华东师大版九年级数学上全册教案

22．1. 二次根式（1）

教学内容： 二次根式的概念及其运用

教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键：1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．

教学过程：一、回顾

当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．

当a是零时，等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a是负数时，没有意义．

二、概括：（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有： （1）≥0（a≥0）； （2）=a（a≥0）．

形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：在二次根式中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

三、例题讲解

例题： x是怎样的实数时，二次根式有意义？

分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．

解： 被开方数x-1≥0，即x≥1．

所以，当x≥1时，二次根式有意义．

思考：等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括: 当a≥0时，； 当a＜0时，．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

=2x（x≥0）； ．

四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.

（1）； （2）； （3）； （4）

五、 拓展

例：当x是多少时， +在实数范围内有意义？

分析：要使+在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和中的x+1≠0．

解：依题意，得

由①得：x≥-

由②得：x≠-1

当x≥-且x≠-1时， +在实数范围内有意义．

例：(1)已知y=++5，求的值．(答案:2)

(2)若+=0，求a2004+b2004的值．(答案:)

六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

七、布置作业：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1 二次根式（2）

教学内容：1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）．

教学目标：1、理解（a≥0）是非负数和（）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键：1．重点：（a≥0）是一个非负数；（）2=a（a≥0）及其运用．

2．难点、关键：用分类思想的方法导出（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a≥0）．

教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0时，叫什么？当a<0时，有意义吗？

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

（a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（）2=_______；（）2=_______；（）2=______；（）2=_______；

（）2=______；（）2=_______；（）2=_______．

老师点评：①、是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

②、是一个平方等于4的非负数，因此有（）2=4．

同理可得：（）2=2，（）2=9，（）2=3，（）2=，（）2=，（）2=0，所以 ：

三、例题讲解

例1 计算： 1．（）2 ， 2．（3）2 ， 3．（）2 ， 4．（）2

分析：我们可以直接利用（）2=a（a≥0）的结论解题．

解：1. （）2 =， 2.（3）2 =32·（）2=32·5=45，

3.（）2=， 4.（）2=．

四、巩固练习

计算下列各式的值：

（）2 （）2 （）2 （）2 （4）2

五、应用拓展

例2 计算

1．（）2（x≥0），2．（）2 ，3．（）2 ，4．（）2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4题都可以运用（）2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（）2=x+1

（2）∵a2≥0，∴（）2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，

∴a2+2a+1≥0 ，∴=a2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0，∴（）2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1．（a≥0）是一个非负数； 2．（）2=a（a≥0）;反之:a=（）2（a≥0）．

七、布置作业：教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1 二次根式（3）

教学内容 ＝a（a≥0）

教学目标：1、理解=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2、 通过具体数据的解答，探究=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键：1．重点：＝a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0时，＝a才成立．

教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；

2．（a≥0）是一个非负数；

3．()2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0时， =a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知：（学生活动）填空：

=_______； =_______； =______；

=________； =________； =_______．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2； =0.01； =； =； =0； =．

因此，一般地：

三、例题讲解：

例1 化简：（1） （2） （3） （4）

分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，

所以都可运用=a（a≥0）去化简．

解：（1）==3 （2）==4

（3）==5 （4）==3

四、巩固练习：（见小黑板）

五、应用拓展

例2 填空：当a≥0时， =_____；当a<0时， =____，并根据这一性质回答下列问题．

（1）若=a，则a可以是什么数？ （2）若=-a，则a可以是什么数？

（3）>a，则a可以是什么数？

分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， =，那么-a≥0．

（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．

解：（1）因为=a，所以a≥0； （2）因为=-a，所以a≤0；

（3）因为当a≥0时=a，要使>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时， =-a，要使>a，即使-a>a，a<0综上，a<0

例3当x>2，化简-．

六、归纳小结：本课掌握： =a（a≥0）及运用，同时理解当a<0时，＝－a的应用拓展．

七、布置作业:1．先化简再求值：当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+=a+（1-a）=1； 乙的解答为：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│+=a，求a-19952的值．（提示：注意根式有意义的隐含条件）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│++。

