2019-2020下学期九年级数学专题复习资料六：含“相似”题型解题技巧例析

九年级数学下学期专题复习资料 六

含“相似”题型解题技巧例析

注：本复习以《相似》的内容为主.

一.知识链接

1.平行线分线段成比例定理及推论；

2相似三角形的性质；

3.三角形相似的判定；

4.相似多边形的性质和判定；

5.位似的定义以及相关性质.

……

二.常见的基本图形

三.典例精析

（一）.基础篇：

专题1.三点定形法

例1.如图，已知∥,相交于点；点为上一点，且.

求证： .

分析;

通过求证的结论“”的对应线段直接寻

找它们所在的三角形，然后通过两个三角形相似来解

决问题，我们把这个称为三点定形法.本例可一通过分子的的端点确定△,通过分母的的端点确定△;（这种称为“横找”三角形，也可以“竖找”三角形，也就是每一个比的分子和分母的端点来确定三角形.）从图中看，这两个三角形组成了一个 “反型”，它们有公共角 ，而由∥可以得出：,结合已知可以推出,则△∽△ ，问题即可解决.

证明：

∵∥

∴

∵

∴

∵

∴△∽△

∴.

口诀：遇等比，横找竖找定相似.

例2.如图，在△中， ,的垂直平分线交于点,交于点,交的延长线于点.

求证：.

分析;

可以先把等积式化成比例式：.

通过分子的确定△,通过分母的确定

△;从图中看，这两个三角形组成了一个 “反型”，它们也有公共角，通过垂直平分线、直角三角形以及等腰三角形的性质为桥梁可以使△∽△的另一对应角相等，从而得到相应的比例式，再把比例式化成等积式，问题解决.

证明：

∵

∴

∵

∴

∵

∴

∵是△的斜边的中线

∴ ∴ ∴

又

∴△∽△ ∴ ∴

口诀：遇等积，化等比，横找竖找定相似.

追踪练习：

1. 如图，点为△的边上的一点，连结,若.

⑴.求证：△∽△;

⑵.若,求的长？

2.如图，为△的角平分线，的中垂线(为垂足点)交的延长线于点.

求证：

3.如图，⊙的弦垂直于直径,如图.

⑴.求证：△≌△；

⑵.若，求的长.

4.如图，点是△的内心，的延长线交于点,交△

的外接圆于点.

⑴.求证：;

⑵.若,求的长.

专题2.常见辅助线

例1.在△中，为的中点，交于点，交的延长线于点.

求证：

分析;

我们把化成比例式,

“横找”、“竖找”都不能构成一对三角形来解决问

题，这种情况一般要通过转移比例的办法解决，也

就是找出中间比，没有现成的能作为中间比的的相

似比例线段就是要构造，也就是作辅助线来解决.

由的左边可以过点点作∥

交于点,这时会构成“型”和“型” 两

种基本图形构成的两对相似三角形，从中得出的的比

例式找出“中间比”。以此达到转移比例的目的.

证明：过点作∥交于点

∵∥

∴△∽△.△∽△

∴ ,

又为的中点

∴

∴(中间比：等比)

∴ 即.

口诀：遇燕尾，作平行，构造“型”“型”才得行.

“燕尾型”的图形中容易作辅助平行线构成“型”和“型”的相似三角形来作为桥梁.作辅助平行线要注意几点：其一.选点：一般选已知或求证的比例中在同一直线上的分点；其二.尽量使较多的已知和求证的线段成比例，并善于利用中间比（同比或等比）来转移比例.

例2.如图，在△中，,;直线∥∥，和之间的距离为1，和之间的鹅咀里是2，且、、分别经过，则边长为 .

分析;

本题要求边长容易想到根据勾股定理来解决，但直角边未知，根据,

的特殊性，利用直角三角形的性质或三角函数可以求得 ；我们可以把这个比转化为相似三角形的对应边的比，并且和平行线间的距离联系在一起，可以解决问题.

根据本题的图形特点，过点作直线的垂线并反向延长交于点，容易证明 ;

∴；由 ，可以推出 △∽△（实际上是“三垂直”相似三角形的基本模式），则,即

解得：;利用勾股定理： ,同理：

在△中根据勾股定理有：.

(注：这一个步骤也可以用锐角三角函数来求，殊途同归！) 故应填：.

