中考数学教学指导：二次函数与最短路程问题

二次函数与路径最值问题

一、二次函数与方程、不等式综合

【例1】 已知P（）和Q（1，）是抛物线上的两点．

（1）求的值；

（2）判断关于的一元二次方程=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线的图象向上平移（是正整数）个单位，使平移后的图象与轴无交点，求的最小值．

【例2】 已知抛物线：的图象如图所示，把的图象沿轴翻折，得到抛物线的图象，抛物线与抛物线的图象合称图象．

（1）求抛物线的顶点坐标，并画出抛物线的图象；

（2）若直线与抛物线有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切.若直线与抛物线C1相切，求的值；

（3）结合图象回答，当直线与图象有两个交点时，的取值范围．

【例3】 关于的一元二次方程有实数根，且为正整数.

（1）求的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于、两点（在左侧），与轴交于点. 点为对称轴上一点，且四边形为直角梯形，求的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点的坐标为,当抛物线与（2）中的直角梯形只有两个交点，且一个交点在边上时，直接写出的取值范围.

【例4】 关于的一元二次方程.

（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）点是抛物线上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点与点关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

【例5】 已知关于的一元二次方程．

（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．

（3）在（2）的条件下，将抛物线绕原点旋转，得到图象，点为轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与图象、交于两点，当线段的长度最小时，求点的坐标．

【例6】 已知关于的一元二次方程

（1）求证：当时，方程一定有两个不等的实数根；

（2）若代数式的值为正整数，且为整数时，求的值；

（3）当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；

当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；

若点在点的左边，试比较与的大小.

二、二次函数与路径最值问题

【例7】 已知抛物线经过点和点．

（1）求此抛物线解析式；

（2）点分别是轴和轴上的动点，求四边形周长的最小值；

（3）过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明）

【例8】 如图：抛物线经过三点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）已知（在线段上），有一动点从点沿线段以每秒个单位长度的速度移动；同时另一个动点以某一速度从点沿线段移动，经过秒的移动，线段被垂直平分，求的值；

（3）在（2）的条件下，为抛物线的对称轴上一动点，当的值最小时，请求出点的坐标．

【例9】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线交y轴于点C，且过点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点P，使的值最小，求出点P的坐标；

（3）将抛物线左右平移，记平移后点A的对应点为，点B的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值．

【例10】 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）

（1）求抛物线的解析式；

（2）等边△的顶点、在线段上，求及的长；

（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.

【例11】 如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为和，连结．

（1）现将绕点按逆时针方向旋转90°，得到，（点落到点处），请画出，并求经过、、三点的抛物线对应的函数关系式；

（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为点，平移后的抛物线与原抛物线相交于点．为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结，当取得最大值时，求点的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴上运动时，是否存在点使为直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

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