圆的面积 第1课时 圆面积的意义和计算公式
◆ 与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。 教学内容：
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。 教科书第19～20页，圆面积的意义和圆面积计算公式的推导。
◆ 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。 教学提示：
教材首先通过“已知云南景洪的曼飞龙白塔的塔基是圆柱形石座，底面周长是42.6米，求这座塔基的占地面积”的实际情境提出圆面积的概念，使学生在以前所学知识的基础上理解“圆的面积就是它所占平面的大小”。
由于以前学生所求的图形面积都是多边形（如三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形等）的面积，而像圆这样的曲边图形的面积计算，学生还是第一次接触到。教材没有直给出圆的面积计算公式，而是先通过例1，把圆的面积与正方形的面积进行比较，利用数格子的方法估算圆的面积，使学生对圆的面积有一个初步的感性认识。进而引导学生运用转化的思想来推导圆的面积计算公式。
由于让学生完全自主地探索如何把圆转化成长方形是有很大难度的，教材上给出了明确的提示，让学生利用学具进行操作，在此基础上，让学生自主发现圆的面积与拼成的长方形面积的关系，圆的周长、半径和长方形的长、宽的关系，并推导出圆的面积计算公式。
最后，本节课教材安排了两道例题，例1用石塔占地突出圆面积的概念，强调与周长的区别。通过“估”和“数”的活动，使学生感受到圆的面积与r有关，为后面的圆面积公式的推导作准备。
感受过程：（1） 圆的面积比4个小正方形面积小，就是比4r²小。（2）用数方格的方式，让学生知道圆面积比3r²大。（3）结论：圆面积是半径平方的3倍多一些。
例2用实验的方法探索圆面积的计算公式。
实验的方式：（1）图形转化。（浸透极限思想）（2）讨论：平行四边形与圆的关系。（3）比较推理（4）归纳圆面积计算公式。
◆ 教学目标：
1.知识与技能：知道圆面积的含义。理解和掌握圆面积计算公式。会运用圆面积公式计算圆面积。
2.过程与方法：通过教具演示，渗透转化的数学思想和极限思想，使学生经历探索圆的面积计算公式的过程。
3.情感态度与价值观：激发学生参与教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
◆ 重点难点：
教学重点：圆面积的计算方法。
教学难点：推导圆面积计算公式。
◆ 教学准备:
教具准备：多媒体课件
学具准备：8和16等份的圆形纸片各1个，正方形、圆形物品、圆规、剪刀等。
◆ 教学过程：
（一）新课导入
（投影出示 ——《马儿的困惑》的场景）
谈话：同学们，你们知道马儿吃草的大小是一个什么图形呀？
预设：是一个圆形。
那么，要想知道马儿吃草的大小，就是求圆形的什么呢？
预设：圆的面积。
教师：今天我们就一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）
圆的面积是指的什么？
归纳：圆所占平面的大小，就是圆的面积。
【设计意图：通过“马儿的困惑”这一场景，让学生自己去发现问题，同时使学生感悟到今天要学习的内容与身边的生活息息相关、无处不在，同时了解学习任务，激发学生学习的兴趣。】
（二）探究新知
1.初步感知圆的面积。
（1）估一估圆的面积。
投影出示一个圆，如图。
有一个圆，并以圆的半径r为边长画一个小正方形。
请同学们估一估，圆的面积大约是小正方形面积的多少倍？
让学生独立思考，同桌合作交流，然后反馈学生估的结果。
预设：
生1：这个圆面上可以画4个这样的小正方形，但圆的面积没有四个小正方形的面积大。所以，我估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：这样的估计有道理。
生2：我不是想在圆面上画4个这样的小正方形。是想把这个圆对折两次后，平分成4等份，一等份的圆和大半个小正方形的面积相等，4等份一定比两个正方形大，比4个正方形小，所以，我也估计，圆的面积大约是小正方形面积的3倍。
教师给予肯定：分析得不错。难道圆的面积刚好是小正方形面积的3倍吗？
（2）数方格验证，得出结论。
提问：如果我们将正方形的边长r平均分成4份，在小正方形内就有16个方格。于是得到现在的图，(出示)你能用数方格的方法回答刚才的问题吗？(非常接近1格的算做1格，其余不足1格的算半格)
反馈学生数的结果：小正方形有16个方格，14圆里大约有13格。
