2019-2020学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷

2019-2020学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（下列各题的四个备选答案中，其中有一个答案是正确的.每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．3，3，6 B．1，5，5 C．1，2，3 D．8，3，4

3．（3分）下列代数式，，，，﹣，，，+3，中，分式有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2

4．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（　　）

A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7

5．（3分）在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、2）

6．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（3a2）3＝27a6 B．（a3）2＝a5

C．a3•a4＝a12 D．a6÷a3＝a2

7．（3分）已知：2m＝1，2n＝3，则2m+n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

8．（3分）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（　　）

A．5、5 B．2、8

C．5、5或2、8 D．以上结果都不对

9．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于点O，则图中全等的三角形共有（　　）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

10．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

二.填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝　 　．

12．（3分）计算 （﹣）﹣2+（﹣π）0＝　 　．

13．（3分）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是　 　．

14．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　 　．

15．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数　 　．

16．（3分）如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝16，BC＝12，△ABC的面积为70，则DE＝　 　．

17．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝10cm，点P关于射线OA对称点为点P1，点P关于射线OB对称点为点P2，连接P1P2，交OA于点C，交OB于点D，当△PCD的周长是10cm时，∠AOB的度数是　 　．

18．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为　 　．

三、解答题（19题每小题10分，20题小每题6分，21题12分，共34分）

19．（10分）因式分解：

（1）（x﹣1）（x﹣3）+1

（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

20．（12分）解方程：

（1）﹣＝1

（2）＝﹣1．

21．（12分）先化简，再求值，其中x＝5．

四.解答题（每小题12分，共24分）

22．（12分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（3，2）．

（1）将△ABC向下平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．并写出点A2，B2，C2的坐标．

23．（12分）已知：在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE，

（1）如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠2的度数为　 　；

（2）借助图2探究并直接写出∠1和∠2的数量关系　 　．

五.解答题（本题12分）

24．（12分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．

（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？

六、解答题（本题12分）

25．（12分）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴．

解得：n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

七.解答题（本题14分）

26．（14分）已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为　 　

（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！

（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．

2019-2020学年辽宁省葫芦岛市连山区八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（下列各题的四个备选答案中，其中有一个答案是正确的.每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．

2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　）

A．3，3，6 B．1，5，5 C．1，2，3 D．8，3，4

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行判断即可．

【解答】解：A、3+3＝6，不能构成三角形；

B、1+5＞5，能够组成三角形；

C、1+2＝3，不能构成三角形；

D、3+4＜8，不能构成三角形．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形三边关系，注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．

3．（3分）下列代数式，，，，﹣，，，+3，中，分式有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2

【分析】根据分式的定义逐个判断即可．

【解答】解：分式有：，，﹣，，，共5个，

故选：A．

【点评】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母．

4．（3分）随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为（　　）

A．6.5×107 B．6.5×10﹣6 C．6.5×10﹣8 D．6.5×10﹣7

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.00000065＝6.5×10﹣7．

故选：D．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．（3分）在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、2）

【分析】关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得答案．

【解答】解：∵点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），

∴点A的坐标为（3，2），

故选：B．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

6．（3分）下列运算正确的是（　　）

A．（3a2）3＝27a6 B．（a3）2＝a5

C．a3•a4＝a12 D．a6÷a3＝a2

【分析】根据同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．

【解答】解：∵（3a2）3＝27a6，

∴选项A符合题意；

∵（a3）2＝a6，

∴选项B不符合题意；

∵a3•a4＝a7，

∴选项C不符合题意；

∵a6÷a3＝a3，

∴选项D不符合题意．

故选：A．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．

7．（3分）已知：2m＝1，2n＝3，则2m+n＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

【分析】根据同底数幂的乘法法则解答即可．

【解答】解：∵2m＝1，2n＝3，

∴2m+n＝2m•2n＝1×3＝3．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

8．（3分）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（　　）

A．5、5 B．2、8

C．5、5或2、8 D．以上结果都不对

【分析】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．

【解答】解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；

当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．

故另两条边的长是5、5或2、8．

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

9．（3分）如图，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于点O，则图中全等的三角形共有（　　）

A．0对 B．1对 C．2对 D．3对

【分析】由“SAS”可证△ABE≌△ACE，可得∠B＝∠C，由“AAS”可证△BDO≌△CEO，即可求解．

【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，且∠B＝∠C，∠BOD＝∠COE，

∴△BDO≌△CEO（AAS）

∴全等的三角形共有2对，

故选：C．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．

10．（3分）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】如图，①根据三角形的内角和即可得到∠DAE＝∠F；②根据角平分线的定义得∠EAC＝，由三角形的内角和定理得∠DAE＝90°﹣∠AED，变形可得结论；③根据三角形的面积公式即可得到S△AEB：S△AEC＝AB：CA；④根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到∠AGH＝∠BAE+∠ACB．