八、反思及感想：

22．2 二次根式的乘除（1）

教学内容：·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标：1、理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

2、由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

1、重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．

2、难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．

3、关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=

或==×．

教学过程： 一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空：（1）×=_____， =____；（2）×=_____， =________．

（3）×=________， =_______．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

×_____，×_____，×________

2．利用计算器计算填空

（1）×______，（2）×______，

（3）×______，（4）×______，

（5）×______．

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

合探1. 计算：（1）×， （2）×， （3）×， （4）×

分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．

合探2 化简（1），（2），（3），（4），（5）

分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1）

（2）×=4××=4×=4=8

四、巩固练习（1）计算（生练，师评）①× ②3×2 ③·

(2) 化简:;; ; ;

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及运用．

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1．直角三角形两条直角边的长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）

A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm

2．化简a的结果是（ ）． A． B． C．- D．-

3．等式成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1

4．下列各等式成立的是（ ）．

A．4×2=8；B．5×4=20；C．4×3=7；D．5×4=20

（二）、填空题 ：

1． =_______．

2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．

（三）、综合提高题 探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）2=

验证：2=×==

==

（2）3=

验证：3=×==

==

同理可得：4 5，……

通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．

七、反思及感想：

22．2 二次根式的乘除（2）

教学内容： =（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标;1、理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

2、利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程; 一、设疑自探——解疑合探

自探.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．填空（1）=____， =_____； （2）=_____， =_____；

（3）=_____， =_____； （4）=________， =________．

规律： ____； ____； ____； ___．

2．利用计算器计算填空:

（1）=_____， （2）=_____， （3）=____， （4）=_____．

规律： ___； ____； ___； __。

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评），根据大家的练习和回答，

我们进行合探：

二次根式的除法规定：

一般地，对二次根式的除法规定：

反过来

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

合探1．计算：（1） （2） （3） （4）

分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．

合探2．化简：（1） （2） （3） （4）

分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

二、应用拓展

已知，且x为偶数，求（1+x）的值．

分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6>0，即6≤9，又因为x为偶数，所以x=8．

三、归纳小结（师生共同归纳）

本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．

四、作业：（写在小黑板上）

(一)、选择题:

1．计算的结果是（ ）．

A． ； B． ； C． ； D．

2．阅读下列运算过程：， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．

A．2 B．6 C． D．

(二)、填空题 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.

2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．

(三)、综合提高题 计算

（1）·（-）÷（m>0，n>0）

（2）-3÷（）×（a>0）

五、反思及感想：

22.2 二次根式的乘除(3)

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标：1、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

2、通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

计算（1），（2），（3）

老师点评： =， =， =

自探2. 观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

合探1. 把下面的二次根式化为最简二次根式： (1); (2); (3)

合探2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，

求AB的长．

AB===6.5（cm）

因此AB的长为6.5cm．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

==-1，

==-，

同理可得： =-，……

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（+++……）（+1）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．

A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对

2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．

A． B． C．- D．-

3．在下列各式中，化简正确的是（ ）

A． =3 B． =± C． =a2 D． =x

4．化简的结果是（ ） A．- ； B．- ； C．- ； D．-

（二）、填空题

1．化简=_________．（x≥0）

2．a化简二次根式号后的结果是_________．

（三）、综合提高题

1．已知a为实数，化简： -a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：

解： -a=a-a·=（a-1）

2．若x、y为实数，且y=，求的值．

六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(1)

教学内容 ： 二次根式的加减

教学目标 ： 理解和掌握二次根式加减的方法．

重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

自探（学生活动）：计算下列各式．

（1）2+3 ；（2）2-3+5 ；（3）+2+3 ；（4）3-2+

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2与表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．（板书）3+=3+2=5 和 3+=3+3=6

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

合探1．计算：（1）+ （2）+

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．

合探2．计算

（1）3-9+3 （2）（+）+（-）

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，

即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握：

（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式； （2）相同的最简二次根式进行合并．

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（ ）．

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

2．下列各式：①3+3=6；②=1；③+==2；④=2，其中错误的有（ ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