口诀：直角多，垂线作，再难题目不用说.

直角多图形容易作辅助垂线构成“双垂直型”、“三垂直型”相似三角形，以对应边成比例来作为桥梁，且常串联起勾股定理和三角函数等知识点.

注：

在相似形中，添加辅助线除了作平行线、作垂线，还有延长、连接以及作中线等这里就不再一 一举例.

追踪练习：

1.如图，为△的中线，为的一点,且;若,求 的长？

2.如图，,为中点.求：①.;②. .

3.如图，在△中，,在上，点在的延长线上，且,连接交于点;求：的值.

4.在□中，为的中点， ;求的值.

5.如图，四边形中，∥,平分， ;若四边形的面积为21，求△的面积.

6.在 □中，;求证：.

7.如图，为⊙直径，弦,且;求的长.

（二）.提高篇：

专题1.等线段代换法

例.如图，四边形是平行四边形，点在的延长线

上，交于点,.

求证：.

分析：

可以先把等积式化成比例式：.“横找”：分子端点组成的△与分母端点组成△不具备相似的条件；“竖找”：前比端点组成的是△，后一个比是不同的四个端点，不能直接组成三角形；尝试失败后，我们发现“四边形是平行四边形”这个最重要的条件没用上，可以利用□对边相等 换一下线段试试.

此时比例式可化为.“横找”：△与△不相似；“竖找”：△与△组成“反型”，它们也有公共角,由，而的，一代换则,则 △∽△.问题解决.

证明：∵四边形是平行四边形

∴，

∵

∴

又

∴△∽△

∴

∴

又

∴

口诀：遇等积，化等比，横找竖找定相似；不相似，没关系，等线来代替.

专题2.等比代换法

例.如图，在△中，,于点，是

的中点,交的延长线于点.

求证：

分析：

可以先把等积式化成比例式：.“横找”：分子端点是四个，不能组成一个三角形，分母端点组成△不具备相似的前提；“竖找”：前比端点组成的是△，后一个比的端点组成△,两个三角形不具备相似的条件；但我们发现△和组成聊一个“双垂直”的基本图形，其中的△∽△可以得出三边对应成比例：;我们把这个比例式的后面两个比换一下的比可以得到两个比例式:和;其中通过派“横找”的方法可以得到△和△两个三角形组成“反型”的基本图形，利用题中条件可以推出△∽△，得到的比例式利用中间比（这里是等比）转移比例，问题即可解决.

证明：∵

∴

在△中,点是斜边的中点

∴

∴

又

∴

∵ ，

∴

∵

∴△∽△

∴

∵

∴△∽△

∴

∴

∴.

口诀：遇等积，化等比，横找竖找定相似；不相似，没关系，等比来代替.

专题3.等积代换法

例.如图，是△斜边上的高。在的延长线上任取一点

,连接,于点，交于点.

求证：.

分析：

可以先把等积式化成比例式后发现用“三点定形法”找相似三角形行不通.但我结合已知发现图中△和斜边上的高组成一个“双垂直型”的基本图形，利用条件得到△∽△可以得到 ,化成等积式有（若拓展了“射影定理”，可以直接运用.）;结合求证的代换一下：,化成比例式： ,通过“横找”有△和△，利用已知条件可以得到△∽△.问题即可解决.

证明：∵

∴

∴,

∴

∴△∽△

∴ 即

又

∴,且,

∴

∴△∽△

∴,即

又

∴

口诀：遇等积，化等比，横找竖找定相似；不相似，没关系，等积来代替.

综上三种情况的技巧是：

遇等积，化等比，横找竖找定相似；不相似，没关系，等线等比等积来代替.

追踪练习：

1.如图，在四边形中，,；

求的长.

（提示：连接,过点作的延长线于

点;作垂线构造相似三角形 ）

2.如图，已知△的边上有一点,边的延长线上有

一点,且,交于点.

求证：.（提示：作平行线构造相似三角形）

3.如图，在△中，，为的中点，于点.

求证：.

专题4.平行线转移比例例析（本专题的内容属于原创）：

例1. 如图，中，, .求的长？

分析：本题的破题思路不止一条，但已知线段和要求的线段均在边上，根据本题平行线的条件，比较容易通过建立比例式来解答；根据平行线截得的对应线段成比例可以比较容易发现有;由此转移可得比例式，问题便解决了.

