2017年赤峰市中考数学试卷含答案解析

2017年赤峰市中考数学试卷含答案解析

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）

1．|（﹣3）﹣5|等于（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8

2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（　　）21·cn·jy·com

A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102

4．下列运算正确的是（　　）

A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6

5．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）

A．65° B．50° C．55° D．60°

6．能使式子+成立的x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2

7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）

A． B． C． D．

8．下面几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定

10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（　　）

A．120° B．100° C．60° D．30°

11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）

A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8

12．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（　　）

A．18或10 B．18 C．10 D．26

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）

13．分解因式：xy2+8xy+16x=　 　．

14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．

15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　 　．

16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为　 　．

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）

17．（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．

18．已知平行四边形ABCD．

（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．

19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：

（1）求此次抽查的学生人数；

（2）将图2补充完整，并求图1中的x；

（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）

20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．

（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．

22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．

23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求证：AM是⊙O的切线；

（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则

S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，

即S△ABC=absin∠C

同理S△ABC=bcsin∠A

S△ABC=acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则

a2=b2+c2﹣2bccos∠A

b2=a2+c2﹣2accos∠B

c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．

解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　 　；

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　 　．

（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．

25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．21教育网

（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；【版权所有：21教育】

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）

1．|（﹣3）﹣5|等于（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8

【考点】1A：有理数的减法；15：绝对值．

【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．

【解答】解：|（﹣3）﹣5|

=|﹣3﹣5|

=|﹣8|

=8，

故选D．

2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．

故选：C．

3．风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（　　）2·1·c·n·j·y

A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【来源：21·世纪·教育·网】

【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．

故选：B．

4．下列运算正确的是（　　）

A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；

B、不是同类项不能合并，故B错误；

C、x2•x3=x5，故C错误；

D、（x2）3=x6，故D正确．

故选：D．

5．直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）

A．65° B．50° C．55° D．60°

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．

【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，

∴∠3=90°﹣35°=55°，

又∵a∥b，

∴∠2=∠3=55°，

故选：C．

6．能使式子+成立的x的取值范围是（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2

【考点】E4：函数自变量的取值范围．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．

【解答】解：根据题意得：，

解得：1≤x≤2．

故选：C．

7．小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）【来源：21cnj*y.co*m】

A． B． C． D．

【考点】X5：几何概率．

【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：连接BE，

可得，AE=BE，∠AEB=90°，

且阴影部分面积=S△CEB=S△BEC=S正方形ABCD，

故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．

故选：B．

8．下面几何体的主视图为（　　）

A． B． C． D．

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看，

故选：C．

9．点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）

A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．

【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，

∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，

又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，

∴y1＞y2，

故选A．

10．如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（　　）

A．120° B．100° C．60° D．30°

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；L8：菱形的性质．

【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．

【解答】解：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵A沿EF折叠与O重合，

∴EF⊥AC，EF平分AO，

∵AC⊥BD，

∴EF∥BD，

∴E、F分别为AB、AD的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴EF=BD，

∴BD=2EF=4，

∴BO=2，

∴AO==2，

∴AO=AB，

∴∠ABO=30°，

∴∠BAO=60°，

∴∠BAD=120°．

故选A．

11．将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）

A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8

【考点】F9：一次函数图象与几何变换．

【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．

【解答】解：由题意，得

y=2x﹣3+8，

即y=2x+5，

故选：B．

12．正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（　　）

A．18或10 B．18 C．10 D．26

【考点】1C：有理数的乘法．

【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．

【解答】解：∵xy是正整数，

∴（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，

∵25=1×25，或25=5×5，

∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；

②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；

∴x+y=18或10，

故选 A．

二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）

13．分解因式：xy2+8xy+16x=　x（y+4）2　．

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．

【解答】解：xy2+8xy+16x

=x（y2+8y+16）

=x（y+4）2．

故答案为：x（y+4）2．

14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜2　．

【考点】AA：根的判别式．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，

∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，

解得：m＜2．

故答案为：m＜2．

15．数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　16　．

【考点】W5：众数；W1：算术平均数；W4：中位数．

【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．

【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；

数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；

平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；

5+5+6=16．

故答案为16．

16．在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为　（2，0）　．

【考点】D2：规律型：点的坐标．

【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．

【解答】解：P1 坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），

∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，

∵2017=2016+1=4×504+1，

∴P2017 坐标与P1点重合，

故答案为（2，0）．

三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）

17．（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．

【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．

【解答】解：原式=×﹣×

=﹣

=

由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，

∴a=1﹣5+3=﹣1

∴原式=﹣=﹣2

18．已知平行四边形ABCD．

（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；21*cnjy*com

（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．

【考点】N2：作图—基本作图；L5：平行四边形的性质．

【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；

（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．

【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AF平分∠BAD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠4，