（二）、填空题

1．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有________．

2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．

（三）、综合提高题

1．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（结果精确到0.01）

2．先化简，再求值．

（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．

六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(2)

教学内容 ： 利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标 ： 运用二次根式、化简解应用题．

重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程：

一、设疑自探——解疑合探

上节课，我们已经学习了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们研究三道题以做巩固．

自探1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．

解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米． 则有PB=x，BQ=2x

依题意，得： x·2x=35 x2=35 x=

所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．

PQ==5

答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．

自探2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

解：由勾股定理，得 AB==2

BC==

所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD =2++5+2 =3+7≈3×2.24+7≈13.7（m）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．）

三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

四、应用拓展

若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．

注：（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式化为最简二次根式：

==|b|·

由题意得 ∴ ∴a=1，b=1

五、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．

A．5 B． C．2 D．以上都不对

2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（ ）米．

A．13 B． C．10 D．5

（二）、填空题

1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．

2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，那么这个等腰直角三角形的周长是________．

（三）、综合提高题

1．若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．

2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（）2，

5=（）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：

（-1）2=（）2-2·1·+12=2-2+1=3-2

反之，3-2=2-2+1=（-1）2 ∴3-2=（-1）2 ∴=-1

求：（1）； （2）；（3）你会算吗？

（4）若=，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．

六、反思及感想：

22.3 二次根式的加减(3)

教学内容：含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标：1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

2、复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键：1、重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

2、难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、设疑自探——解疑合探

自探1.（学生活动）：请同学们完成下列各题:

1．计算：（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算：（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

自探2.计算：（1）（+）× （2）（4-3）÷2

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．

自探3. 计算：（1）（+6）（3-） （2）（+）（-）

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．

二、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展：已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，

化简+，并求值．

分析：由于（+）（-）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．

解：原式=+

=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2

∵=2- ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b2=2ab-ax+a2

∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b

∴原式=4x+2=4（a+b）+2

四、归纳小结（师生共同归纳）：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

五、作业设计（写在小黑板上）

（一）、选择题

1．（-3+2）×的值是（ ）．

A． -3 B．3- C．2- D． -

2．计算（+）（-）的值是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1

（二）、填空题

1．（-+）2的计算结果（用最简根式表示）是________．

2．（1-2）（1+2）-（2-1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．

3．若x=-1，则x2+2x+1=________．

4．已知a=3+2，b=3-2，则a2b-ab2=_________．

（三）、综合提高题

1．化简

2．当x=时，求+的值．（结果用最简二次根式表示）

六、反思及感想：

23.1 一元二次方程

教学目标：

1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。

重点难点：

1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。

2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。

教学过程：

一 做一做：

1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？

分　析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程

x(x＋10)＝900

整理可得 x2＋10x－900=0.　　（1）

2．问题2

学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.

解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程

5（1＋x）2=7.2,

整理可得 5x2＋10x－2.2=0.　　　（2）

3．思考、讨论

这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？

（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2

二、 一元二次方程的概念

上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：

ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.

三、 例题讲解与练习巩固

1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1） （2） （3） （4）

2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）

说明： 一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。

3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

本题先由同学讨论，再由教师归纳。

解：当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程；

4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。

分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。

5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

2x(x-1)=3(x-5)-4

练习二 关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？

本课小结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。

布置作业：课本第27页习题1、2、3

23.2.2一元二次方程的解法

教学目标：

1、会用直接开平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；

2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。

重点难点：

合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。

教学过程：

问：怎样解方程的？

让学生说出作业中的解法，教师板书。

解：1、直接开平方，得x+1=±16

所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17

2、原方程可变形为

方程左边分解因式，得

（x+1+16）(x+1－16)=0

即可（x+17）(x－15)=0

所以x＋17=0，x－15=0

原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17

二、例题讲解与练习巩固

1、例1 解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.

分　析　两个方程都可以转化为（a≠0,ab≥0）

的形式，从而用直接开平方法求解.

解　（1）原方程可以变形为

（x＋1）2＝4，

直接开平方，得

x＋1＝±2.

所以原方程的解是　　x1＝1，x2＝－3.

原方程可以变形为

________________________，

有　　　　________________________.

