为，故
， ………………………………（1分）
因为，所以
，…………（2分）
， …………（3分）
． …………（4分）
（2）解法一：假设存在实数，使得
，
，
构成公差不为
的等差数列．
则得到，
，
．…（2分）
因为，
，
成等差数列，所以
， …………3分
所以，，化简得
，
解得（舍）,
． …………………………………（5分）
经检验，此时的公差不为0，
所以存在，使得
，
，
构成公差不为
的等差数列． …………（6分）
方法二：因为，
，
成等差数列，所以
，
即， …………………………………………（2分）
所以，即
．
因为公差，故
，所以
解得
． ………（5分）
经检验，此时，
，
的公差不为0．
所以存在，使得
，
，
构成公差不为
的等差数列． …………（6分）
（3）因为, …………（2分）
又 , 所以令
…………………………（3分）
由，
，……，
，
将上述不等式全部相加得，即
， …………………（5分）
因此要使成立，只需
，
所以，只要取正整数，就有
．
综上，当时，总能找到
，使得
．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/1742b29eb7360b4c2f3f643d.html
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