山西省山西大学附中2019届高三数学下学期3月模块诊断试题理95

山西大学附属中学2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

一、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，集合中至少有个元素，则（ ）

A． B． C． D．

2. 复数的实部与虚部之差为（ ）

A．-1 B．1 C． D．

3. 已知，则（ ）

A． B． C． D．

4．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）

A． B． C． D．

5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）

A．72种 B．36种 C．24种 D．18种

6. 当输入word/media/image27_1.png的值为word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png的值为word/media/image30_1.png时，执行如图所示的程序框图，则输出的word/media/image31_1.png的结果是（ ）

A．word/media/image32_1.png B．word/media/image33_1.png C．word/media/image34_1.png D．word/media/image35_1.png

7. 已知函数word/media/image37_1.png，则word/media/image38_1.png的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

8．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）

A．点到平面的距离

B．直线与平面所成的角

C．三棱锥的体积

D．△的面积

9．已知函数，则函数满足（ ）

A．最小正周期为 B．图象关于点对称

C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称

10. 设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

11. 设双曲线word/media/image79_1.png的左、右焦点分别为word/media/image80_1.png，word/media/image81_1.png，过word/media/image82_1.png的直线分别交双曲线左右两支于点word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png，连结word/media/image85_1.png，word/media/image86_1.png，若word/media/image87_1.png，word/media/image88_1.png，则双曲线word/media/image89_1.png的离心率为（ ）

A．word/media/image90_1.png B．word/media/image91_1.png C．word/media/image92_1.png D．word/media/image93_1.png

12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是

14．已知点及抛物线上一动点则的最小值是　　　

15. 已知数列word/media/image109_1.png为正项的递增等比数列，word/media/image110_1.png，word/media/image111_1.png，记数列word/media/image112_1.png的前word/media/image113_1.png项和为word/media/image114_1.png，则使不等式word/media/image115_1.png成立的正整数word/media/image116_1.png的最大值为_______．

16. 已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，证明：．

18．（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形word/media/image126_1.png，word/media/image127_1.png，word/media/image128_1.png，word/media/image129_1.png，word/media/image130_1.png、word/media/image131_1.png分别是word/media/image132_1.png的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线word/media/image133_1.png、word/media/image134_1.png折起，使得点word/media/image135_1.png和点word/media/image136_1.png重合，记为点word/media/image137_1.png，如图（2）．

（1）求证：平面word/media/image138_1.png平面word/media/image139_1.png；

（2）求平面word/media/image140_1.png与平面word/media/image141_1.png所成锐二面角的余弦值．

19．（本小题满分12分）

某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．

表1：设备改造后样本的频数分布表

（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;

（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在word/media/image151_1.png内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在word/media/image152_1.png或word/media/image153_1.png内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．

20．设椭圆word/media/image155_1.png的离心率为word/media/image156_1.png，圆word/media/image157_1.png与word/media/image158_1.png轴正半轴交于点word/media/image159_1.png，圆word/media/image160_1.png在点word/media/image161_1.png处的切线被椭圆word/media/image162_1.png截得的弦长为word/media/image163_1.png．

（1）求椭圆word/media/image164_1.png的方程；

21. 已知函数,其中为实数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，求证：．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在射线上，且满足．

（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．

山西大学附属中学

2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断

数学试题（理）

第Ⅰ卷（共60分）

二、 选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合，集合中至少有个元素，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

试题分析：由集合中至少有个元素，则，解得，故选B.