解：∵

∴

∴

又∵

∴ 解得：

点评：根据本题的解答来看，需要的比例式没有现成的平行线和相似三角形来直接提供，但我们通过提供的比例式得出了一个中间比,通过这个中间比的桥梁作用，把和可以用“”练联系在一起. 本题的关键就是中间比，这个中间比是同一个比（简称同比）来转移（注意是“转移”， “等量代换”的说法不是很恰当）；由此可见，要找到同比的关键是看几组平行线是否有共分一条线段的特征（即看有没有共分点），本题在边上存在一个共分点是,因此找到同比来转移比例便是顺理成章的.

例2. 在四边形中，交于,交于.

求证：

分析：证两直线平行，以前我们有五、六种方法，现在由比列线段来证明两直线平行又是一条途径；本题已知是平行线，要求证的是平行线，通过找角的关系证明比较困难，所以我们自然而然的想到用比例线段来解决这个问题.但截得线段主要在点这个框架内，要找到相应的比例式也比较困难；但已知条件中有，若我们能证明,问题就解决了，证明所需要的比例式中的相关线段，恰好与是“共用”的，特别是两组平行线还有共分的线段,有一个共分点我们用例1的办法便可获得解决.

证明：∵

∴

∴

∴

又∵

∴

点评：本题的关键是找到（其它对应线段的比例式也可）来证明.我们抓住恰好有两组平行线还有共分的线段,有一个共分点，从而根据平行线得出的比例式中有一个中间比（同比）来转移比例得到比例式，从而突破口本题的关键.

例3.已知梯形中，，分别是上的点，且,连结并延长相交于边的延长线和于点.

求证：

分析：本题从求证的入手，所在的三角形是和，显然没有使这两个三角形全等的条件.其实当我们学习了比列线段后，通过线段所在的比例式的分子（或分母）的线段相等来证明分母（或分子）中的线段相等.比如本题线段除了是梯形腰上 的线段，同时也是和两边共用的线段，若有，问题便解决了.

由题中的条件很容易得到即,可以得到∽、∽,可以得到,如果就能得到，而也同样可以由的到.

证明：∵ 即

∴∽、∽

∴

∵，

∴

∴ ∴ ∵ ∴

点评：本题证明线段相等是通过比例式这样一个“载体”来获得解决的，这种破题的技巧希望同学们也应在脑海中留下记忆，它给我们又提供了又一条证明线段相等的途径.

当然符合这样一个比例式的得出才是本题的一个关键，与例1、例2相比，其它的大同小异，只是转移比例的中间比不是同一个比，而是一个等比（这里的等比不是一个比，而是一个比例式，也就是两个比相等）正是由于中间比这个等比使转移比例得到，从而证得.当然提供等比一定要注意图形平行线或相似三角形（特别注意 “”字型或“”字型等基本图形所提供的比例式的桥梁作用）提供的比例式与要证明的结论的联系.

下面我们共同来总结一下这个专题这几道例题给我们的启示：

1.许多证明两直线平行、两线段相等的结论，需要比例式才能推出，比如例2、例3；

2.所需比例式往往要由已知条件推出的比例式转移比例才能得出；

3.转移比例需要由平行线提供中间比（同比或等比）；

4.找出中间比要注意：同分线段和基本图形的牵线搭桥的作用；

5.这类几何计算、证明题的推理的一般路径是：已知→相关比例式→找出中间比（同比或等比）→转移成所需比例式→结论.

追踪练习：

1.如图，已知四边形，连结,是对角线的任意一点，

过作,连结.

求证：

2.如图，已知菱形，点为边延长线上的一点，连结

交于点,连结,过作,交于.

求证：

3. 如图为的中线，交于点.

求证：

4.已知梯形中，，腰上的一线段交对角线分别于

求证：

变式：若改为是梯形的中位线，

请探索之间的数量关系？

5. 如图，,与交于点,过点作交于点.

求证：

6. 已知正方形，点为边延长线上的一点,连结交

于点,连结,过作,交于.

求证：

7.如图在中，.

求的长？

8.如图，点是边上的点， 若.

求证：

赵化中学 郑宗平 2020.3. 29整理编创

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/12cdbc94ac02de80d4d8d15abe23482fb5da021a.html