文档文库

手机版

投诉建议

首页 > 大学物理（北邮大）习题4答案

大学物理（北邮大）习题4答案

发布时间：2020-11-23 00:01:02 来源：文档文库

小中大

字号：

手机查看

习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动 ?分别分析下列运动是不是谐振动：

(1)拍皮球时球的运动；

(2) 如题 4-1 图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动 ( 设小球所经过的弧线很

短) ．

题 4-1图

解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质

量、转动惯量、摆长⋯⋯等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附

近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用．或者说，若一个系统的

运动微分方程能用

d2 2

dt 2

描述时，其所作的运动就是谐振动．

0

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动．第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；

第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力．

(2)小球在题 4-1 图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动．显然，小球在运动过

程中，各种参量均为常量；该系统 ( 指小球凹槽、地球系统 ) 的稳定平衡位置即凹槽最低点，

即系统势能最小值位置点					O ；而小球在运动中的回复力为		mg sin ，如题 4-1 图 (b) 所示．题
中所述，	S	＜＜	R	，故	S	mg	.
中所述，	S	＜＜		，故	→ ，所以回复力为			式中负号，表示回复力的方向
					0

R

始终与角位移的方向相反．即小球在 O 点附近的往复运动中所受回复力为线性的．若以小球

为对象，则小球在以 O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有

2

d

mR mg

2 g

令，则有

R

d2 2

dt 2

0

4-2 劲度系数为 k1 和 k2 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题 4-2 图所示的两种方式连接，

试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．

题4-2图

解： (1) 图 (a) 中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F F1 F2 ，设串联弹簧的等效倔

强系数为 K 串等效位移为 x ，则有

Fk串 x F1 k1x1

	F2	k2 x2
又有	x	x1 x2

x

F F1 F2

k串 k1 k2

所以串联弹簧的等效倔强系数为

k1k2

k串

k1 k2

即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 k k1k2 /(k1 k2 ) 的弹簧振子系统，故小

球作谐振动．其振动周期为

2	2	m	m(k1	k 2 )
T	2	2	k1k2
		k串	k1k2
(2) 图 (b) 中可等效为并联弹簧，同上理，应有			F F1	F2 ，即 x x1 x2 ，设并联弹簧
的倔强系数为 k并，则有
	k并 x k1 x1		k2 x2
故	k并	k 1 k 2
同上理，其振动周期为
	T	2	m
	T	2	k2
		k1	k2
4-3 如题 4-3 图所示，物体的质量为	m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为				，弹簧
的倔强系数为 k ，滑轮的转动惯量为	I ，半径为 R ．先把物体托住，使弹簧维持原长，然				后
由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．

题4-3图

解：分别以物体

m 和滑轮为对象，其受力如题

4-3

图(b)

所示，以重物在斜面上静平衡时位置

为坐标原点，沿斜面向下为

x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为

x 时，有

mg sin

T1 m d2 x

①

dt 2

T1 R

T2 R

I

②

d2 x

R

T2

k (x0 x)

③

dt 2

式中 x0 mg sin / k ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有

(mR

I ) d2 x

kxR

R

dt 2

令

2

kR2

mR2

I

则有

d 2 x

2 x

0

dt 2

故知该系统是作简谐振动，其振动周期为

T

2

mR2 I ( 2

m I / R2

)

kR2

K

4-4 质量为 10

10 3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，

按 x

0.1cos(8

2

)

(SI) 的规律作

3

谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2) 最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等 ?