教师接着问：整个圆里大约有多少个方格？(13×4=52)
52大约是16的多少倍？
师生共同小结：圆的面积是小正方形面积的3倍多一些，也就是半径平方(r2)的3倍多一些。
（板书：S=r2的3倍多。）
【设计意图：通过本环节让学生对圆的面积与正方形的面积进行比较，估一估圆的面积与正方形的面积的关系，然后通过数格子的方法进行验证，使学生对圆的面积有一个初步的感知，也为下面的推导圆的面积公式做好铺垫。】
2.探究圆的面积计算公式。
（1）谈话：刚才我们通过估一估，数一数，得出了圆的面积是半径平方的3倍多一些这一结论，这一结论对所有的圆都适用，也就是说，只要知道圆的半径，就能估算出圆的面积。
试一试：一个圆的半径是5 cm，它的面积大约是多少平方厘米？
让学生说说想法。
用这个方法只能估算出圆的面积。要想得到准确值还需要进一步探索圆的面积计算公式。
回想一下以前我们是怎样推导出平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的？
我们都是把这个图形转化成学过的图形，从而推导出它们的面积计算公式的。那我们能不能把圆也转化成学过的图形到来推导出圆的面积计算公式呢？
今天，我们就用这种方法把圆转化成已学过的图形。
教师：今天我们能否运用转化的方法研究圆的面积呢？那圆能转化成我们学过的什么图形？你们想知道吗？
（2）观察猜想：
课件出示：分成16等分的圆。
教师：圆是个曲线图形，想想它可能转化为什么图形呢？你是怎样想的？
（3）操作验证
教师指导：
让学生利用课前准备好的学具，选择其中一个圆形纸片（16等份或32等份），剪开，独立或与同伴合作拼成一个学过的平面图形。
教师指导学生拼图。
教师：谁想把你的结果展示出来？
“化曲为直”渗透极限思想
多媒体课件直观演示把圆分成64等份、128等份……转化成长方形的过程，使学生理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
教师提问：你们发现什么吗？
学生推导圆的面积公式（课件出示：32等分的圆转化为近似长方形）
教师：那么拼出来的这个近似的长方形和圆形之间有什么关系呢？
课件出示：拼成近似长方形和原来的圆的面积有什么关系？
近似的长方形的长相当于圆的哪一部分？近似长方形的宽又是圆的哪一部分？
根据汇报板书
指导学生推导公式
请同学们试一试，根据已经学过的长方形的面积公式，推导出圆的面积公式吧！
教师：圆的面积和什么有关？
让学生通过观察、分析。由看到16等份都是近似的等腰三角形而猜想出有可能转化成一个平行四边形、长方形、三角形、梯形等。然后学生回答。
（3）学生动手：
把圆形纸片剪成16份或32份，再拼成一个自己学过的图形。
（预设生成）学生可能拼成一个近似的平行四边形、长方形、三角形、梯形。
学生动手操作、观察后，汇报并展示结果，注重不同情况的展示。（贴在黑板上）
学生观察，渗透极限思想
学生观察多媒体的演示，理解如果把圆分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就会越接近长方形。
【设计意图：通过这一环节，渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出新的问题可以转化成旧的知识，利用旧知识解决新的问题。并借助电脑课件的演示，生动形象地展示了化曲为直的剪拼过程。】
学生交流汇报以上结果。
学生自主推导圆的面积公式
学生观察：发现涂色的圆分成上、下两个部分。
学生交流，汇报发现的结果：
①形状变化了，面积没相等。
②近似长方形的长相当于圆周长的一半。
③近似长方形的宽相当于半径（r） 指名学生进行汇报，投影演示“变曲为直”的过程。
教师这时给予学生鼓励性评价，然后接着提出，我们从多角度，多侧面推导出了圆的面积公式。如果我们用S表示圆的面积，r表示圆的半径。你会用字母表示圆的面积公式吗？
学生汇报，教师板书：
平行四边形的面积＝ 底 × 高
圆的面积 = ×
= C×r
=×2πr×r
= πr2
如果用字母S表示圆的面积，那圆的面积计算公式就是：S=πr2。
【设计意图：先让学生观察再猜想的方法，既培养了学生的空间想象力，又发展了学生的逻辑推理能力。激发学生想动手拼一拼的欲望。这个环节中，探究是开放的，学生通过观察、探讨，合作，归纳出圆的面积公式，突出重点。在探究的过程中体验成功的满足和喜悦，提高学生观察，探究能力。培养学合作精神。】
（三）巩固新知
分两组分别完成课堂活动第1、2题。
学生分两组分别进行测量，计算，教师适时给予指导。
学生做完之后两个小组进行交流，评价。
【设计意图：练习的设计，除激发学生的学习兴趣、有效巩固了新知外，更重要的是让学生动手操作，增强数学的应用意识，提高操作能力。】