2. 复数的实部与虚部之差为（ ）

A．-1 B．1 C． D．

【答案】B

3. 已知，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

所以，故选C．

4．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设与的夹角为，，，，，∴向量在方向上的投影为，

故选D．

5．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（ ）

A．72种 B．36种 C．24种 D．18种

5．【答案】B

【解析】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，

则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，

若甲村有1外科，2名护士，则有word/media/image200_1.png，其余的分到乙村，

若甲村有2外科，1名护士，则有word/media/image201_1.png，其余的分到乙村，

则总共的分配方案为word/media/image202_1.png种，故选B．

6. 当输入word/media/image27_1.png的值为word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png的值为word/media/image30_1.png时，执行如图所示的程序框图，则输出的word/media/image31_1.png的结果是（ ）

A．word/media/image32_1.png B．word/media/image33_1.png C．word/media/image34_1.png D．word/media/image35_1.png

【答案】C

【解析】模拟程序的运行，可得word/media/image203_1.png，word/media/image204_1.png，

满足条件word/media/image205_1.png，满足条件word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png，

满足条件word/media/image208_1.png，不满足条件word/media/image209_1.png，word/media/image210_1.png，

满足条件word/media/image211_1.png，不满足条件word/media/image212_1.png，word/media/image213_1.png，

不满足条件word/media/image214_1.png，输出word/media/image215_1.png的值为4．故选C．

7. 已知函数word/media/image37_1.png，则word/media/image38_1.png的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

7．【答案】A

【解析】由于word/media/image216_1.png，排除B选项．

由于word/media/image217_1.png，word/media/image218_1.png，word/media/image219_1.png，函数单调递减，排除C选项．

由于word/media/image220_1.png，排除D选项．故选A．

8．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ）

A．点到平面的距离

B．直线与平面所成的角

C．三棱锥的体积

D．△的面积

8.【答案】B

【解析】

试题分析：将平面延展到平面如下图所示，由图可知，到平面的距离为定值.由于四边形为矩形，故三角形的面积为定值，进而三棱锥的体积为定值.故A，C，D选项为真命题，B为假命题.

9．已知函数，则函数满足（ ）

A．最小正周期为 B．图象关于点对称

C．在区间上为减函数 D．图象关于直线对称

9.【答案】D

【解析】

，所以函数最小正周期为，将代入，为故直线为函数的对称轴，选D.

10. 设锐角的三个内角，，的对边分别为，，，且，，则周长的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为为锐角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因为，

所以，又因为，所以；由，

即，所以，令，

则，又因为函数在上单调递增，所以函数值域为，故选：C．

11. 设双曲线word/media/image79_1.png的左、右焦点分别为word/media/image80_1.png，word/media/image81_1.png，过word/media/image82_1.png的直线分别交双曲线左右两支于点word/media/image83_1.png，word/media/image84_1.png，连结word/media/image85_1.png，word/media/image86_1.png，若word/media/image87_1.png，word/media/image88_1.png，则双曲线word/media/image89_1.png的离心率为（ ）

A．word/media/image90_1.png B．word/media/image91_1.png C．word/media/image92_1.png D．word/media/image93_1.png

11．【答案】B

【解析】结合题意可知，设word/media/image245_1.png，则word/media/image246_1.png，word/media/image247_1.png，

则结合双曲线的性质可得，word/media/image248_1.png，word/media/image249_1.png，

代入，解得word/media/image250_1.png，∴word/media/image251_1.png，word/media/image252_1.png，word/media/image253_1.png，

对三角形word/media/image254_1.png运用余弦定理，得到

word/media/image255_1.png，

解得word/media/image256_1.png．故选B．

12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

答案：D

解答：

【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.

因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：

，即，记，，设直与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍），所以切线的斜率为，由图像可以得．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是

13．【答案】

试题分析：由题意得，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，平移直线过点时，有最小值为；平移直线过点时，有最大值为，所以的取值范围是，

14．已知点及抛物线上一动点则的最小值是　　　

14．【答案】2

15. 已知数列word/media/image109_1.png为正项的递增等比数列，word/media/image110_1.png，word/media/image111_1.png，记数列word/media/image112_1.png的前word/media/image113_1.png项和为word/media/image114_1.png，则使不等式word/media/image115_1.png成立的正整数word/media/image116_1.png的最大值为_______．

15．【答案】6

【解析】数列word/media/image109_1.png为正项的递增等比数列，word/media/image110_1.png，word/media/image287_1.png，