(3)t2 5s 与 t1 1s两个时刻的位相差；

解： (1)	设谐振动的标准方程为 x		A cos(		t	0 ) ，则知：
	A	0.1m,	8	,	T	2	1 s, 0 2 / 3
							4
又	vm	A	0.8	m s 1		2.51 m s 1
	am	2 A	63.2 m s 2
(2)	Fm	mam	0.63N
		E	1 mvm2			3.16	10 2J
			2		1 E 1.58 10 2J
		E p	Ek		1 E 1.58 10 2J

2

当 Ek	E p 时，有 E		2E p ，
即			1 kx2	1	( 1 kA2 )
			2	2		2
∴			x	2 A			2 m
				2			20
(3)			(t 2	t1 )		8	(5	1) 32
4-5	一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为							A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数表
示．如果 t		0 时质点的状态分别是：
(1) x0		A ；

(2)过平衡位置向正向运动；

(3)	过 x	A
(3)	过 x	处向负向运动；
		2
(4)	过 x	A
(4)	过 x	处向正向运动．
		2

试求出相应的初位相，并写出振动方程．

解：因为

x0 Acos

0

v0 A sin

0

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

1

2

3

4

	x	A cos( 2	t	)
		T
3	x	2	t	3
2	x	A cos(	t	)
2		T		2
	x	2	t	)
3	x	A cos(	t	)
3		T		3
5	x	A cos( 2	t	5 )
4		T		4

4-6 一质量为 10 10 3 kg 的物体作谐振动，振幅为 24cm ，周期为 4.0s，当 t 0 时位移为

24cm ．求：

(1)t 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；

(2)由起始位置运动到 x 12cm 处所需的最短时间；

(3)在 x 12cm 处物体的总能量．

解：由题已知	A	24	10 2 m,T		4.0s
∴		2		0.5	rad s	1
		T
又， t 0 时， x0	A, 0	0
故振动方程为
		x	24	10 2 cos(0.5		t )m

(1) 将 t 0.5s代入得

x0. 5	24 10 2 cos(0.5 t)m 0.17m
F	ma	m	2 x
	10	10 3	( )2	0.17 4.2 10 3 N
			2

方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向．

(2) 由题知， t	0时， 0	0 ，
t t 时 x0	A ,且 v	0, 故 t
	2	3		2 s
∴		t	/	2 s
		3	2	3

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

E	1	kA2	1	m	2 A2
	2		2
	1	10	10 3(		)2	(0.24)2
	2				2

7.1 10 4J

4-7	有一轻弹簧，下面悬挂质量为			1.0g		的物体时，伸长为 4.9cm ．用这个弹簧和一个质量
为 8.0g 的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开								1.0cm 后，给予向上的初速度
v0	5.0cm s 1	，求振动周期和振动表达式．
	k	m1g 1.0 10 3 9.8				0.2 N m 1
		x1	4.9	10 2
而 t	0 时， x0	1.0	10 2 m,v0		5.0	10 2 m s-1	(	设向上为正 )
又			k	0.2		2		1.26s
又			m8	10	3	5,即T		1.26s
			m8	10	3

A x02 (v0 )2

			(1.0		10	2 ) 2	(5.0	10	2	) 2
								5
			2	10 2 m
tan	v0	5.0		10	2	1,即 0		5
tan	0	1.0	10 2			1,即 0		4
	x0	1.0	10 2		5			4
∴			x		2	10 2 cos(5t		5		)m
								4

4-8 图为两个谐振动的 x t 曲线，试分别写出其谐振动方程．

		题 4-8图
解：由题 4-8 图 (a) ，∵ t		0 时， x0	0, v0	0,	0	3	,又 , A 10cm,T 2s
			2			2
即			2	rad		s 1
			T		3
故		xa	0.1cos( t		3	)m
					2
由题 4-8 图 (b) ∵ t	0时， x0 A ,v0		0,	0	5
		2			3

t1 0 时， x1 0, v1 0, 1

2

2
5	5

又

∴

1

1	2
3	2

5

6

故	xb	0.1cos(5 t	5 )m
		6	3
4-9	一轻弹簧的倔强系数为	k ，其下端悬有一质量为		M 的盘子．现有一质量为 m 的物体从
离盘底 h 高度处自由下落到盘中并和盘子粘在一起，于是盘子开始振动．
(1) 此时的振动周期与空盘子作振动时的周期有何不同				?

(2)此时的振动振幅多大 ?

