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中文摘要 I
Abstract II
引言 1
1.伯努利方程的解法 1
1.1变量代换法 1
1.1.1一般解法 1
1.1.2函数变换法 2
1.1.3 求导法 2
1.1.4恰当导数法 3
1.2常数变易法 4
1.3积分因子法 5
1.4解法举例 5
2.伯努利方程的应用 10
2.1在一阶微分方程中的应用 10
2.1.1在形如（
存在且不为零）方程中的应用 10
2.1.2在形如方程中的应用 11
2.1.3在黎卡提方程中的应用 11
3．总结 18
参考文献 19
致谢 20
在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如，其中
、
为
的连续函数，
为常数且
0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多学者都致力于研究伯努利方程的求解
。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。
本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。
伯努利方程：
（
0，1）………（1.0）
其一般解法步骤如下：
⑴ 方程两端同除以得：
.
⑵ 变量代换
令即可化为一阶线性微分方程：
．
⑶ 常数变易
通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解．
⑷ 变量代换
最后将z代换得原方程的通解：
．
C为任意常数
设是（1.0）式的解，则对
两边求导得：
，
将上式代入方程得：
，
整理得：
……… （1.1）
令解得：
，将其代入（1.1）式得：
，
整理得：
，
两边积分得：
，
故伯努利方程的通解为：
．
C为任意常数
令，
对上式两边求导得：
，
即有：
，
代入（1.0）式得：
．
令 ，
．
解得：
，
．
这时伯努利方程变为，解得
.
于是得到伯努利方程的通解为：
．
C为任意常数
令，有
，
即：
．
则（1.0）式变形为：
，
，
，
，
设得：
，
（可分离变量微分方程）．
两边积分解之得：
，
用，
，回代得伯努利方程的通解为：
．
C为任意常数
常数变易法一：
（1.0）式的齐次方程的通解为：
．
设原方程（1.0）式的通解为：
，
代入（1.0）式得：
．
这是一个可分离变量的微分方程，可求出．
即： ，
则原方程的通解为:
．
C为任意常数
常数变易法二：
本方法的创新之处是先解方程word/media/image62_1.png………（1.2）,
利用变量分离法解式（a）得：y=(1-n)
[
]，
现把常数c 变易为待定的函数c( x),即y=(1-n)
[
（x）]
………(1.3),
对式(b)两边求微分得：word/media/image67_1.png……（1.4）,
由（1.0）、(1.3)、（1.4）式得word/media/image68_1.png。利用一阶线性方程的通解公式得
word/media/image69_1.png………（1.5），
把式（1.5）代入式(1.3)得word/media/image70_1.png,利用分部积分公式
word/media/image71_1.png，令
word/media/image72_1.png，
word/media/image73_1.png，则伯努利方程的通解为
word/media/image74_1.png.
C为任意常数。
当n>0时，方程还有解y=0.
将（1.0）式两端同除以整理为：
………（1.6）
有 word/media/image77_1.png．
则： word/media/image78_1.png，
只是关于的函数，则其积分因子为
，
，
将乘以(1.6)式得：
word/media/image81_1.png…………（1.7）
对（1.7）式右边进行凑微分得：
word/media/image82_1.png
两边同时积分得：
word/media/image83_1.png，
整理得：
word/media/image84_1.png
令c=/(1-n)
从而伯努利方程的通解为：
．
C为任意常数
利用上面各种求解方法求解方程的通解
解：现将方程变为标准型的伯努利方程，即
………①
解法一（变量代换、常数变易法）：在①两边同除以得：
令，则
由的通解经常数变易得
的通解为
(C为任意常数)
解法二（函数变换法）：令y=u(x)v(x)为①式的通解
由上述讲解知：,
令c=-c，则
(C为任意常数)
解法三（求导法）：
令
由上述讲解知：
(C为任意常数)
方法四（恰当导数法）：
令
由上述讲解知：
令c=-c，则
(C为任意常数)
方法五（直接常数变易法）：
（一）、对①式的其次方程的通解进行常数变易，从而得①式的通解
的通解为
经常数变易后设为①式的通解
，即
(C为任意常数)
（二）、先求的通解，然后再利用常数变易法求①式的通解
由上述讲解知： (C为任意常数)
六（积分因子法）：
化简题目中的方程为：………②
,
②式的积分因子为
为全微分方程
(C为任意常数)
注：从以上解法中可以看出：总体上运用了三种方法，即变量代换法、常数变易法、积分因子法。变量代换法的解题思路是将一阶非线性微分方程化为一阶线性非齐次方程或变量可分离方程。常数变易法的解题思路是将一阶非线性微分方程所对应的齐次方程的通解中的常数变成关于的函数，再代回原方程得一变量可分离方程。积分因子法的关键就是找到积分因子，将伯努利方程凑成全微分方程。例题中的六种解法，最容易先想到的就是一般解法和常数变易法，一般解法计算过程稍微有点复杂，常数变易法则相对简单一些。而恰当导数法计算过程复杂且不易想到。函数变换法、求导法应用技巧，计算过程稍微简单些。积分因子法使用巧妙，其计算过程简洁，方法简单。
令=
，有
，
则原方程化为：
．
此方程为伯努利方程，可求得．
故原方程的通解为：
．
例1：．
解：令，则
．
代入原方程得：
，
解得：
，
则原方程的通解为：
．
令代入上方程中，然后整理把
取作自变量．
则得到一个伯努利方程：
（2.1）
求得（2.1）的通解为：
,
然后将换成
得到原方程的通解.
例2：.
解：方程中．
设得：
，
把取作自变量，解这个伯努利方程得：
，
将换成
得原方程的通解为：
．
黎卡提方程：，其中
都是连续函数。
如果已知黎卡提方程的一个特解为：，
作变量替换，
则
，
代入原方程得：
.
由于是原方程的特解，因而满足:
，
所以
．
容易知道这是一个关于的伯努利方程且
，则由伯努利方程通解：
，
可求得：
，
即：
，
从而原方程的通解为：
．（其中
是常数）
例3：．
解：易知原方程的一个特解为，
作变量代换，
有代入原方程得：
，
整理得：
为伯努利方程，
解得：
．
又由得原方程的通解为：
．
文中所给解法对一般伯努利方程都行得通。在使用变量代换法时，可根据实际采用合适的变量替换。由于常数变易法我们在初学伯努利方程时就已经熟练掌握如何用常数变易法解一阶线性非齐次方程，从而用常数变易法解伯努利方程也就比较容易。对于积分因子法，它对伯努利方程来说是一种独特的方法，具有较好的实际应用价值。总之，在求解方程时，可采用简单的解法或你熟练掌握的解法。关于应用方面，本文只是给出了在一些微分方程中的应用，但在实际生活中，伯努利方程或许还有更多的应用，这有待于我们进一步去探讨。
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本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/123e0a65fe00bed5b9f3f90f76c66137ef064f35.html
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