即word/media/image288_1.png，解得word/media/image289_1.png，则公比word/media/image290_1.png，∴word/media/image291_1.png，

则word/media/image292_1.png，∴word/media/image115_1.png，

即word/media/image293_1.png，得word/media/image294_1.png，此时正整数word/media/image295_1.png的最大值为6．故答案为6．

16（理）. 已知在四面体中，，则该四面体的体积的最大值为___________．

word/media/image296_1.png16．答案：

解析：取中点，连接，要使得四面体的体积最大，

则必有平面平面，设，

则，

则，

则，令，得，当时，取得最大值．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

(理)17．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和为，证明：．

17．解析：

（1）当时，，即，…………1分

当时， ①，

②…………2分

，得，

即，………………………………3分

所以，

且，………………………………………………………………………………4分

所以数列为常数列，…………………………5分

，即．…………………………………………6分

（2）由（1）得，所以，………8分

所以，……………………9分

，………………10分

…………………11分

．……………………………………12分

18．（本小题满分12分）如图（1），等腰梯形word/media/image126_1.png，word/media/image127_1.png，word/media/image128_1.png，word/media/image129_1.png，word/media/image130_1.png、word/media/image131_1.png分别是word/media/image132_1.png的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线word/media/image133_1.png、word/media/image134_1.png折起，使得点word/media/image135_1.png和点word/media/image136_1.png重合，记为点word/media/image137_1.png，如图（2）．

（1）求证：平面word/media/image138_1.png平面word/media/image139_1.png；

（2）求平面word/media/image140_1.png与平面word/media/image141_1.png所成锐二面角的余弦值．

18．【答案】（1）见解析；（2）word/media/image329_1.png．

【解析】（1）word/media/image130_1.png、word/media/image131_1.png是word/media/image132_1.png的两个三等分点，易知，word/media/image330_1.png是正方形，故word/media/image331_1.png，

又word/media/image332_1.png，且word/media/image333_1.png，∴word/media/image334_1.png面word/media/image335_1.png

又面word/media/image139_1.png，∴平面word/media/image138_1.png平面word/media/image139_1.png．

（2）过word/media/image337_1.png作word/media/image338_1.png于word/media/image339_1.png，过word/media/image340_1.png作word/media/image341_1.png的平行线交word/media/image342_1.png于word/media/image343_1.png，则word/media/image344_1.png面word/media/image345_1.png，

又word/media/image346_1.png，word/media/image347_1.png，word/media/image348_1.png所在直线两两垂直，以它们为轴建立空间直角坐标系，

则word/media/image350_1.png，word/media/image351_1.png，word/media/image352_1.png，word/media/image353_1.png，

∴word/media/image354_1.png，word/media/image355_1.png，word/media/image356_1.png，word/media/image357_1.png，

设平面word/media/image358_1.png的法向量为word/media/image359_1.png，

则word/media/image360_1.png，∴word/media/image361_1.png，word/media/image362_1.png，

设平面word/media/image363_1.png的法向量为word/media/image364_1.png，

则word/media/image365_1.png，∴word/media/image366_1.png，word/media/image367_1.png，

word/media/image368_1.png．

∴平面word/media/image369_1.png与平面word/media/image370_1.png所成锐二面角的余弦值word/media/image371_1.png．

19．（本小题满分12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后样本的频数分布表．

表1：设备改造后样本的频数分布表

（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值;

（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在word/media/image151_1.png内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在word/media/image152_1.png或word/media/image153_1.png内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元．根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率．现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望．

18．解：（1）根据图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下

． ……………………………………………………………………………1分

样本的质量指标平均值为． ……………………………………………2分

根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为． ………………………3分

（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，，，

故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，，． …………4分

随机变量的取值为：240，300，360，420，480．………………………………………5分

， ，

， ，

，…………………………………………………………………10分

所以随机变量的分布列为：

…………………………………………………………………11分

所以．………………12分

20．设椭圆word/media/image155_1.png的离心率为word/media/image156_1.png，圆word/media/image157_1.png与word/media/image158_1.png轴正半轴交于点word/media/image159_1.png，圆word/media/image160_1.png在点word/media/image161_1.png处的切线被椭圆word/media/image162_1.png截得的弦长为word/media/image163_1.png．