【解答】解：如图，AE交GF于M，

①∵AD⊥BC，FG⊥AE，

∴∠ADE＝∠AMF＝90°，

∵∠AED＝∠MEF，

∴∠DAE＝∠F；故①正确；

②∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴∠EAC＝，

∠DAE＝90°﹣∠AED，

＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），

＝90°﹣（∠ACE+），

＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），

＝（∠ABD﹣∠ACE），

故②正确；

③∵AE平分∠BAC交BC于E，

∴点E到AB和AC的距离相等，

∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，

④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，

∴∠AGH＝∠MEF，

∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，

∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；

故选：D．

【点评】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

二.填空题（每小题3分，共24分）

11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝　20°　．

【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝70°，

∴∠B＝90°﹣70°＝20°，

故答案为：20°．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

12．（3分）计算 （﹣）﹣2+（﹣π）0＝　10　．

【分析】根据零指数幂的意义以及负整数幂的意义即可求出答案．

【解答】解：原式＝9+1＝10，

故答案为：10

【点评】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．

13．（3分）如果关于x的二次三项式9x2﹣mx+4是完全平方式，那么m的值是　±12　．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．

【解答】解：∵9x2﹣mx+4是一个完全平方式，

∴这两个数是3x和2，

∴mx＝±2×2×3x，

解得k＝±12；

故答案是：±12．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

14．（3分）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是　m≥2且m≠3　．

【分析】解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据x＝1是分式方程的增根，求出此时m的值，得到答案．

【解答】解：去分母得，

m﹣3＝x﹣1，

解得x＝m﹣2，

由题意得，m﹣2≥0，

解得，m≥2，

x＝1是分式方程的增根，所有当x＝1时，方程无解，即m≠3，

所以m的取值范围是m≥2且m≠3．

故答案为：m≥2且m≠3．

【点评】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．

15．（3分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，求∠CMA的度数　35°　．

【分析】先根据平行线的性质得到∠BAC＝70°，再根据基本作图得到AM平分∠BAC，则∠BAM＝∠CAM＝35°，然后根据平行线的性质得∠CMA的度数．

【解答】解：由作法得AM平分∠BAC，

∴∠BAM＝∠CAM，

∵AB∥CD，

∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝180°﹣110°＝70°，

∴∠BAM＝∠BAC＝35°，

∵AB∥CD，

∴∠CMA＝∠BAM＝35°．

故答案为35°．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．

16．（3分）如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝16，BC＝12，△ABC的面积为70，则DE＝　5　．

【分析】解：根据角平分线地理得到，△ABD与△CBD的面积之比为4：3；根据△ABC的面积为70，即可得到结论．

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，

∴＝＝，

∴＝，

∴△ABD与△CBD的面积之比为4：3；

∵△ABC的面积为70，△ABD与△CBD的面积之比为4：3，

∴△ABD的面积为40，

又AB＝16，

则DE＝5．

故答案为：5．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键．

17．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝10cm，点P关于射线OA对称点为点P1，点P关于射线OB对称点为点P2，连接P1P2，交OA于点C，交OB于点D，当△PCD的周长是10cm时，∠AOB的度数是　30°　．

【分析】根据轴对称得出OA为PP1的垂直平分线，OB是PP2的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出∠P1OA＝∠AOP＝∠P1OP，∠P2OB＝∠DOB＝POP2，PC＝CP1，OP＝OP1＝10cm，DP1＝PD，OP＝OP2＝10cm，求出△P1OP2是等边三角形，即可得出答案．

【解答】解：连接OP1，OP2，

∵点P关于射线OA对称点为点P1，点P关于射线OB对称点为点P2，

∴OA为PP1的垂直平分线，OB是PP2的垂直平分线，

∴∠P1OA＝∠AOP＝∠P1OP，∠P2OB＝∠DOB＝POP2，

∴PC＝CP1，OP＝OP1＝10cm，DP1＝PD，OP＝OP2＝10cm，

∴△P1OP2是等边三角形，

∴∠P1OP2＝60°，

∴∠AOB＝30°，

故答案为：30°

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△P1OP2是等边三角形是解此题的关键．

18．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3……在射线ON上，点B1、B2、B3……在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A2019B2019A2020的边长为　22018　．