∴CE=CF．

19．为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：21世纪教育网版权所有

（1）求此次抽查的学生人数；

（2）将图2补充完整，并求图1中的x；

（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）

【考点】X6：列表法与树状图法；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．

【分析】（1）根据百分比=计算即可；

（2）求出B、C的人数画出条形图即可；

（3）利用树状图，即可解决问题；

【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．

（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，

条形图如图所示，

（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．

20．王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）21cnjy.com

【考点】T8：解直角三角形的应用．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．2-1-c-n-j-y

【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

理由：作AD⊥BC于点D，

∵∠C=50°，AC=20cm，

∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，

CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，

∵BC=18cm，

∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，

∴AB==，

∵17=＜，

∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．

21．如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．21·世纪*教育网

（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；

（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．www-2-1-cnjy-com

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；21*cnjy*com

（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．

【解答】解：

（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，

∴A（，0），B（0，1），

∴tan∠BAO===，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，

∴AC=2，

∴C（，2），

∵点C在反比例函数y=的图象上，

∴k=2×=2，

∴反比例函数解析式为y=；

（2）∵P（2，m）在第一象限，

∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，

当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；

当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；

把P（2，3）代入y=可得3≠，

∴P（2，3）不在反比例函数图象上，

把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，

∴P（2，1）在反比例函数图象上；

综上可知P点坐标为（2，1）．

22．为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．

【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．

【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．

【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，

依题意得： =，

解得x=5．

经检验x=5是原方程的解，且符合题意．

答：梨树苗的单价是5元；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，

依题意得：（5+2）+5a≤6000，

解得a≥850．

答：梨树苗至少购买850棵．

23．如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．

（1）求证：AM是⊙O的切线；

（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．

【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠OAM=90°，于是得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．

【解答】解：（1）∵∠B=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠1=∠2=60°，

∵OC平分∠AOB，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OA∥BD，

∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，

∴AM是⊙O的切线；

（2）∵∠3=60°，OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，

∵∠OAM=90°，

∴∠CAD=30°，

∵CD=2，

∴AC=2CD=4，

∴AD=2，

∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．

24．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则

S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，

即S△ABC=absin∠C

同理S△ABC=bcsin∠A

S△ABC=acsin∠B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则

a2=b2+c2﹣2bccos∠A

b2=a2+c2﹣2accos∠B

c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．

解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　6　；

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　49　．

（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．

【考点】KY：三角形综合题．

【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；

（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；

方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．

【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，

∴EF=3，DF=8，

∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，

DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，

故答案为：6，49；

（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，

两边同时乘以sin60°得， AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，

∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

∴S1=absin∠C=absin60°=ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，

∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，

∴a2+b2=c2+ab，

∴S1+S2=S3+S4．

25．△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．

（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；

（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．

（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．

【考点】RB：几何变换综合题．

【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；

（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；

（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．21教育名师原创作品

【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，

∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，

∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，

∵∠AOB=90°，

∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，

∴点P，O，Q在同一条直线上，

∵∠APO=∠BQO=90°，

∴AP∥BQ，

∴∠PAE=∠FBE，

∵点E是AB中点，

∴AE=BE，

∵∠AEP=∠BEF，

∴△APE≌△BFE，

∴PE=EF，

∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，

∴EP=EQ；

（2）成立，

证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，

∴CE∥OB，CE=OB，

∴∠DOC=∠ECA，

∵点D是Rt△OQB斜边中点，

∴DQ=OB，

∴CE=DQ，

同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，

∴∠ECA=∠BDE，

∵∠PCE=∠EDQ，

∴△EPC≌△QED，

∴EP=EQ；

（3）如图2，连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，

∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，

∴GB=GO=GA，

∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，

设∠GOB=x，∠GOA=y，

∴x+x+y+y+60°=360°

∴x+y=150°，

∴∠AOB=150°．

26．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；www.21-cn-jy.com

（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

【解答】解：

（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，

∴D点坐标为（0，3），

∴可设直线BD解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BD解析式为y=﹣x+3；

（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），

∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，PM有最大值；

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，

∴QG=×2=4，

∴|﹣x2+3x|=4，

当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，

当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，

∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．

2017年7月12日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/09c4b37c66ec102de2bd960590c69ec3d5bbdbb3.html