（1）求椭圆word/media/image164_1.png的方程；

（2）设圆word/media/image392_1.png上任意一点word/media/image393_1.png处的切线交椭圆word/media/image394_1.png于点word/media/image395_1.png，word/media/image396_1.png，试判断word/media/image397_1.png是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

20．【答案】（1）word/media/image398_1.png；（2）见解析．

【解析】 （1）设椭圆的半焦距为word/media/image399_1.png，由椭圆的离心率为word/media/image400_1.png知，word/media/image401_1.png，word/media/image402_1.png，

∴椭圆word/media/image403_1.png的方程可设为word/media/image404_1.png．易求得word/media/image405_1.png，∴点word/media/image406_1.png在椭圆上，

∴word/media/image407_1.png，解得word/media/image408_1.png，∴椭圆word/media/image409_1.png的方程为word/media/image410_1.png．

（2）当过点word/media/image411_1.png且与圆word/media/image412_1.png相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为word/media/image413_1.png，

由（1）知，word/media/image414_1.png，word/media/image415_1.png，word/media/image416_1.png，word/media/image417_1.png，word/media/image418_1.png，∴word/media/image419_1.png．

当过点word/media/image420_1.png且与圆word/media/image421_1.png相切的切线斜率存在时，

可设切线的方程为word/media/image422_1.png，word/media/image423_1.png，word/media/image424_1.png，

∴word/media/image425_1.png，即word/media/image426_1.png．

联立直线和椭圆的方程得word/media/image427_1.png，

∴word/media/image428_1.png，得word/media/image429_1.png．

∵word/media/image430_1.png，word/media/image431_1.png，

∴word/media/image432_1.png

word/media/image433_1.png

word/media/image434_1.png，

∴word/media/image435_1.png．

综上所述，圆word/media/image392_1.png上任意一点word/media/image393_1.png处的切线交椭圆word/media/image394_1.png于点word/media/image395_1.png，word/media/image396_1.png，都有word/media/image436_1.png．

在word/media/image437_1.png中，由word/media/image438_1.png与word/media/image439_1.png相似得，word/media/image440_1.png为定值．

21. 已知函数,其中为实数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个极值点，求证：．

【答案】 (1)单调减区间为,,单调减区间为．

(3)见解析

【解析】(1)，函数的定义域为，

若,即,则,此时的单调减区间为;

若,即,则的两根为,

此时的单调减区间为,,单调减区间为．

3.此时的单调增区间为, 单调减区间为．

(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．

因为

要证,只需证．

构造函数，则，

在上单调递增,又,且在定义域上不间断,

由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．

则在上递减, 上递增,所以的最小值为．

因为,

当时, ,则,所以恒成立．

所以,所以，得证．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．为曲线上的动点，点在射线上，且满足．

（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）设与轴交于点，过点且倾斜角为的直线与相交于两点，求的值．

答案：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

解答：

【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点的极坐标的关系找到点的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线的参数方程，依据参数的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.

（Ⅰ）设的极坐标为，的极坐标为，

由题设知．所以， ………………2分

即的极坐标方程，所以的直角坐标方程为． ………………5分

（Ⅱ）交点，所以直线的参数方程为（为参数），

曲线的直角坐标方程，

代入得：，， ………………8分

设方程两根为，则分别是对应的参数，

所以． ………………10分

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（1）当时，解不等式；

（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，原不等式可化为．

①当时，原不等式可化为，解得，所以；

②当时，原不等式可化为，解得，所以；

③当时，原不等式可化为，解得，所以．

综上所述，当时，不等式的解集为．·····5分

（2）不等式可化为，

依题意不等式在恒成立，

所以，即，即，

所以．解得，

故所求实数的取值范围是．·····10分

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