【分析】根据图形的变化发现规律即可得结论．

【解答】解：观察图形的变化可知：

∵△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，

∵OA1＝1，

∴△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4……

边长分别为：20、21、22…

∴△A2019B2019A2020的边长为22018．

故答案为22018．

【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是通过观察图形的变化寻找规律．

三、解答题（19题每小题10分，20题小每题6分，21题12分，共34分）

19．（10分）因式分解：

（1）（x﹣1）（x﹣3）+1

（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

【分析】（1）直接去括号进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可；

（2）直接提取公因式（x﹣y），进而利用平方差公式分解因式即可．

【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1

＝x2﹣4x+3+1

＝（x﹣2）2；

（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）

＝（x﹣y）（a2﹣4b2）

＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

20．（12分）解方程：

（1）﹣＝1

（2）＝﹣1．

【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，

移项合并得：﹣x＝﹣2，

解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解；

（2）去分母得：15x﹣12＝4x+10﹣3x+6，

移项合并得：14x＝28，

解得：x＝2，

经检验x＝2是增根，分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

21．（12分）先化简，再求值，其中x＝5．

【分析】直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝（﹣）×

＝×

＝，

当x＝5时，

原式＝．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

四.解答题（每小题12分，共24分）

22．（12分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，3），B（1，1），C（3，2）．

（1）将△ABC向下平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；

（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．并写出点A2，B2，C2的坐标．

【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；

（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出点A2，B2，C2的坐标，然后描点即可．

【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作，A2（﹣2，3），B2（﹣1，1），C2（﹣3，2）．

【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．

23．（12分）已知：在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC，AC上的一点，且AD＝AE，

（1）如图1，若∠BAC＝90°，D是BC中点，则∠2的度数为　22.5°　；

（2）借助图2探究并直接写出∠1和∠2的数量关系　∠1＝2∠2　．

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．

（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED＝∠EDC+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，进而得出∠BAD＝2∠CDE．

【解答】解：（1）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵∠B＝∠C，∠BAC＝90°，D是BC中点，

∴∠BAD＝45°，

∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，

即∠BAD＝2∠CDE，

∴∠2＝22.5°；

（2）∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，

∵AD＝AE，

∴∠AED＝∠ADE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，

即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．

【点评】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律．

五.解答题（本题12分）

24．（12分）倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A，B两种健身器材若干件，经了解，B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件．

（1）A，B两种健身器材的单价分别是多少元？

（2）若今年两种健身器材的单价和去年保持不变，该社区计划再购进A，B两种健身器材共50件，且费用不超过21000元，请问：A种健身器材至少要购买多少件？

【分析】（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，根据“B种健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍，用7200元购买A种健身器材比用5400元购买B种健身器材多10件”，即可得出关于x，y的分式方程，解之即可得出结论；

（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，根据总价＝单价×数量结合这次购买两种健身器材的总费用不超过21000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设A种型号健身器材的单价为x元/套，B种型号健身器材的单价为1.5x元/套，

根据题意，可得：，

解得：x＝360，

经检验x＝360是原方程的根，

1.5×360＝540（元），

因此，A，B两种健身器材的单价分别是360元，540元；

（2）设购买A种型号健身器材m套，则购买B种型号的健身器材（50﹣m）套，

根据题意，可得：360m+540（50﹣m）≤21000，

解得：m≥33，

因此，A种型号健身器材至少购买34套．

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

六、解答题（本题12分）

25．（12分）仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得

x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）

则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n

∴．

解得：n＝﹣7，m＝﹣21

∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．

【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．

【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）

2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）

则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）

∴（6分）

解得：a＝4，k＝20（8分）

故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）

【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．

七.解答题（本题14分）

26．（14分）已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为　AB＝2PE　

（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！

（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．

【分析】（1）根据非负数的性质分别求出m、n，证明△POC≌△DPE，可得出OC＝PE，由AB＝2OC，则结论得出；

（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，证明△POC≌△DPE，根据全等三角形的性质得到OC＝PE，可得到答案；

（3）证明△POB≌△DPA，得到PA＝OB＝5，DA＝PB，根据坐标与图形性质解答即可．

【解答】解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，

∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，

∴m＝n＝5，

∴A（5，0）、B（0，5），

∴AC＝BC＝5，

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵D是x轴正半轴上一点，

∴点P在BC上，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS），

∴OC＝PE，

∵C为AB的中点，

∴AB＝2OC，

∴AB＝2PE．

故答案为：AB＝2PE．

（2）成立，理由如下：

∵点C为AB中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，

∵PO＝PD，

∴∠POD＝∠PDO，

∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE，

在△POC和△DPE中，

，

∴△POC≌△DPE（AAS），

∴OC＝PE，

又∠AOC＝∠BAO＝45°

∴OC＝AC＝AB

∴AB＝2PE；

（3）∵AB＝5，

∴OA＝OB＝5，

∵OP＝PD，

∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，

∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，

∴∠APD＝∠BOP，

在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA（SAS），

∴PA＝OB＝5，DA＝PB，

∴DA＝PB＝5﹣5，

∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，

∴点D的坐标为（10﹣5，0）．

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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日期：2020/3/6 15:22:30；用户：152********；邮箱：152********；学号：24559962

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