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幂函数及应用全部

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学科教师辅导讲义
教学主任签字：
学员编号：年级：高一课时数：2课时学员姓名：张浩翔辅导科目：数学学科教师：授课日期及时段教学目标重点难点
2017年2月11日
1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题
一、幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．
[化解疑难]1．幂函数的特征
(1以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数；(2xα前的系数为1，且只有一项．2．指数函数与幂函数的辨析
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R以幂的底为自变量，指数α为常数.
1－
：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x1的图象．
2


[化解疑难]
常见幂函数的图象与性质
解析式
y＝x
y＝x2
y＝x3
1y＝x
1y＝x
2


1



图象

定义域值域奇偶性
RR奇函数
R[0，＋∞偶函数在(－∞，0]上
单调性
在(－∞，＋∞上单调递增
单调递减，在(0，＋∞上单调递增
定点

[化解疑难]
幂函数的性质归纳
(1所有的幂函数在区间(0，＋∞上都有定义，并且图象都过点(1,1．(2α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
(3α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
1x252x
[例1](1下列函数：①y＝x3；②y＝；③y＝4x；④y＝x＋1；⑤y＝(x－1；⑥y＝x；⑦y＝a(a>1．其2中幂函数的个数为(
A．1C．3
B．2D．4
(1,1在(－∞，＋∞上单调递增
RR奇函数


{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数在(－∞，0上单调递减，在(0，＋∞上单调递减
在[0，＋∞上单调递增

[0，＋∞[0，＋∞非奇非偶函数
(2已知幂函数y＝(m2－m－1xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1[解析]②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.
[答案]B
(2[解]∵y＝(m2－m－1xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x3，且有x≠0；
－
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x3，(x≠0或y＝x0(x≠0．
－
[类题通法]
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需

2



满足：(1指数为常数；(2底数为自变量；(3系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．
[活学活用]
函数f(x＝(m2－m－1xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞时，f(x是增函数，求f(x的解析式．解：根据幂函数的定义得
m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x＝x3在(0，＋∞上是增函数；当m＝－1时，f(x＝x故f(x＝x3.
[例2](1如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为(
11
A．－2，－，，2
2211C．－，－2,2，
22
11
B．2，，－，－2
2211
D．2，，－2，－
22
11
已知α取－2，－，，2
22
－3
在(0，＋∞上是减函数，不符合要求．
(2如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1
11－
[解析](1令x＝2，则22>2>2－>22，
22
11
故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.
22
(2此类题有一简捷的解决办法，在(0,1内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.

[答案](1B(2B[类题通法]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低；在(1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高．
(2依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x来判断．


－1
1
或y＝x或y＝x3
2
3



[活学活用]
已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为(

A．c<b<aC．b<c<a
B．a<b<cD．c<a<b
解析：选A由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.
由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.[例3]比较下列各组数中两个数的大小．20.510.5(15与3；23
－－1与－－1；(2352332(334与43.
[解](1∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞上是单调递增的，20.510.521
又>，∴5>3.53(2∵幂函数y＝x
－1
在(－∞，0上是单调递减的，
2323
－－1>－－1.又－<－，∴3535
2x32
(3∵函数y1＝为R上的减函数，又>，3432223∴33>34.
232又∵函数y2＝x在(0，＋∞上是增函数，且>，
343322232>23.∴>，∴43334334[类题通法]
比较幂值大小的方法
(1若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；(2若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；
(3若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
9.用幂函数的单调性解题时易忽视单调区间的讨论
m
[典例]已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞上是减函数，则满足(a＋1－<(3
3