所以原方程的解是　x1＝________，x2＝_________.

2、说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。

3、练习一 解下列方程：

（1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0；

（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.

三、读一读

四、讨论、探索：解下列方程

（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0

（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。

本课小结：

1、对于形如（a≠0,a≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n≥0）的形式用直接开平方法解。

2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。

布置作业：课本第37页习题1（5、6）、P38页习题2（1、2）

23.2.3一元二次方程的解法

教学目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．

2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

重点难点：

使学生掌握配方法，解一元二次方程。

把一元二次方程转化为

教学过程：

一、复习提问

解下列方程，并说明解法的依据：

（1） （2） （3）

通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：

根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。

如

请说出完全平方公式。

。

二、引入新课

　　我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．

三、探索：

1、例1、解下列方程：

＋2x＝5； （2）－4x＋3＝0.

思　考

能否经过适当变形，将它们转化为

= a 的形式，应用直接开方法求解？

解（1）原方程化为＋2x＋1＝6， （方程两边同时加上1）

_____________________,

_____________________,

_____________________.

（2）原方程化为－4x＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）

_____________________,

_____________________,

_____________________.

三、归　纳

上面，我们把方程－4x＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.

注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？

四、试一试：对下列各式进行配方：

　；

；

；

通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

五、例题讲解与练习巩固

1、例2、 用配方法解下列方程：

（1）－6x－7＝0；　　　　　 （2）＋3x＋1＝0.

2、练习：

①.填空：

（1） （2）－8x＋（ ）＝（x- ）2

（3）＋x＋（ ）＝（x＋ ）2； （4）4－6x＋（ ）＝4（x－ ）2

② 用配方法解方程：

（1）＋8x－2＝0 （2）－5 x－6＝0.

（3） 六、试一试

用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).

先由学生讨论探索，教师再板书讲解。

解：移项，得 x2＋px＝－q，

配方，得 x2＋2·x·＋()2＝()2－q,

即 (x＋) 2＝.

因为 p2－4q≥0时，直接开平方，得

x＋＝±.

所以 x＝-±,

即 x＝.

思 考：这里为什么要规定p2－4q≥0？

七、讨 论

1、如何用配方法解下列方程？

4x2－12x－1＝0;

请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？

2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。

先由学生讨论探索，再教师板书讲解。

解：（1）将方程两边同时除以4，得 x2－3x－＝0

移项，得 x2－3x＝

配方，得 x2－3x+（）2＝+（）2

即 (x—) 2＝

直接开平方，得 x—＝±

所以 x＝±

所以x1＝，x2=

3，练习：用配方法解方程：

（1） （2）3x2＋2x－3＝0.

（3） （原方程无实数解）

本课小结：　让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；

如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

布置作业：P38页习题2_.（3）、（4）、（5）、（6），3，4_.（1）、（2）

23.2 .4一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。

2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。

3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。

重点难点：

1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；

2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、用配方法解下列方程：

（1） (2)

2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？

3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？

二、探索同底数幂除法法则

问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？

教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

因为，方程两边都除以，得

移项，得

配方，得

即

问题2：当，且时，大于等于零吗？

让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而。

问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。

由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）

这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

思考：当时，方程有实数根吗？

三、例题

例1、解下列方程：

1、； 2、；

3、； 4、

教学要点：（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；

（3）先计算的值，再代入公式。

例2、（补充）解方程

解：这里，，，

因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。

让学生反思以上解题过程，归纳得出：

当时，方程有两个不相等的实数根；

当时，方程有两个相等的实数根；

当时，方程没有实数根。

四、课堂练习

1、Ｐ35练习。

2、阅读Ｐ39“阅读材料”。

小结:

根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。

作业:

Ｐ38习题4.（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8），5。

23.2 .5一元二次方程的解法

教学目标：

1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

3、培养学生数学应用的意识。

重点难点：

认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习旧知，提出问题

1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。

2、用多种方法解方程

让学生尝试用多种方法解方程，归结为：

解法1：将方程化为，直接开平方，得

解得，。

解法2：将方程化为一般形式，进而转化为，用配方法可求方程的解。

解法3：将方程化为一般形式，用公式法求解，其中。

提问：用哪种方法解方程更简便？

3、现在，你能解决§23.1的问题1了吗？

二、解决问题

请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§23.1的问题1，首先要解方程，同学伞能解这个方程吗？

