专题01 二次根式的化简与求值
阅读与思考
二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.
有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：
1、直接代入
直接将已知条件代入待化简求值的式子.
2、变形代入
适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.
数学思想：
数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.
想一想：若（其中x, y, n都是正整数），则
都是同类二次根式，为什么？
例题与求解
【例1】 当时，代数式
的值是（ ）
A、0 B、－1 C、1 D、
（绍兴市竞赛试题）
【例2】 化简
（1）
（黄冈市中考试题）
（2）
（五城市联赛试题）
（3）
（北京市竞赛试题）
（4）
（陕西省竞赛试题）
解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.
思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.
【例3】 比大的最小整数是多少？
（西安交大少年班入学试题）
解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设
想一想：设求
的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）
形如：的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.
【例4】 设实数x，y满足，求x＋y的值.
（“宗泸杯”竞赛试题）
解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.
【例5】 （1）代数式的最小值.
（2）求代数式的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，的几何意义是直角边为a，b的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），
设，设A（x，0），B(4，5)，C(2，3)相当于求AB＋AC的最小值，以下可用对称分析法解决.
方法精髓：
解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.
【例6】 设，求
的值.
解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.
能力训练
A级
1.化简：（“希望杯”邀请赛试题）
2.若，则
＝_____(北京市竞赛试题)
3.计算：
（“希望杯”邀请赛试题）
4.若满足0＜x＜y及的不同整数对（x，y）是_______（上海市竞赛试题）
5.如果式子化简结果为2x－3，则x的取值范围是（ ）
A. x≤1 B. x≥2 C. 1≤x≤2 D. x＞0
6、计算的值为（ ）
A．1 B. C.
D. 5
（全国初中数学联赛试题）
7．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a＋999b＋1001c的值是（ ）
A．1999 B. 2000 C. 2001 D. 不能确定
（全国初中数学联赛试题）
8、有下列三个命题
甲：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；
乙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；
丙：若α，β是不相等的无理数，则是无理数；
其中正确命题的个数是（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
（全国初中数学联赛试题）
9、化简：
（1） （2）
（3）
（4） （天津市竞赛试题）
（5） （“希望杯”邀请赛试题）
10、设，求代数式
的值.
（“希望杯”邀请赛试题）
11、已知，求x的值.
12、设（n为自然数），当n为何值，代数式
的
值为1985？
B 级
1.已知. (四川省竞赛试题)
2.已知实数x，y满足，则
＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）
3.已知. （重庆市竞赛试题）
4.那么
＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）
5. a，b为有理数，且满足等式则a＋b＝（ ）
A.2 B. 4 C. 6 D. 8
(全国初中数学联赛试题)
6． 已知，那么a，b，c的大小关系是（ ）
B. b＜a＜c C. c＜b＜c D. c＜a＜b
(全国初中数学联赛试题)
7. 已知，则
的值是（ ）
A. B.
C.
D. 不能确定
8. 若[a]表示实数a的整数部分，则等于（ ）
A.1 B.2 C.3 D. 4
（陕西省竞赛试题）
9． 把中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ）
A. B.
C.
D.
（武汉市调考题）
10、化简：
（1） （“希望杯”邀请赛试题）
（2） （新加坡中学生竞赛试题）
（3） （山东省竞赛试题）
（4） （太原市竞赛试题）
11、设 求证
.
（“五羊杯”竞赛试题）
12、求的最大值.
13、已知a, b, c为正整数，且为有理数，证明：
为整数.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/0a91608068eae009581b6bd97f1922791788be34.html
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