构造函数法证明不等式的八种方法

导数之构造函数法证明不等式

1、移项法构造函数

【例1】 已知函数，求证：当时，恒有

【解】

∴当时，，即在上为增函数

当时，，即在上为减函数

故函数的单调递增区间为，单调递减区间

于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴（右面得证），

现证左面，令，

当，

即在上为减函数，在上为增函数，

故函数在上的最小值为，

∴当时，，即

∴，综上可知，当

2、作差法构造函数证明

【例2】已知函数求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；

【解】设，即，

则=

当时， =

从而在上为增函数，∴

∴当时，即，

故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。

3、换元法构造函数证明

【例3】证明：对任意的正整数n，不等式都成立.

只需令

【解】令，

则在上恒正，

所以函数在上单调递增，∴时，恒有

即，∴

对任意正整数n，取

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．a>b

【解】由已知 x+>0 ∴构造函数，

则x+>0， 从而在R上为增函数。

∴即 a>b

5、构造二阶导数函数证明导数的单调性

例．已知函数

(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;

(2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)>1+x

解：(1)f′(x)＝ aex－ｘ，

∵ｆ（ｘ）在Ｒ上为增函数，∴f′(x)≥０对ｘ∈Ｒ恒成立，

即ａ≥ｘｅ-ｘ对ｘ∈Ｒ恒成立

记ｇ（ｘ）＝ｘｅ-ｘ，则ｇ′(ｘ)＝ｅ-ｘ－ｘｅ-ｘ=(1-x)e-x，

当ｘ＞１时，ｇ′（ｘ）＜０，当ｘ＜１时，ｇ′（ｘ）＞０．

知ｇ（ｘ）在(-∞,1)上为增函数,在(1,+ ∞)上为减函数,

∴g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, ∴a≥1/e,

即a的取值范围是[1/e, + ∞)

(2)记F(X)=f(x) －(1+x) =

则F′(x)=ex-1-x,

令h(x)= F′(x)=ex-1-x,则h′(x)=ex-1

当x>0时, h′(x)>0, ∴h(x)在(0,+ ∞)上为增函数,

又h(x)在x=0处连续, ∴h(x)>h(0)=0

即F′(x)>0 ,∴F(x) 在(0,+ ∞)上为增函数,又F(x)在x=0处连续,

∴F(x)>F(0)=0,即f(x)>1+x．

6.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

例：证明当

7.构造形似函数

例：证明当

例：已知m、n都是正整数，且证明：

强化训练：

1、设

求证：当时，恒有

2、已知定义在正实数集上的函数其中a>0，且， 求证：

3、已知函数，求证：对任意的正数、，

恒有

4、是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有 （ ）

（A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b)

（C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a)

　5．设函数f（x）=emx+x2﹣mx．

（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；

（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．

6、已知函数.（1）讨论函数的单调性；

（2）设，证明：对任意.

　7．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（3）当x∈（0，e]时，证明：．

8．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：．

9.设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）

（1）若关于x的不等式f（x）﹣m≥0在[0，e﹣1]有实数解，求实数m的取值范围．

（2）证明不等式：（n∈N*）．

10．已知函数，其中a为实数．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）证明：对任意的正整数m，n，不等式恒成立．

11．设函数f（x）=lnx﹣﹣bx

（Ⅰ）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）令F（x）=f（x）+＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；

12.已知函数f（x）=x2+2ax﹣a2lnx﹣1

（1）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）若不等式2xlnx≤xf′（x）+a2+1恒成立，其中f′（x） f（x）是f（x）的导数，求实数a的取值范围．

13.已知函数f(x)=ln.

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；

(Ⅱ)求证：当x∈(0,1)时，f(x)≥2(x+);

(Ⅲ)设实数k使得f(x)>k(x+)对x∈(0,1)恒成立，求k的最大值.

14.设函数f(x)=alnx+,曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处切线方程为y=e(x-1)+2.

(Ⅰ)求a,b；

(Ⅱ)证明：f(x)>1.利用导数求函数单调性

15.已知函数f(x)= - -2x.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性

(Ⅱ)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时，g(x)>0,求b的最大值；

16.函数f(x)=ln(x+1)- (a>1)讨论f(x)的单调性

17.已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈[0, ]，求证：f(x)≤0；

18、已知函数,，其中R .

（1）讨论的单调性；

（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数, 当时，若存在，对于任意的，总有成立，求实数的取值范围．

19、已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20、设函数表示的导函数，，（其中）（1）求的单调区间（2）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围

21、已知函数,，其中R．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（Ⅲ）设函数,当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

22、已知函数.

(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围。

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