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四川高职单招数学试题附答案

发布时间：2021-12-20   来源：文档文库   
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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二 .数学 单项选择（共10小题，计30分） 1．设集合M0,1,2,N0,1，则MN( A．2 B．0,1 C．0,2 D．0,1,2 2. 不等式x12的解集是(
A．x<3 B．x>－1 C．x<－1或x>3 D．－1 3．已知函数f(x2x2，则f(1的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6 4. 函数y2x1 在定义域R内是(
A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数 5. 设a4,b80.90.481,c21.5，则a,b,c的大小顺序为 （ ）
6.已知a(1,2，bx,1，当a+2b与2a-b共线时，x值为（ ）
A. 1 B.2 C . D.131
27. 已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（ ） A.4 B.5 C.6
D.7
8．已知向量a(2,1，b(3,，且a⊥b，则（ ）
A．6 B．6 C． D．9 点(0,5到直线y2x的距离为(
323 2
第 1 页

A．

D．52
5
2 B．5 C．
3210. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师与2名学生组成，不同的安排方案共有 ( A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2019•四川）复数= _________ ．
12．（5分）（2019•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=（）= _________ ．
13．（5分）（2019•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 _________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73） 14．（5分）（2019•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0与过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ． 15．（5分）（2019•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；
②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值与最小值； ③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．
第 2 页
，则f
④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题12分）设数列{an}的前n项与Sn2ana1，且a1,a21,a3成等差数列。
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{}的前n项与Tn，求得使|Tn1|值。
17．（12分）（2019•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18.（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N。
（I）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II）证明：直线MN//平面BDH
第 3 页
1an1成立的n的最小1000
（III）求二面角AEGM余弦值
19．（12分）（2019•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．
（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{an}的前n项与Sn；
（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项与Tn．
x2a220.（本小题13分）如图，椭圆E:线l被椭圆E截得的线段长为22。
（1） 球椭圆E的方程；
y2b21的离心率是2，过点2P(0,1的动直线l与椭圆相交于A,B两点。当直线l平行于x轴时，直（2） 在平面直角坐标系xoy中，是否存在与点P不同的定点Q，QAPA使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说QBPB明理由。
21．（14分）（2019•四川）已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．
题号 答案
1 B
2 D
3 C
4 A
5 6 B
D
7 C
8
9
10 A
A B
二、填空题： 11.
解解：复数=答：
故答案为：﹣2i． 12.
==﹣2i，
第 4 页

解解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数， 答： ∴=1．
故答案为：1． 13.
解解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D， 答： 则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m
∴CD==46≈79.58m．
又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD=≈19.5m
∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为：60m
=14.

解解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
答： 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0与动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|•|PB|≤“=”）
故答案为：5 15.
解解：（1）对于命题①
答： “f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
第 5 页
=5（当且仅当时取
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b” ∴命题①是真命题； （2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值与最小值．”是假命题； （3）对于命题③ 若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞）， 并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M． ∴f（x）+g（x）∈R． 则f（x）+g（x）∉B． ∴命题③是真命题． （4）对于命题④
∵函数f（x）=aln（x+2）+值，
∴假设a＞0，当x→+∞时， 假设a＜0，当x→﹣2时，→0，ln（x+2）→+∞，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符； ∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符． ∴a=0． 即函数f（x）=当x＞0时，（x＞﹣2）
，∴，即；
（x＞﹣2，a∈R）有最大当x=0时，f（x）=0；
第 6 页

当x＜0时，∴，∴．即f（x）∈B．
，即．
故命题④是真命题． 故答案为①③④． 三、解答题
16. 解：（1）当n2时有，anSnSn12ana1(2an1a1

则an2an1(n2
anan12 （n2）

则an是以a1为首项，2为公比的等比数列。
又由题意得2a22a1a322a12a14a1a12 则an2n
(nN*
（2）由题意得11n (nN* 由等比数列求与公式得an211[1(n]21(1n Tn21212110192-）=(n 又当n10时，（则Tn1（ ）=1024，（）=512
221212Tn11成立时，n的最小值的n10。
1000点评：此题放在简答题的第一题，考察前n项与Sn与通项an的关系与等比数列的求与公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。 17.
第 7 页

解解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100． 答： 则P（X=﹣200）=，
P（X=10）=P（X=20）=P（X=100）=故分布列为：
X ﹣200 P

=， 10

=
=，
20

100

由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣=，
．
由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=． 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． 18. 【答案】
（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 （II）
连接BD，取BD的中点Q，连接MQ
因为M、Q为线段BC、BD中点，所以MQ//CD//GH且11MQCDGH
22又因N为GH中点，所以NHGH 得到NHMQ且NH//MQ 所以四边形QMNH为
第 8 页
12
得到QH//MN
又因为QH平面BDH 所以MN//平面BDH（得证） （III）
连接AC，EG，过点M作MKAC，垂足在AC上，过点K作平面ABCD垂线，交EG于点L，连接ML，则二面角AEGMMLK 因为MK平面ABCD，且AEABCD,所以MKAE 又AE，AC平面AEG,所以MK平面AEG
且KLAEG，所以MKKL，所以三角形MKL为RT 设正方体棱长为a，则ABBCKLa， 所以MC，
因为MCK45，三角形MCK为RT，所以MKMCcos452aMK2224所以tanMLK，所以cosMLK
3KLa42a 4a2所以cosAEGMcosMLK19.
22
3解解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上， 答： ∴，
又等差数列{an}的公差为d，
∴==2d，
∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，
∴=b8，
第 9 页

∴=4=2d，解得d=2．
=﹣2n+=n2﹣又a1=﹣2，∴Sn=3n．
（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为， 又∴，令y=0可得x=，解得a2=2．
，
∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n， ∴bn=2n． ∴∴Tn=∴2Tn=1++．
+…++…++，
+…+﹣=﹣，
两式相减得Tn=1+==20: 【答案】


．
解：（1）由题知椭圆过点2,1。得
c2ea221221解得：a2,bc2。 aba2b2c2第 10 页

x2y2所以，椭圆方程为：1。
42(2假设存在满足题意的定点Q。 当直线l平行于x轴时，QAPA1，A,B两点关于y轴对称，得QQBPB在y轴上。不妨设Q0,a
a2PA12当直线l为y轴时，,,a1。解得a2
QBa2PB12QA下证对一般的直线l:ykx1，Q0,2也满足题意。
QAPA由得y轴为AQB的角平分线。所以kQAkQB。
QBPB不妨设Ax1,y1,Bx2,y2
y12y22，化简得2kx1x2x1x2① x1x2又椭圆方程与直线方程联立得：
带入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。 21:
解解：∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax答： ﹣b，
又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e， ∴①当时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b； ②当，则1＜2a＜e， ∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，
第 11 页

g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b； ③当时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，
综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；
（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 若，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1 令h（x）=则．由 （1＜x＜e）
＞0⇒x＜）上单调递增，在区间（+
∴h（x）在区间（1，单调递减，
=，e）上＜0，即gmin（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒又
，
，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．
第 12 页

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0c16a2fbf51fb7360b4c2e3f5727a5e9856a27b1.html

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