让学生动手解题并口答结果：,

提问：

1、所求、都是所列方程的解吗？

2、所求、都符合题意吗？

让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：

3.1和2说明了什么问题？

让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。

作为应用题，还应作答。

三、例题

例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。

解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。

请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。

由学生回答解题过程，教师板书：

解　设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得

(60－2x) (40－2x) ＝800

解方程得

，，

经检验，不符合题意，应舍去，符合题意的解是

答：截去正方形的边长为10厘米。

四、课堂练习

Ｐ36 练习1、2

小结：

让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。

作业：

Ｐ38 习题5、6、7

23.2 .6一元二次方程的解法(六)

教学目标：

1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。

2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。

重点难点：

本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。

教学过程：

一、创设问题情境

百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。

问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）

二、探索解决问题

分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。

思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。

解　设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得

(1－x) 2＝

解这个方程，得

x＝

由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题意，因此符合本题要求的x为

≈29.3%.

答：每次降价的百分率为29.3%.

三、拓展引申

某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）

解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得

解这个方程，得

由于升价的百分率不可能是负数，所以不符合题意，因此符合题意要求的为

答：每次升价的百分率为9.5%。

四、巩固练习

Ｐ37 练习1、2

小结：

关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。

作业：

Ｐ38 习题8、9

23.3 .1实践与探索(一)

教学目标：

1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。

2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。

重点难点：

1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。

2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

教学过程：

一、巩固旧知识

1、解方程，并叙述解一元二次方程的解法。

2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？

二、创设问题情境

小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？

（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

三、尝试解决问题

1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？

（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）

2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？

（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）

3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。

解：设剪去的正方形边长为，依题意得：

，

因为正方形硬纸板的边长为，

所以剪去的正方形边长为。

4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。

（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为）

5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？

6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。

四、试一试

如图，的边，高，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积，试求这长方形的边长。

五、拓展练习

什么情况下，长方形的面积最大。

小结：

1、谈谈本节的收获。

2、谈谈本节的体会。

3、谈谈本节的疑惑。

作业：

Ｐ42 习题1

23.3 .2实践与探索(二)

教学目标：

1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。

2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。

重点难点：

1、重点：列一元二次方程解决实际问题。

2、难点：寻找实际问题中的相等关系。

教学过程：

一、考考你

1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的，求这个两位数。（这个两位数是63）

2、如图，一个院子长，宽，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为）

二、创设问题情境

阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？

三、尝试探索，合作交流，解决问题

1、翻一番，你是如何理解的？

（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）

2、“平均年增长率”你是如何理解的。

（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）

3、独立思考后，小组交流，讨论。

4、展示成果，相互补充。

解：设平均年增长率应为，依题意，得

，

，

因为增长率不能为负数

所以增长率应为。

四、拓展应用

若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？

又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？

独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。

五、做一做

1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？

小结：

谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。请一些小组展示成果。

作业：

Ｐ42 习题2、3、4、5

23.3 .1实践与探索(三)

教学目标：

1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。

2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。

3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。

重点难点：

1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。

2、难点：对根与系数这一性质进行应用。

教学过程：

一、提出问题

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？

（1）x2－2x＝0；

（2）x2＋3x－4＝0；

（3）x2－5x＋6＝0

二、尝试探索，发现规律

1、完成如上表格。

2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。

同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。

3、一般地，对于关于方程为已知常数，，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1•x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。

解：

所以与上面猜想的结论一致。

三、知识应用

1、范例：

（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：

①②

解：①

②

（2）已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。

（3）不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。

（4）求一元二次方程，使它的两个根是。

解：所求方程是

即 或

2、巩固练习

（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？

①；②；③；④；

（2）已知方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。

（3）设是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值。

①；②

（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：

①；②

（5）已知两个数的和等于，积等于，求这两个数

小结：

本节通过探索得出一元二次方程的解与系数存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些问题。

作业：

Ｐ42 习题6

第24章　　图形的相似

24.1　　相似的图形

教学目标：1、理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。

2、根据不同需要，能作出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。

教学重点：让学生理解相似图形概念，会判断两个图形是否相似。

教学难点：正确理解“形状相同”的含义并画出相似图形。

教学过程：

一、导入新课

挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，供同学观察，并看课本第４２页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?