（四）达标反馈
1.填空题。
（1）把一个圆分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形。这个长方形的长相当于（ ），长方形的宽就是圆的（ ）。因为长方形的面积是（ ），所以圆的面积是（ ）。
（2）圆的直径是6厘米，它的周长是（ ），面积是（ ）。
2.填表。
答案：
1.（1）圆周长的一半 半径 长×宽 πr2 （2）18.84 28.26
2.如下表。
（五）课堂小结
今天我们学了什么知识？是怎样学习的？你有什么感受吗？
同学们，猜想验证、操作发现是我们在数学学习中探索未知领域时经常要用到的方法，用好它相信同学们会有更多的发现！
【设计意图：全课总结不仅要重视学习结果的回顾再现，也要关注学习经验的反思提升。在这一过程中，学生不仅获得了知识，更重要的是学到了科学探究的方法。】
（六）布置作业
1.填空题。
（1）一个半径为4厘米的圆，把它平均剪成若干份后，拼成一个近似平行四边形，这个平行四边形的底是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）一个圆的半径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
（3）一个圆的直径是8厘米，这个圆面积的（ ）平方厘米。
2.求下列圆的面积。
答案：
1.（1）12.56 4（2）200.96 （3）50.24
2.3.14×（4÷2）2 =12.56（平方厘米）
3.14×32=28.26（平方厘米）
◆ 板书设计
圆面积的意义及计算公式
平行四边形的面积 ＝ 底 × 高
圆的面积 = ×
= C×r
=×2πr×r
= πr2
用字母表示圆的面积计算公式：S=πr2。
◆ 教学反思
《圆的面积》是小学数学教学中的一个难点，又是学习圆柱与圆锥的基础，圆面积公式的推导过程运用了“极限”的思想和方法，这对小学生来讲是深奥难懂的。教材首先用云南景洪的曼飞龙塔基的情景引出了圆的面积概念，接着让学生比较圆的面积和以圆的半径为边长的正方形的面积，对圆的面积有一个初步的感性认识，接下来让学生尝试运用以前曾多次采用过的“转化”的数学思想，把圆转化成已学过的图形（主要是长方形）来计算面积，引导学生自主推导出圆面积的计算公式，再一次让学生熟悉运用“转化”这种数学思想方法来解决较复杂问题的策略。
学习此知识之前，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过程时只需要教师启发、点拨学生依然从转化的思想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，然后通过等量代换得到圆面积公式。因此，新课内容必须从贴近学生生活的情境出发，激发学生的探究欲望，降低内容的抽象性，引导学生用转化的方法推导出圆面积的计算公式。
在教学“圆的面积”计算公式推导时，我先让学生回忆学过的平面图形面积的推导方法，引导学生进行知识迁移，能不能运用割补的方法把圆割补拼成学过的平行四边形、三角形等平面图形，来推导出圆的面积计算公式呢，然后留给学生充分的时间和空间，让学生小组合作动手、动脑剪一剪、拼一拼，再把圆转化成学过的平面图形。再引导学生交流、验证自己的推导想法，师生共同倾听并判断学生汇报圆的面积公式的推导过程，有效地体验从猜想——实践验证——分析——归纳总结的科学探究问题的方法。看看他们的推导方法是否科学、合理，使学生们经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习，提高了学生的实践能力和创新意识。
在学生实践操作的基础上，我利用多媒体精确演示圆割补拼图的过程，让学生清楚地理解自己推导方法的科学性和准确性，极大地激发了学生们的学习兴趣，为学生今后圆锥，圆柱奠定了有力的基础。
课上及时安排了坡度适当、由易到难的练习题，使学生由浅入深地掌握了知识，形成了技能。同时，还注意培养学生逻辑推理的能力。
圆除了剪拼成近似的长方形外，还可以转化成近似的三角形、近似的梯形。如果让学生在这里再动手操作，对学生思维的拓展是有很大的好处，但一节课无法容纳这么多的内容，所以这一节课就选择了单纯让学生把圆转化成近似长方形来推导圆面积的公式。但回头想想，也可以把圆的面积分两课时来上，一课时是让学生操作，圆可以转化成什么图形？第二课时才深入地研究如何推导圆面积的公式，这样费时多些但对学生的能力开拓会更有好处。
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