4



m
－2a－的a的取值范围为________．
3
[解析]∵函数在(0，＋∞上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又∵函数图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数．又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
1mm
又∵y＝x－在(－∞，0，(0，＋∞上均为减函数，由(a＋1－<(3－2a－，得a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0
33323
或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.
32
23
[答案](－∞，－1∪3，2[易错防范]
1．解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出m的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于a的不等式．在这里极易出现认为函数在(－∞，0和(0，＋∞上为减函数，则函数必在定义域内是减函数的认知误区，从而得出a＋1>3－2a，2
即a>的错误结论．
3
2．由f(x1<f(x2得x1与x2的大小关系时，如果f(x的单调区间不止一个，那么需要对x1，x2的范围进行讨论．这时可借助函数y＝f(x的图象，直观地进行分析，得出结果．
[活学活用]
11
若(3－2m>(m＋1，则实数m的取值范围为________．
22
3－2m≥0，11
解析：考察幂函数y＝x，因为y＝x在定义域[0，＋∞上是增函数，所以m＋1≥0，
22
3－2m>m＋1，2
解得－1≤m＜.
3
2
故m的取值范围为[－1，
3二、．函数的零点
对于函数y＝f(x，把使f(x＝0的实数x叫做函数y＝f(x的零点．2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x＝0有实根⇔函数y＝f(x的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x有零点．[化解疑难]
函数零点的本质
(1函数的零点的本质是方程f(x＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x＝x＋1，当f(x＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．
(2函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．函数f(x＝x2－4x＋3图象如图．



5




函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a·f(b<0.那么，函数y＝f(x在区间(a，b内有零点，即存在c∈(a，b，使得f(c＝0，这个c也就是方程f(x＝0的根．
[化解疑难]
对函数零点存在性的探究
1(1并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.
x
(2当函数y＝f(x同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a·f(b<0.则可判定函数y＝f(x在区间(a，b内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．
(3当函数y＝f(x的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a·f(b<0时，函数y＝f(x在区间(a，b内可能存在零点，也可能不存在零点．
[例1](1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1f(x＝
x＋3
；(2f(x＝x2＋2x＋4；x
(3f(x＝2x－3；(4f(x＝1－log3x.
x＋3x＋3
[解](1令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x＝的零点是x＝－3.
xx(2令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x＝x2＋2x＋4不存在零点．(3令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x＝2x－3的零点是x＝log23.(4令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x＝1－log3x的零点是x＝3.[类题通法]
函数零点的求法
求函数f(x的零点时，通常转化为解方程f(x＝0，若方程f(x＝0有实数根，则函数f(x存在零点，该方程的根就是函数f(x的零点；否则，函数f(x不存在零点．
[活学活用]
判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1f(x＝－x2－4x－4；x－1x2－4x＋3
(2f(x＝；
x－3

6



(3f(x＝4x＋5；(4f(x＝log3(x＋1．
[例2](1二次函数f(x＝ax2＋bx＋c(x∈R的部分对应值如下表：
xy

不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(A．(－3，－1和(2,4B．(－3，－1和(－1,1C．(－1,1和(1,2
D．(－∞，－3和(4，＋∞
9
(2函数f(x＝lgx－的零点所在的大致区间是(
xA．(6,7C．(8,9
B．(7,8D．(9,10－36
－2m
－1－4
0－6
1－6
2－4
3n
46
[解析](1利用f(af(b<0，则f(x＝0在(a，b内有根来判定．∵f(－3＝6>0，f(－1＝－4<0，∴在(－3，－1内必有根，又由f(2＝－4<0，f(4＝6>0，
∴在(2,4内必有根．故选A.
939
(2∵f(6＝lg6－＝lg6－<0，f(7＝lg7－<0，
62799
f(8＝lg8－<0，f(9＝lg9－1<0，f(10＝lg10－>0，
810∴f(9·f(10<0.
9
∴f(x＝lgx－的零点的大致区间为(9,10．
x[答案](1A(2D[类题通法]
确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．
1
[例3](1函数f(x＝lnx－的零点的个数是(
x－1A．0C．2
B．1D．3
(2判断函数f(x＝2x＋lg(x＋1－2的零点个数．
1
(1在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝的图象，如图所示，函数y
x－1象有两个交点，所以函数f(x＝lnx－
[答案]C
(2[解]法一：∵f(0＝1＋0－2＝－1<0，f(2＝4＋lg3－2>0，

1
＝lnx与y＝的图
x－1
1
的零点个数为2.x－1
7






8


本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0e85b0df2dc58bd63186bceb19e8b8f67d1cef56.html

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