这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。

二、讲解新课

由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢?

大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。

在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形。同学们你还能说出哪些相似的图形吗?

(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。如图所示的是一些相似的图形。

想一想：放大镜下的图形和原图形相似吗?

你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗?

还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。

为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢?这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。

三、课堂练习：课本第４３页试一试，你能画出两个或更多的相似形吗?

四、小结：形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在生活中经常碰到。

五、作业：P４４ : 1、2。

六、反思及感想：

２４.２　相似图形的特征

第一课时　成比例线段

教学目标 ：1、了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例。

2、利用比例的性质，会求出未知线段的长。

教学重点：成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用

教学难点：比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其它性质

教学过程：

一、复习引入： 挂上两张中国地图，问：

1．这两个图形有什么联系?

它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。

2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例。

二、新课讲解

1．两条线段的比

（1）回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？

如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 AB∶CD＝m∶n，或写成＝，其中，线段AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项．

如果把表示成比值k，则＝k或AB＝k·CD．

注意：在量线段时要选用同一个长度单位．

（2）．做一做

量出数学书的长和宽（精确到0.1cm），并求出长和宽的比．

改用m作单位，则长为0.211m，宽为0.148m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148

只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变．

（3）．求两条线段的比时要注意的问题

①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；

②两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？（学生讨论）

（答:线段的长度比与所采用的长度单位无关）

2．成比例线段的定义

你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘以（或除以）同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？

四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

3．比例的基本性质

两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a，b，c，d四个数满足，那么ad＝bc吗？反过来，如果ad＝bc，那么吗？与同伴交流．

如果，那么ad＝bc。

若ad＝bc（a，b，c，d都不等于0），那么．

4．线段的比和比例线段的区别和联系

线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例．

三、例题讲解

例题1：在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm．

（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？

例题2：如图，已知＝3，求和；

例题:3：如果＝k（k为常数），那么成立吗？

为什么？

四．探究延伸，拓展思维（想一想再回答）

（1）如果，那么成立吗？为什么？

（2）如果，那么成立吗？为什么？

（3）如果，那么成立吗？为什么．

（4）如果＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么成立吗？为什么．

（小组讨论完成上面的问题）

五、课堂练习

1．已知＝3，求和，＝成立吗？

2．已知＝＝2 （b＋d＋f≠0），求：（1）；（2）；

（3）；（4）．（小组讨论并上黑板）

六、课时小结：

1、注意点：（1）两线段的比值总是正数；（2）讨论线段的比时，不指明长度单位；（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．

2、比例尺：图上长度与实际长度的比

3、熟记成比例线段的定义；2．掌握比例的基本性质，并能灵活运用．

七、作业 ：P４７　：1、2、3；P51：2、3.

八、反思及感想：

２４.２　相似图形的特征

第二课时　相似图形的特征

教学目标：1、知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等。

2、识别两个多边形是否相似的方法。

3、在推出相似多边形性质时，让学生用量角器、刻度尺来测量，锻炼动手能力，让学生感受数学知识源于生活、用于生活。

教学重点：相似多边形的性质

教学难点：理解和应用相似多边形的性质

教学过程：

一、复习：1．若线段a＝6cm，b＝4cm，c＝3.6cm，d＝2.4cm，那么线段a、b，c、d会成比例吗?

2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系?(都成比例)

二、新课

相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢?同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第４８页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流。

同学们会发现有什么关系呢?经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果?反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系?

同学用格点图画相似的两个三角形，也观察、度量，它们是否也具有这种关?对应边成比例，对应角相等。

由此可以得到两个相似多边形的特征：

(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等。

实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法。即如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似。

识别两个多边形是否相似的标准有：(边数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)。(填号内要求同学填)