(3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时作为计时起点，求初位相并写出物体与盘子的振动方程．

解： (1) 空盘的振动周期为	M		M m	，即增大．
解： (1) 空盘的振动周期为	2	，落下重物后振动周期为 2		，即增大．
	k		k
(2) 按 (3) 所设坐标原点及计时起点，		t 0 时，则 x0	mg ．碰撞时，以	m, M 为一系统动
			k

量守恒，即

m 2gh (m M )v0

m 2gh

则有 v0

m M

于是

Ax02	( v0 )2	( mg )2	(	m 2 2gh ) 2
		k		(m M )
mg	1	2kh
k	(m	M ) g

（ 3）

tan

0

v0

2kh

( 第三象限 ) ，所以振动方程为

x0

(M

m)g

x

mg

1

2kh

cos

k

t

arctan

2kh

k

(m M ) g

m M

( M m) g

4-10

有一单摆，摆长

l

1.0m ，摆球质量

m

10

10 3 kg ，当摆球处在平衡位置时，若给

小球一水平向右的冲量

F

t

1.0

10 4 kg

m

s 1 ，取打击时刻为计时起点 (t

0) ，求振动

的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程．

解：由动量定理，有

F

t

mv

0

∴

v

F

t

1.0

10 4

0.01

m

s

-1

m

1.0

10 3

按题设计时起点，并设向右为

x 轴正向，则知 t

0

时， x0

0, v0

0.01m

s 1 ＞0

∴ 0

3

/ 2

又

g

9.8

3.13rad s 1

l

1.0

∴

A

x02

( v0 ) 2

v0

0.01

3.2 10 3 m

3.13

故其角振幅

A

3.2 10 3 rad

l

小球的振动方程为

3.2

10 3 cos(3.13t

3

)rad

4-11

2

0.20m ，位相与第一振动的

有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为

位相差为

，已知第一振动的振幅为

0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动

6

的位相差．

题4-11图

解：由题意可做出旋转矢量图如下．

由图知

				A22	A12	A2		2 A1 A cos30
					(0.173)2			(0.2) 2		2		0.173	0.2		3 / 2
					0.01
∴				A2		0.1m
设角 AA1O为			，则
						A2		A12	A22		2A1 A2 cos
			cos	A12		A22	A2		(0.173) 2			(0.1) 2		(0.02) 2
即			cos		2A1A2						2	0.173		0.1
即					2A1A2						2	0.173		0.1
				0
即	2	，这说明， A1 与 A2 间夹角为						2	，即二振动的位相差为.
	2							2						2
4-12	试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
	x1	5cos(3t		)cm								x1	5cos(3t		)cm
(1)				3				(2)							3
	x2	5 cos(3t		7 )cm								x2	5 cos(3t		4 )cm
				3											3
解： (1)		∵							7			2 ,
解： (1)		∵				2		1	3	3		2 ,
									3	3

∴合振幅				A		A1	A2		10cm
(2) ∵						4			,
(2) ∵						3		3	,
						3		3
∴合振幅				A		0
4-13	一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
							x1	0.4 cos(2t				) m
												6
							x2	0.3cos(2t				5
							x2	0.3cos(2t				)m
												6
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
解：∵								6	(	5	)
								6		6
∴						A合		A1		A2		0.1m
						0.4		sin				5
		A1 sin		A2 sin		0.4		sin	6	0.3sin			3
tan		A1 sin	1	A2 sin	2				6			6	3
tan	A2 cos			A2 cos								5	3
	A2 cos		1	A2 cos	2	0.4 cos						5	3
						0.4 cos				0.3cos

6

∴

6

其振动方程为

x 0.1cos(2t )m

6

( 作图法略 )

*

4-14

如题 4-14 图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，

已知

x 方向的振动方

程为

x

6 cos 2 tcm ，求

y 方向的振动方程．

题 4-14图
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为		2	或 3	；又，轨道是按顺时针方向旋
		2	2
转，故知两分振动位相差为	. 所以 y 方向的振动方程为
	2
	y 12 cos(2 t	)cm
		2